Greenberger-Horne-Zeilinger states and few-body Hamiltonians
Greenberger-Horne-Zeilinger（GHZ）态的产生是量子信息中的一个关键问题。我们推导出获得GHZ态作为本征态的哈密顿量的一般条件。一般来说，如果哈密顿量包含m<=2的m体相互作用项和严格大于4的量子位数，则简并不能避免。作为应用，我们显式地构造了一个两体4-量子位哈密顿量和一个三体5-量子位哈密顿量，它们表现出GHZ作为非简并本征态。
2011-05-03 quant-ph
Quantum Many-Body Scars in Few-Body Dipole-Dipole Interactions
本研究模拟一维阵列中里德堡原子少体偶极相互作用动力学，发现较强跃迁与较弱场调相互作用产生的量子多体伤痕态会导致三体和四体动力学热化缓慢或失败。
2024-08-01 quant-ph
Multipartite entanglement and few-body Hamiltonians
我们研究了在只涉及短程和少体相互作用的情况下获得高度多粒子纠缠态作为哈密顿量的非简并本征态的可能性。我们研究小尺寸的系统（数量从三到五的量子位）和搜索的哈密顿与最大多部纠缠态（MMES）作为一个非简并本征态。然后，我们找到的条件，包括耦合量子位数的界限，建立一个哈密顿与格林伯格-霍恩-蔡林格（GHZ）状态作为非简并本征态。最后，我们谈谈可能的应用。
2014-04-24 quant-ph
Local Manipulation and Measurement of Nonlocal Many-Body Operators in Lattice Gauge Theory Quantum Simulators
格点规范理论是研究非微扰规范场物理，特别是量子色动力学的一个非常成功的框架。近年来，人们对它们在原子和固态平台上的量子模拟进行了讨论，旨在克服传统方法仍然面临的一些困难（如符号问题和实时演化）。虽然格点规范理论在量子模拟器上的实际实现可能在模拟系统及其性质方面有所不同，但它们都是针对研究类似的物理现象，由于规范理论的局部对称性，需要测量非局部的可观测量。在这项工作中，一般计划测量这种非局域观测值（威尔逊圈和介子弦运营商）在一般格点规范理论量子模拟器，仅基于本地操作的建议。
2019-11-25 hep-lat quant-ph
Many-body localization dynamics from gauge invariance
我们展示了如何格点规范理论可以显示多体局域化动力学在没有无序。我们的出发点是观察到，对于一些一般的非线性不变状态，高斯定律有效地诱导了一个动态，可以描述为一个混乱的平均超过规范超选择部门。我们对格点Schwinger模型的实时动力学进行了广泛的精确模拟，描述了U（1）规范场和交错费米子之间的耦合。我们的研究结果表明，记忆效应和缓慢的纠缠增长是存在于一个广泛的制度的参数-特别是，足够大的相互作用。这些发现与实现动态规范场的冷原子和囚禁离子实验直接相关，并提出了多体局域相晶格模型中约束和纠缠动力学之间新的和普遍的联系。
2017-12-17 cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el quant-ph
FewBodyToolkit.jl: a Julia package for solving quantum few-body problems
RIKEN Nishina Center（理化学研究所仁科加速器研究中心）；Universität Ulm（乌尔姆大学）
本文介绍了一个基于Julia语言的量子少体模拟包FewBodyToolkit.jl，它利用高斯展开方法计算任意空间维度和对相互作用的二体及三体系统的束缚态与共振态。
2026-06-01 physics.comp-ph quant-ph
The gauge coupled two-body problem in a ring
本文研究了两个量子粒子被限制在一个环中的性质。粒子通过与粒子之间的距离成比例的长程规范势相互作用。发现只要粒子间的相互作用足够强，二体系统的基态对应于一个角动量不为零的态。此外，粒子是相关的，在这个意义上，取决于相互作用的强度，有一个倾向，被发现靠近在一起或分离的环。我们讨论了测量的粒子之一的位置，从而从环中删除的粒子，在那里我们表明，剩余的粒子可以准备在一个非色散状态与非零角动量的效果。
2022-08-05 cond-mat.quant-gas quant-ph
Few-body Physics in a Many-body World
