Phase Transitions on Fractals and Networks
D. Stauffer
对于百科全书的复杂性和系统科学没有摘要给我。定义和介绍2。伊辛模型III.第四章.分形上的扩散V.分形上的伊辛模型VI.其他科目？七.八.网络未来方向
For Encyclopedia of Complexist and System Science No abstract given I. Definition and Introduction II. Ising Model III. Fractals IV. Diffusion on Fractals V. Ising Model on Fractals VI. Other Subjects ? VII. Networks VIII. Future Directions
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Small world-Fractal Transition in Complex Networks: Renormalization Group Approach
我们表明，重整化群（RG）理论应用于复杂网络是有用的分类网络拓扑结构的配置空间中的普适类。RG流很容易识别一个小世界/分形过渡，通过找到（i）一个平凡的稳定不动点的完整图，（ii）一个非平凡点的纯分形拓扑是稳定的或不稳定的，根据网络中的长程链接的数量，和（iii）另一个稳定的点的分形与捷径，正好存在于小世界/分形过渡。作为抵押品，RG技术解释了看似矛盾的分形和小世界阶段的共存，并允许提取信息的分布在现实世界的网络中的捷径，一个重要的问题，在系统中的信息流。
Fractal fluctuations at mixed-order transitions in interdependent networks
研究了随机相互依赖空间网络中混合序相变临界点附近序参量涨落的几何特征。与连续跃迁相反，在临界状态下的序参量的结构是分形的，在混合序跃迁中，已知序参量的结构是紧凑的。值得注意的是，我们发现，虽然是紧凑的，接近混合阶跃的序参量的波动是分形的一个定义良好的相关长度$ξ'$，当接近临界阈值时发散。我们通过它们的分形维数，$d_f'=3d/4$，和相关长度指数，$ν'=2/d$，其中$d$是系统的维数来表征这些临界波动的自相似性质。通过渗流和磁化，我们证明了$d_f'$和$ν'$是独立的任何$d$的基础网络的基础过程的对称性。
Fractal pattern formation at elastic-plastic transition in heterogeneous materials
在两种线弹性/完全塑性随机异质材料模型的弹塑性转变计算力学中观察到分形图案：（1）由弹性模量和/或屈服极限具有弱随机波动的局部各向同性颗粒制成的复合材料;和（2）由随机取向的各向异性颗粒制成的多晶体。在每种情况下，材料随机性的空间分配是一个非分形的，严格的白噪声场的均匀，方形颗粒的256 × 256正方形晶格;在每个颗粒的流动规则遵循相关的塑性。这些晶格受到简单的剪切载荷增加，通过三个宏观均匀的边界条件（运动，混合正交或牵引），承认由希尔曼德尔条件。在跟踪一组变成塑性的颗粒的演化时，我们发现随着材料从弹性过渡到完全塑性，它的分形维数从0增加到2。虽然晶粒具有尖锐的弹塑性应力-应变曲线，整体的应力-应变响应是平滑的，并渐近线走向完美的塑性流动，这些响应和分形维数-应变曲线是几乎相同的三个不同的负载。仅弹性模量的随机性就足以在过渡处产生分形图案，但其影响比屈服极限的随机性弱。在各向同性晶粒模型中，随着随机波动消失（即复合材料变成均匀体），恢复了急剧的弹塑性转变。
Liquid-liquid coexistence in the phase diagram of a fluid confined in fractal porous materials
多规范系综抽样模拟已被执行，以计算嵌入在分形随机矩阵通过扩散限制集群聚集生成的Lennard-Jones流体的相图。在不断增加的尺寸和恒定的孔隙率的系统的研究表明，结果是独立的矩阵实现，但不是从尺寸效应。发现了一个相对于体积移动的气-液转变，在气-液共存曲线的高密度侧，随着体系尺寸的增大，出现了两液相之间的第二共存区。这两个相的特征在于在相同的温度和化学势下互连的多孔结构内部的局部密度的不同行为。
Tuning the phase diagram of a Rosenzweig-Porter model with fractal disorder
本文提出用具有非平凡分形维数的在位势替代传统随机无序，结合解析与精确数值计算，证明其可调控 Rosenzweig–Porter 模型相图、扩展分形相，并通过能级统计和返回概率验证理论。
