二维非定域相互作用的Levinson定理

一维Dirac粒子的Levinson定理

Levinson theorem for Dirac particles in one dimension

研究了一维对称势对狄拉克粒子的散射。建立了Levinson定理。根据这个定理，具有偶（奇）宇称的束缚态的数目$n_+$（$n_-$）与具有相同宇称的散射态在零动量时的相移$η_+(\pm E_k)$ [ $η_-(\pm E_k)$ ]的关系如下：$$η_\pm(μ)+η_\pm(-μ)\pm{π\over 2}[\sin^2η_\pm(μ) -\sin^2η_\pm(-μ)]=n_\pmπ.$$这个定理通过几个简单的例子得到了验证。

二维薛定谔方程的Levinson定理

Levinson's theorem for the Schrödinger equation in two dimensions

利用Sturm-Liouville定理重新建立了二维柱对称势薛定谔方程的Levinson定理.详细分析了薛定谔方程具有有限零能解的临界情形。结果表明，与非临界情况下的Levinson定理相比，当$P$波处于半束缚态时，其零能解的波函数在无穷远处衰减得不够快而不能平方可积，这将使$P$波在零能处的相移增加一个额外的$π$ .

Analytical study of bound states in graphene nano-ribbons and carbon nanotubes: The variable phase method and the relativistic Levinson theorem

The problem of localized states in 1D systems with the relativistic spectrum, namely, graphene stripes and carbon nanotubes, has been analytically studied. The bound state as a superposition of two chiral states is completely described by their relative phase which is the foundation of the variable phase method (VPM) developed herein. Basing on our VPM, we formulate and prove the relativistic Levinson theorem. The problem of bound state can be reduced to the analysis of closed trajectories of some vector field. Remarkably, the Levinson theorem appears as the Poincare indices theorem for these …

利用谱密度的Levinson定理

Theorem of Levinson Via The Spectral Density

我们推导出一维非相对论性量子力学中的Levinson定理，作为由渐近数据构造的谱密度的求和规则。我们假设一个自伴哈密顿量，保证完整性，潜在的不需要是各向同性和零能量共振自动考虑。这个一维的情况下的特殊性解释，因为“临界”字符的自由情况$u(x) = 0$，在这个意义上，任何atractive潜在形式至少是一个绑定状态。我们认为这种方法比通常先对单波模证明定理再进行解析延拓的方法更一般、更直接。

二维Klein-Gordon方程的Levinson定理

Levinson's Theorem for the Klein-Gordon Equation in Two Dimensions

建立了具有柱对称势$V(r)$的Klein-Gordon方程的二维Levinson定理。证明了$N_{m}π=π(n_{m}^{+}-n_{m}^{-})= [δ_{m}(M)+β_{1}]-[δ_{m}(-M)+β_{2}]$，其中$N_{m}$表示粒子$n_{m}^{+}$与具有固定角动量$m$的反粒子$n_{m}^{-}$的束缚态数之差，$δ_{m}$称为相移.引入常数$β_{1}$和$β_{2}$来表示半束缚态出现在$E=\pm M$的临界情况。

一维薛定谔方程的Levinson定理

Levinson's theorem for the Schrödinger equation in one dimension

利用Sturm-Liouville定理建立了一维对称势薛定谔方程的Levinson定理，该对称势在无穷远处的衰减速度比$x^{-2}$快.临界情况下，薛定谔方程有一个有限的零能量的解决方案，也进行了分析。证明了具有偶（奇）宇称的束缚态$n_{+}$（$n_{-}$）的数目与具有相同宇称的散射态的相移$η_{+}(0)[η_{-}(0)]$有关，对于非临界情况，与具有相同宇称的散射态的相移$η_{+}(0)+π/2=n_{+}π, η_{-}(0)=n_{-}π$（$η_{+}(0)+π/2=n_{+}π, η_{-}(0)=n_{-}π$）有关，对于临界情况，与具有相同宇称的散射态的相移$η_{+}(0)=n_{+}π, η_{-}(0)-π/2=n_{-}π$（$η_{+}(0)=n_{+}π, η_{-}(0)-π/2=n_{-}π$）有关.

一维散射：耦合薛定谔方程、阈值行为和列文森定理

Scattering in one dimension: The coupled Schroedinger equation, threshold behaviour and Levinson's theorem

由于耦合薛定谔方程的$S$矩阵，统一性导致的散射振幅的约束，我们制定在一维散射。列文森定理的形式为$η(0) = π(n_b + 1/2 n - 1/2 N)$，其中$η(0)$是零能量时$S$矩阵的相位，$n_b$是具有非零结合能的束缚态的数目，$n$是半束缚态的数目，$N$是耦合方程的数目。考虑到半束缚态的影响，本文对散射振幅的阈值行为作了一般性的研究，并用特殊的势模型加以说明。