量子力学少体系统的研究是一个世纪的追求，涉及物理学的无数子领域。虽然两体问题通常被认为在理论上和数值上都得到了很好的理解，但冒险研究三个或更多个物体会带来复杂性，但也会带来许多有趣的现象。近年来，原子和分子的冷却和囚禁已经显示出极大的希望，为研究少体物理提供了一个高度可控的环境。然而，对于许多少体效应起重要作用的系统来说，少体态并不是与它们的多体环境隔离开的。于是，一个有趣的问题变成了，我们是否（或者更准确地说）应该把少体态看作是有效孤立的，以及什么时候我们必须考虑到与环境的耦合。使用一些简单的，但不平凡的例子，我将试图建议可能的方法，这条线的研究。
2014-07-29 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Dynamics of spin and density fluctuations in strongly interacting few-body systems
自旋与密度动力学的解耦是量子一维多体系统的一个显著特征。然而，在少体体系中，人们对这种现象知之甚少。为了解决这个问题，我们研究了一个小系统的强相互作用费米子的捕获几何形状的突然变化后的时间演化。我们表明，即使在少体水平上，该系统的激发谱也呈现出不同的自旋和密度动力学特征。此外，我们描述了考虑SU（N）对称性的额外内部状态的影响，这最终导致在完全平衡系统中自旋激发的消失。
2020-01-10 cond-mat.quant-gas quant-ph
Atypicality of Most Few-Body Observables
本征态热化假设（ETH），它规定在一个小能量壳层内的所有对角矩阵元素几乎相等，是解释孤立量子系统中热化的主要候选者。根据典型性论证，这种矩阵元素的最大变化应该随着系统大小的增加而呈指数下降，这意味着ETH。然而，我们发现，典型性参数不适用于大多数少体观测的少体哈密顿能量壳的宽度时，在最多多项式减少与系统的大小增加。
2018-02-23 cond-mat.stat-mech quant-ph
Low-Dimensional Few-Body Processes in Confined Geometry of Atomic and Hybrid Atom-Ion Traps
我们发展了一种有效的方法来处理原子和混合原子-离子阱中的低维少体过程。该方法基于V. Melezhik提出的二维离散变量表示（DVR）中的分裂算子方法，用于求解少维含时薛定谔方程。本文简要回顾了超冷原子共振过程的应用，并讨论了我们在原子-离子混合系统中的最新研究结果。并对该方法在低维少粒子系统物理其它热点问题中的应用前景进行了展望。
2018-12-04 physics.atom-ph quant-ph
Robust quantum many-body scars in lattice gauge theories
本文通过Krylov时间演化方法，利用规范对称性生成元的线性项，在U(1)和Z_2晶格规范理论中实现了量子多体疤痕对实验误差的鲁棒性，并借助量子Zeno动力学解释，方法可直接用于超冷原子和里德伯原子量子模拟器。
2023-05-05 cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el hep-lat
Observability of a Sharp Majorana Transition in a Few-Body Model
我们提出了实验观察到的签名拓扑马约拉纳准粒子的相互作用冷原子模型的少体限制[Iemini等。118 200404（2017）]。在此极限下，总的现场密度和单体关联随模型参数的变化而平滑，而计算的晶格两端的互信息则表明系统急剧过渡到拓扑基态.此外，局域密度和宇称测量为观测超冷原子中基态Majorana准粒子提供了一条实验可行的途径。我们的研究结果为利用少体系统作为马约拉纳物理学的试验场奠定了一个充满希望的未来。
2020-10-21 physics.atom-ph quant-ph
Gauge-Symmetry Protection Using Single-Body Terms
量子模拟器硬件承诺对粒子和核物理问题的新见解。一个主要的挑战是再现规范不变性，因为违反格点规范理论的这一本质性质可能会产生戏剧性的后果，例如，量子电动力学中光子质量的产生。在这里，我们介绍了一种实验友好的方法，以保护规范不变性$\mathrm{U}(1)$格点规范理论对相干误差在一个可控的方式。我们的方法只采用单体能量惩罚条款，从而使实际的实施。正如我们推导出的解析，一些套惩罚系数呈现不希望的规范部门无法通过酉动力学指数长的时间，并为几个机构的错误条款，与系统大小无关的资源。这些发现构成了一个指数的改善，以前已知的结果，从能量间隙保护或微扰治疗。在我们的方法中，规范不变子空间受到一个紧急全局对称性的保护，这意味着它可以立即应用于其他对称性。在我们的连续时间和数字量子模拟的数值基准中，规范保护适用于所有计算的演化时间（连续时间最高为$t>10^{10}/J$，相关能量标度为$J$）。至关重要的是，我们的规范保护技术比相关的理想规范理论更容易实现，因此可以很容易地实现在当前的超冷原子模拟模拟器以及数字噪声中间尺度量子（NISQ）设备。