The Markov Switching Multi-fractal models as a new class of REM-like models in 1-dimensional space
我们将马尔可夫切换多重分形模型（MSM）映射到随机能量模型（REM）上。MSM与REM一样，是一维空间中具有非平凡关联函数的精确可解模型。根据我们的结果，四个不同的统计物理阶段是可能的随机游动的多重分形行为。我们还介绍了连续分支版本的模型，计算的时刻，并证明多尺度行为。不同的相位具有不同的多尺度特性。
Delocalization in One-Dimensional Tight-Binding Models with Fractal Disorder
本文研究了具有分形无序的一维紧束缚模型中关联诱导的定域-离域跃迁。通过控制势场的关联度和无序度，得到了基于归一化局域化长度的局域态到扩展态的相变图。此外，波包动力学的扩散性质在临界点附近发生了转变。
Polydisperse Adsorption: Pattern Formation Kinetics, Fractal Properties, and Transition to Order
我们调查的过程中随机顺序吸附的多分散颗粒的尺寸分布表现出幂律依赖的小尺寸限制，$P(R)\sim R^{α-1}$。我们揭示了斑图形成动力学和结构特性之间的关系出现的图案。我们提出了一个平均场论，它提供了一个公平的描述足够小的$α$。当$α\to \infty$，高度有序的结构局部相同的阿波罗包装形成。我们引入了一个定量的标准的规律性的斑图形成过程。当$α\gg 1$，一个急剧的过渡，从不规则的规则斑图形成政权被发现发生在干扰覆盖的标准随机顺序吸附与单分散尺寸分布。
Dynamics of fractal dimension during phase ordering of a geometrical multifractal
提出了一个简单的多重分形粗化模型，它可以解释在广泛的粗化分形系统中观察到的分形维数的动力学行为。它是假设的少数相（一个合奏液滴）在$t=0$代表一个非均匀的递归分形集，这套是一个几何多重分形特征的$f(α)$曲线。假设液滴根据它们的大小收缩并保持它们的顺序。结果表明，在早期的Hausdorff维数不随时间变化，而在后期的动力学遵循$f(α)$曲线。这是说明了一个特殊的情况下，一个双标度康托尘。然后将结果推广到更广泛的粗化机制。
Anderson Transition and Mobility Edges in a Family of 3D Fractal Lattices
本文研究了一类三维分形晶格中安德森过渡和移动边的特性，通过调控谱维数探讨非整数维下的局域化物理，揭示了谱维数对过渡 universality class 的主导作用以及微观几何细节对临界点的影响。
Localization--non-ergodic transition in controllable-dimension fractal networks from diffusion-limited aggregation
研究通过分析可控维度分形聚集体的谱性质，揭示了二维情况下所有本征态局域，而三维情况下随参数α增加出现局部化-非均衡相变，产生临界态。
Breakdown of Scale Invariance in the Phase Ordering of Fractal Clusters
利用Cahn-Hilliard方程进行的数值模拟表明，分形团簇的粗化不是一个标度不变的过程。另一方面，一个典型的粗化长度尺度和界面面积的FC表现出幂律的时间，而质量分形维数保持不变。下限截断值的初始值是一个相关的长度尺度。本文提出了一个锐界面模型，它能描述序参量守恒的系统中扩散控制的生长、粗化、碎裂和趋于平衡的整个动力学过程。
Electric field induced by magnetic flux motion in superconductor containing fractal clusters of a normal phase
研究了作为钉扎中心的正相分形团簇对双折射第二类超导体中磁通量动力学的影响。考虑到团簇边界的分形性质对磁通量俘获的影响，得到了这种超导体的伏安特性。研究表明，分形性降低了磁通量运动产生的电场，从而提高了超导体的临界电流。
Fractal geometry of normal phase clusters and magnetic flux trapping in high-Tc superconductors
考虑了超导结构的几何和形貌对磁通量俘获的影响。结果表明，作为钉扎中心的正相团簇具有明显的分形特征。这些集群的边界的分形维数估计使用一个简单的面积周长关系。将超导体视为渗流系统。结果表明，分形增强了磁通量俘获，从而提高了临界电流值。