二维相对论Levinson定理

The Relativistic Levinson Theorem in Two Dimensions

根据推广的Sturm-Liouville定理，建立了二维Dirac方程的Levinson定理，即束缚态总数$n_{j}$与散射态相移之和$η_{j}(\pm M)$与角动量$j$之间的关系：$$η_{j}(M)+η_{j}(-M)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ $$~~~=\left\{\begin{array}{ll} (n_{j}+1)π&{\rm when~a~half~bound~state~occurs~at}~E=M ~~{\rm and}~~ j=3/2~{\rm or}~-1/2\\ (n_{j}+1)π&{\rm when~a~half~bound~state~occurs~at}~E=-M~~{\rm and}~~ j=1/2~{\rm or}~-3/2\\ n_{j}π~&{\rm the~rest~cases} . \end{array} \right. $$ \noindent详细分析了Dirac方程具有有限零动量解的临界情形.零动量解称为半束缚态，如果它的波函数是有限的，但在无穷远处衰减得不够快，不能平方可积。

图的列文森定理

Levinson's theorem for graphs

我们证明了一个类似的Levinson定理的散射加权（m+1）-顶点图与半无限路连接到它的一个顶点。特别是，我们表明，在这样的散射问题中的束缚态的数量等于m减去一半的绕组数的相位的反射系数（其中每个所谓的半束缚态被计为半束缚态）。

图II的Levinson定理

Levinson's theorem for graphs II

证明了具有n条半无限路的（m+n）-顶点图上的Levinson散射定理，推广了n=1时的一个结果.这个定理根据S-矩阵行列式的缠绕来计算束缚态的数目。我们还提供了一个证明，束缚态和传入的散射态的哈密顿一起形成一个完整的基础希尔伯特空间，推广的情况下n=1的另一个结果。

薛定谔逆问题的参考势方法：Levinson定理的显式证明和Krein方程的一种求解格式

Reference potential approach to the inverse Schrödinger problem: explicit demonstration of Levinson theorem and a solution scheme for Krein equation

最近提出的参考势方法的逆薛定谔问题的进一步发展。如前所述，理论的发展证明了双原子氙分子在其基态电子状态的例子。该量子系统使用了一个精确可解的参考势，从而可以精确求解相关的能量本征值问题。此外，相移的全能量依赖关系也可以解析计算，并作为一个特殊的结果，完全符合Levinson定理已经实现和明确证明。在原则上，这一重要的光谱信息可以重复使用，以计算一个改进的潜在的系统，并讨论了这种可能性的文件。针对这一目标，我们可以计算出一个没有束缚态的辅助势，它的正能量谱密度与参考势的正能量谱密度完全相同。为此，可以求解Krein方程，这在本文中比使用Gelfand-Levitan方法更简单。Krein方程的通解可以表示为Neumann级数。如果没有一个简单的计算Krein方程核的渐近公式，这一系列的多维积分在不接近原点的距离上的收敛是很难实现的。本文证明了这样一个渐近公式的存在性，并且其参数易于确定。

二维变相位法和Levinson定理：对屏蔽库仑势的应用

Variable-phase method and Levinson's theorem in two dimensions: Application to a screened Coulomb potential

可变相位的方法适用于散射和束缚态在一个有吸引力的库仑势，静态屏蔽的二维（2D）电子气。利用Levinson定理的二维公式计算束缚态，发现了屏蔽长度与束缚态个数之间的简单关系，随着屏蔽长度的增加，具有不同量子数的束缚态集合出现简并.

Dirac方程的强Levinson定理

The Strong Levinson Theorem for the Dirac Equation

我们考虑一维空间中存在对称势阱的狄拉克方程。我们将E=+m和E=-m处的散射相移分别与势能从零开始时离开正能量连续统或加入负能量连续统的状态数联系起来。

On the change of density of states in two-body interactions

We derive a general relation in two-body scattering theory that more directly relates the change of density of states (DDOS) due to interaction to the shape of the potential. The relation allows us to infer certain global properties of the DDOS from the global properties of the potential. In particular, we show that DDOS is negative at all energies and for all partial waves, for potentials that are more repulsive than $+1/r^2$ everywhere. This behavior represents a different class of global properties of DDOS from that described by the Levinson's theorem.

量子力学中的复参数

Complex Parameters in Quantum Mechanics

本文研究了任意空间维数q下中心势定态的薛定谔方程。在转换成一个等效方程后，一阶导数的系数为零，它表明，在这样的方程中，r的第二次逆幂的系数是一个参数的偶函数，比方说，λ，依赖于q和角动量量子数的线性组合，比方说，l。因此，在散射理论中有用的λ的复值的情况通常涉及最初被视为空间维度的参数的复值和角动量量子数的复值。本文最后证明了Levinson定理在任意数量的空间维度，当潜在的包括一个非局部项，这可能是有用的理解两个核子之间的相互作用。

任意子的两粒子散射理论

Two-particle scattering theory for anyons

考虑R^2中任意子统计的非相对论量子力学2粒子系统的势散射理论。给出了保证波算子存在和S-矩阵酉性的充分条件。作为例子，详细讨论了旋转不变势阱和δ函数势。在一般的旋转不变势的情况下，角动量分解导致了Jost函数理论。任意子的统计参数引起的角动量的插值类似于复杂的角动量的Regge轨迹。莱文森定理适用于本上下文。特别是，我们发现，在零能量共振的情况下，统计参数可以从散射相确定。