2020-08-11 cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el hep-ex
Nonmesonic Quantum Many-Body Scars in a 1D Lattice Gauge Theory
本文研究一维 Z2 晶格规范理论中量子多体疤痕的介子激发，通过弦表示发现小长度疤痕态具有稳定介子而大长度疤痕态出现非介子激发，并证明该转变可通过淬火动力学实验探测，揭示了非介子态也能表现遍历性破缺。
2024-05-22 cond-mat.str-el quant-ph
Unitary interaction geometries in few-body systems
我们考虑少体系统，其中只有一个特定的子集的粒子-粒子相互作用是共振的。我们用一个{ \it酉图}来刻画每个子集，其中顶点代表可区分的粒子，边代表共振2体相互作用。幺正图连通的少体系统将坍缩，除非包含排斥的三体相互作用。我们发现两类图，区分的3-体排斥必要的，以稳定相关的系统。每个类别的特征在于图是否包含回路：对于树状图（包含回路的图），使它们重整化的三体力与具有两（三）个共振相互作用的三体系统相同。我们数值表明，这一猜想是正确的四体的情况下，以及为少数5体配置。通过对波函数的Faddeev-Yakubovsky~分解施加Bethe-Peierls边界条件，我们定性地解释了这一结果。
2023-03-02 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Fixed-Point Few-Body Hamiltonians in Quantum Mechanics
我们回顾了温伯格在核物理学中的思想如何影响我们自己的工作，并导致量子力学少体问题中的重整化群不变框架，我们也更新了在短程相互作用极限中的相关标度的讨论。在这种情况下，它是修改的公式的减去散射方程和固定点哈密顿量应用于少体系统，其中原始相互作用包含点状奇点，如Dirac-delta和/或其衍生物。该方法正在说明考虑奇异相互作用描述的两个核子。这次修订还包括一个扩展的重整化形式主义的三体系统，这是其次是更新的讨论的应用程序，以四个粒子。
2021-11-10 nucl-th quant-ph
Characterizing ground and thermal states of few-body Hamiltonians
一个给定的量子态是少体哈密顿量的基态还是热态的问题可以用来表征状态的复杂性，并且对于可能的实验实现是重要的。我们提供的方法来表征所产生的状态的两个，更一般地说，k-体哈密顿以及这些集的凸包。这导致了新的见解的问题，国家是唯一确定的边缘和概括的概念纠缠。最后，推导出量子模拟的验证方法。
2016-06-29 cond-mat.mes-hall quant-ph
From few to many body degrees of freedom
在这里，我专注于使用显微镜，少体技术是相关的多体问题。这些方法可以分为间接和直接。特别是，间接方法涉及简化的多体问题，通过取代全部，微观相互作用的赝势，旨在重现碰撞信息在指定的能量，或结合能在少体部门。这些简化的相互作用产生了更易处理的多体问题理论，并且等价于相互作用的有效场论。直接方法，这是迄今为止最有用的在一个空间维度，有攻击的目标，一次通过使用少体信息的多体问题。在这里，我将介绍非微扰直接方法来研究一维费米子和玻色子气体在一维。
2018-01-24 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Quantum Many-Body Scars for Arbitrary Integer Spin in 2+1D Abelian Gauge Theories
本文通过解析构造证明任意整数自旋的2+1维阿贝尔规范理论中广泛存在量子多体疤痕，并用数值模拟验证，为量子模拟非平衡现象提供指导。
2024-09-02 cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el hep-lat
Projected Entangled Pair States with non-Abelian gauge symmetries: an SU(2) study
在过去的几年里，投射纠缠对态在许多体系统的研究中表现出了巨大的力量，因为它们自然地描述了带隙的许多体哈密顿量的基态，并提出了一种建设性的方法来编码和分类它们的对称性。PEPS的研究不仅限于全局对称性，而且还扩展和应用于局部对称性，允许使用它们来描述格点规范理论中的状态。在本文中，我们讨论了具有局域SU（2）规范对称性的PEPS，并演示了使用PEPS的功能和技术来研究一个简单的家庭的许多身体状态与非阿贝尔规范对称性。特别地，我们提出了在适当的截断下，既能描述双色费米子物质又能描述SU（2）规范场自由度的费米子PEPS的构造。