Distribution of fractal dimensions at the Anderson transition
我们数值研究了3dAnderson紧束缚模型在定域-离域阈值下的参与数分布。{ \em one}无序系统中的这些数在很宽的能量范围内经历强烈的能级间涨落。随着系统规模的增大，波动显著增大。我们认为，波动的关联维数，$D_2$的波函数是主要原因。计算了这些关联维数在跃迁处的分布。在热力学极限（$L\to \infty$）中，它不依赖于系统大小$L$。这个极限分布的一个有趣的特征是，它恰好在$D_{\rm 2max}=1.83$处消失，这是该模型中安德森阈值处关联维数的最高可能值。
Non-Hermitian Rosenzweig-Porter random-matrix ensemble: Obstruction to the fractal phase
本文将 Rosenzweig-Porter 随机矩阵系综推广到非厄米情形，发现遍历相和局域相保持稳定，而分形相仅在纯实或纯虚对角势下存在，在一般复对角势下消失并转为局域相。
Profile and scaling of the fractal exponent of percolations in complex networks
我们提出了一种新的有限尺寸标度分析在复杂网络中观察到的渗流转变。在增长网络中，合作系统通常会经历一个具有倒Berezinskiii-Kosterlitz-无奇异性的无穷阶跃迁，数值模拟很难精确地确定跃迁点.由于有序相的近邻不是简单的无序相，而是临界相，因此传统的有限尺寸标度技术不起作用。在我们的有限尺寸标度中，序参量和分形指数的标度函数的形式在数值上决定了无限级跃迁和标准二级跃迁的跃迁点和临界指数。我们通过蒙特卡罗模拟证实了我们的标度假设的有效性，在一些网络模型中的键取代：装饰（2，2）-花和随机附着生长网络，其中发生无限级转变，和配置模型，其中发生二级转变。
Higher-order topological phases on fractal lattices
电子材料具有大量奇异的量子相，从非传统的超导体到非费米液体，以及最近的物质拓扑相。虽然这些整数维的量子相现在已经很好地表征了，但它们在分数维中的存在仍然没有得到很大的探索。在这里，我们从理论上表明，一类特殊的结晶相，即，高阶拓扑相，通过扩展的体积边界对应功能强大的无间隙模式的低维边界，如角落和铰链，可以找到一个代表性的家庭的分数材料：\emph{quantum fractals}。为了锚定这一总体提议，我们分别在平面谢尔宾斯基地毯和三角形分形上展示了支持带电和中性马约拉纳角模的二阶拓扑绝缘体和超导体的实现。这些预测可以在设计电子分形材料，以及各种高度可调的超材料平台，如光子和声学晶格上进行实验测试。
Dynamics of the magnetic flux trapped in fractal clusters of normal phase in a superconductor
本文考虑了超导结构的几何形状和形态对超导体临界电流和磁通量俘获的影响。超导体包含正常相的团簇，它们充当钉扎中心。结果表明，这种团簇具有明显的分形性质。详细研究了这些团簇的主要特征：分析了团簇的统计特性，估算了团簇边界的分形维数，得到了临界电流的分布，并探讨了其特殊性。它是深入研究如何有限的分辨率能力的集群几何尺寸测量影响的分形维数的估计值。在团簇面积呈指数分布的情况下，研究了正相团簇的分形性质对磁通量运动产生的电场的影响。得到了任意分形维数的电阻态超导体的伏安特性。结果表明，正相团簇边界的分形性增强了磁通量俘获，从而提高了超导体的临界电流。
Fractalized Metals
本文研究分形晶格中非相互作用费米子的拓扑相，发现均匀分形晶格中不存在有能隙拓扑相，而是出现一种低能态分层排列的新型金属态——分形化金属，并证明其手性输运对无序具有鲁棒性。
Machine learning wave functions to identify fractal phases
提出用卷积神经网络将波函数视为图像进行识别，仅用单一模型每类500个样本训练，即可跨单粒子与多体系统区分遍历、分形和局域相。
Fractal geometry of spin-glass models
稳定性和多样性是生命实体与自旋玻璃共享的两个关键属性，它们通过将相空间分解为许多由鞍点连接的谷或局部极小值来表现。相空间的拓扑结构可以方便地压缩成一个树结构，类似于生物系统发育树，其尖端是局部极小值，内部节点是连接这些极小值的最低能量鞍。对于具有p自旋相互作用的无限程Ising自旋玻璃，我们证明了鞍点的平均尺寸-频率分布服从幂律$<ψ(w) > \sim w^{-D}$，其中w=w（s）是可以通过鞍点s连接的极小值的个数，D是相空间的分形维数.
Complexity transitions in chaotic quantum systems: Nonstabilizerness, entanglement, and fractal dimension in SYK and random matrix models
本文研究了混沌到可积分相转变中复杂性标记的差异，揭示了不同标记对复杂性特征的互补描述及经典可计算性的影响。
Topological states on fractal lattices
我们研究了分形晶格上拓扑状态的命运。专注于一个无自旋手征p波配对超导体，我们发现，这个模型支持两个定性不同的阶段时，定义在Sierpinski垫片。虽然平凡相的特征在于具有无限多个间隙和扩展本征态的自相似谱，但新颖的“拓扑”相具有无间隙谱并且具有沿着图的边缘传播的手征态。除了采用理论的探测，如真实空间陈数，逆参与比，和能级统计的存在下的混乱，我们开发了一个简单的物理图片捕捉模型的基本特征的垫片。扩展这张图片到其他分形晶格和拓扑状态，我们表明，p+IP状态承认Sierpinski地毯上的带隙拓扑相位和高阶拓扑绝缘体放置在这个晶格主机无隙模式本地化的角落。
Fractal Structure of the Harper Map Phase Diagram from Topological Hierarchical Classification
本文提出了一种拓扑分层分类法，对各向异性参数$ε$与能量$E$的Harper方程相图中的无限多个局域相进行了分类，其中包含了无理磁通量$ω$。提出了一个解释相图分形结构的规律。在许多其他应用中，该系统等价于均匀磁场中布洛赫电子的半经典问题，Azbel-Hofstadter模型，其中离散磁平移算子构成量子代数$U_q(sl_2)$与$q^2=e^{i2πω}$。磁通量被认为是黄金平均值$ω^*=(\sqrt{5}-1)/2$，并通过连续的有理逼近$ω_m=F_{m-1}/F_m$与由斐波那契序列$F_m$给出的$F_m$来获得。[OUTP-00- 08 S，\texttt{cond-mat/0011396} ]
Sensitivity of (multi)fractal eigenstates to a perturbation of the Hamiltonian
研究了由高斯Rosenzweig-Porter随机矩阵系综中的哈密顿量所控制的孤立量子系统对小参数控制的微扰的响应。重点讨论了利用超对称非线性西格玛模型的映射精确计算的态密度、局域态密度和本征函数振幅重叠关联函数。我们发现，本征函数保真度的敏感性的参数的扰动可以表示在这些关联函数和强烈的峰值在本地化过渡：它是独立的有效的无序强度在遍历阶段，指数增长的分形阶段的无序增加和指数下降的本地化阶段。作为矩阵大小的函数，保真度磁化率保持恒定的遍历阶段，并增加在分形和在本地化阶段在适度强的混乱。我们发现，有一个临界的无序强度内的绝缘相，使无序强于临界的保真度磁化率随系统尺寸的增加而减小。整体行为与Sels和Polkovnikov最近的工作[Phys. Rev. E 104，054105（2021）]中观察到的数值非常相似，用于无序XXZ自旋链中的归一化保真度磁化率。
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