2016-07-27 hep-lat quant-ph
Universal spectral correlations in interacting chaotic few-body quantum systems
该研究针对相互作用混沌量子系统的谱关联问题，通过随机矩阵系综建模得到谱形状因子的精确结果，发现其转变由单一标度参数普适调控且与数值结果吻合，还验证了方法在实际物理系统中的适用性。
2023-06-13 cond-mat.stat-mech quant-ph
Few-body techniques using momentum space for bound and continuum states
这些笔记是为2017年10月在马克斯·普朗克复杂系统物理研究所的一所学校举行的一组三场讲座而写的，之后是“量子少体系统的临界稳定性”研讨会。这些讲座主要是专门为学生和代表一个非常独特的愿景的作者，主要是在最后一部分的文字有关的应用程序。这些笔记只是尝试性地展示一种技术，在许多其他技术中，解决当代物理学中一个非常丰富的领域-少体物理学中的问题-很多时候相当一部分学生不知道。
2018-02-15 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
Exact Quantum Many-Body Scars in 2D Quantum Gauge Models
Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (WPI), UTIAS, The University of Tokyo（东京大学宇宙物质前沿研究联合中心）；Department of Physics, Graduate School of Science, The University of Tokyo（东京大学理学研究科物理学专攻）；Institute for Physics of Intelligence, The University of Tokyo（东京大学智能物理研究所）；Trans-scale Quantum Science Institute, The University of Tokyo（东京大学跨尺度量子科学研究所）
研究二维量子\(\mathbb{Z}_2\)规范模型中的精确量子多体伤疤，通过识别XY模型的精确本征态为伤疤，利用对偶变换证明变换后XY模型等的伤疤是对偶规范模型的伤疤，该构造对找高维模型新伤疤有潜在应用。
2026-07-14 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Observation of Emergent $\mathbb{Z}_2$ Gauge Invariance in a Superconducting Circuit
格点规范理论是多体物理中最基本的理论之一，近年来在量子模拟中引起了广泛的研究兴趣。在这里，我们实验研究的涌现$\mathbb{Z}_2$规范不变性的一维超导电路与10 transmon量子比特。通过对每个量子比特精确地调整交错的纵场和横场，我们构造了包含LGT和规范破缺项的有效哈密顿量。相应的物质扇区可以表现出定域性，并且存在一个3量子比特算符，其期望值在低能区可以长时间保持非零。上述定域可以看作是物质场的禁闭，而三体算符就是$\mathbb{Z}_2$规范生成元。这些实验结果表明，尽管在有效哈密顿量中没有规范结构，$\mathbb{Z}_2$规范不变性仍然可以出现在低能区。我们的工作为从理论和实验上研究具有突现规范不变性的量子多体系统的丰富物理提供了一种方法。
2022-06-20 cond-mat.str-el quant-ph
On applying the subspace perturbation theory to few-body Hamiltonians
我们提出了一个选择的结果厄米特算子的谱子空间的厄米特扰动下的变化，并显示这些结果可能会工作的少体哈密顿。
2013-11-26 math-ph math.MP physics.atm-clus
Quantum Many-Body Scarring in a Non-Abelian Lattice Gauge Theory
本文证明了在具有动力学物质的非阿贝尔SU(2)格点规范理论中存在稳健的量子多体疤痕，揭示了疤痕动力学与规范对称性间的紧密联系，并可在囚禁离子qudit量子计算机上观测。
2025-04-04 cond-mat.quant-gas hep-lat quant-ph
Many-Body Non-Hermitian Skin Effect with Exact Steady States in the Dissipative Quantum Link Model
Institute for Advanced Study, Tsinghua University（清华大学高等研究院）；Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）；Department of Physics, Princeton University（普林斯顿大学物理系）
该研究提出了一种具有精确稳态的耗散量子链模型，实现了多体非厄米特皮肤效应，并提出了层次皮肤效应的新类型。
2025-12-26 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el
Few-body bound states in dipolar gases and their detection
我们考虑由两个一维管组成的低维设置中的异质结分子之间的偶极相互作用。我们证明了不同管中分子间的吸引力可以克服管内分子间的排斥力，并且同一管中含有多个分子的复合物是稳定的。提出了少体配合物的原位检测方案。我们讨论了许多管和层的情况下的扩展，并概述了我们的结果对多体物理的影响。
2011-08-09 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas quant-ph
Emergence of multi-body interactions in few-atom sites of a fermionic lattice clock
碱土（AE）原子具有亚稳态的时钟状态，具有分钟长的光学寿命、高自旋核和SU（$N$）对称相互作用，这使得它们在先进的原子钟、量子信息处理和量子模拟中具有独特的位置。精密测量和量子多体物理学的相互作用正在开始培育一个充满机遇的令人兴奋的科学前沿。很少有粒子系统提供了一个窗口来观察由成对相互作用引起的复杂多体现象的出现。在这里，我们创建一个费米子${}^{87}$ Sr三维（3D）光晶格时钟的隔离少体系统的阵列，并使用高分辨率的时钟光谱直接观察弹性和非弹性多体相互作用的发病。这些相互作用不能被分解为潜在的成对相互作用的总和。我们测量了原子数$n$从1到5的时钟跃迁的粒子数依赖的频率偏移，并观察到非线性相互作用的位移，这是SU（$N$）对称弹性多体效应的特征。为了研究非弹性多体效应，我们使用这些频移隔离$n$占据的网站和测量相应的寿命。这使我们能够获得短距离的少体物理学，而不受大块气体中遇到的系统效应的影响。这些测量，结合理论，阐明了出现的多体效应的网站填充基态原子和单电子激发的少体系统。通过隧穿连接这些少体系统，有利的相互作用的能量和时间尺度将允许我们的系统用于高自旋量子磁性和近藤效应的研究。
2018-03-29 cond-mat.quant-gas physics.atom-ph quant-ph
Native Three-Body Interactions in a Superconducting Lattice Gauge Quantum Simulator
本文在电路量子电动力学架构中提出并实现参数激活的三量子比特相互作用，实验演示最小U(1)自旋-1/2模型，其时间演化内在满足高斯定律，为超导光子晶格上模拟晶格规范理论奠定基础。
2025-01-23 cond-mat.mes-hall hep-lat hep-th
Four-Body Scale in Universal Few-Boson Systems
内禀四体标度在宇宙少数玻色子系统中的作用是一个积极辩论的主题。我们在有效场论的框架内研究这些系统。对于多达六个玻色子的系统，我们确定没有四体标度出现在领先秩序（LO）。然而，我们发现，在下一个领导（NLO）的顺序是需要一个四体的力量，以获得重整化的结合能的结果。与固定的四玻色子系统的结合能的相关参数，这个力被证明重整化的五体和六体系统以及。我们提出了一个原始的ananterior短距离限制的玻色子$A$体波函数，我们推测，新的$A$体尺度出现在N $^{A-3}$ LO。作为一个具体的例子，计算的氦原子团簇。我们的研究结果更普遍地适用于其他少体系统由一个大的散射长度，如轻核和晕态，其低能量的属性是独立的详细的内部结构的成分。
2019-04-11 cond-mat.quant-gas nucl-th quant-ph
String-net formulation of Hamiltonian lattice Yang-Mills theories and quantum many-body scars in a nonabelian gauge theory
本文通过弦网模型和q形变正则化哈密顿量，在(2+1)维SU(2)格点杨-米尔斯理论中发现非阿贝尔规范理论中同样存在来自零模的量子疤痕，并讨论了截断依赖性。
2023-09-19 hep-lat hep-th quant-ph
Exotic quantum holonomy and non-Hermitian degeneracies in two-body Lieb-Liniger model
在一维玻色系统中研究了奇异量子完整性和例外点的相互作用。厄米绝热循环导致本征能发生非平凡变化的本征能非完整性可以解释为本征能黎曼面结构的一种表现，其中的分支点被确定为复化参数空间中的例外点，即简并点.它也表明，例外点的发散点的非阿贝尔规范连接的规范理论制定的本征空间非完整性。这有助于我们计算规范连接的反路径有序指数，以获得规范协变量。
2013-07-06 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Bounds on variation of the spectrum and spectral subspaces of a few-body Hamiltonian
本文综述了最近几年关于厄米特算子谱子空间在加性厄米特扰动下的谱移动和变分范数界的结果。在已有结果的基础上，给出了一般非对角子空间扰动问题的一个新的子空间变差界。我们还演示了一些抽象的结果可能会工作的少体哈密顿。
2014-10-13 math-ph math.MP quant-ph
Few-body correlations in two-dimensional Bose and Fermi ultracold mixtures
本文对二维简谐囚禁混合物中出现的少体关联进行了全面的研究。陷阱的存在导致形成原子二聚体和陷阱状态，除了三聚体。谭的这些本征态的接触研究不同的种间散射长度和质量比，而相应的分析见解内的绝热超球形式主义。与其他本征态相比，三聚体态的两体和三体关联得到了显著增强。的原子二聚体和陷阱状态的两体接触功能的上限，无论统计，半经典处理，并在大的散射长度的限制有一个分析预测。这样的上限在三体接触中是不存在的。有趣的是，通过调节种间散射长度，接触振荡的原子二聚体和陷阱态的变化，通过现有的避免交叉的能量谱的特性。对于热气体，所涉及的二体和三体关联的逐渐抑制被证明体现热效应的影响。此外，不同的本征态的空间配置范围从本地化的结构，角度各向异性图案被捕获。我们的研究结果提供了宝贵的见解的内在关联机制的少体混合物，可以实施在最近的超冷原子实验，将是特别有用的探测交叉从少到多原子系统。
2021-09-16 cond-mat.quant-gas physics.atom-ph quant-ph
Semiclassics in a system without classical limit: The few-body spectrum of two interacting bosons in one dimension
我们提出了一个半经典研究的光谱的少体系统组成的两个短程相互作用玻色子在一维，一个特殊的情况下，一般类的可积多体系统的能量谱给出的代数超越方程的解决方案。通过$δ$ -势与少体波函数边界条件之间的精确映射，我们将以往单粒子系统混合边界条件的半经典结果推广到两体问题.半经典的方法使我们能够得到明确的分析结果的光滑部分的两体态密度是非常符合数值计算。它进一步使我们能够包括在吸引的情况下的束缚态的影响。值得注意的是，对于一维两粒子的特殊情况，通过光滑态密度的重新量化条件得到的离散能级基本上与精确的完全一致。
2017-08-09 cond-mat.quant-gas nlin.SI quant-ph
Connection between Calogero-Marchioro-Wolfes type few-body models and free oscillators
我们建立了Calogero-Marchioro-Wolfes模型及其几个推广与自由振子的精确对应。这种联系产生本征态，并导致量子可积性的证明。我们的方法，寻找新的可解模型的有用性，然后通过一个例子证明。
1998-04-20 cond-mat hep-th nlin.SI
The Goldilocks model of separable, zero-range, few-body interactions in one-dimensional harmonic traps
本文介绍了一维谐振势阱中几个相互排斥作用粒子的“金发姑娘模型”，并给出了三粒子情形的精确解。金发女孩模型与另外两个著名的系统，卡洛杰罗模型和接触相互作用模型共享特征，并且在极限情况下与它们一致。然而，这些模型有纯粹的两体相互作用，而这个模型有本质上的少体相互作用。比较这三个模型提供了澄清之间的区别对称性，可分性和可积性。该模型的解析解提供了一个有用的基础，以改善近似方案，特别是附近的硬核心接触相互作用的酉限制。
2017-08-16 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
