Quantum walks and their algorithmic applications
Andris Ambainis
量子漫步是马尔可夫链的量子对应物。在这篇文章中，我们简要介绍了量子漫步，重点是它们的算法应用。
Quantum walks are quantum counterparts of Markov chains. In this article, we give a brief overview of quantum walks, with emphasis on their algorithmic applications.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Exponential algorithmic speedup by quantum walk
我们建立一个神谕（即，黑盒）问题，可以在量子计算机上比在经典计算机上以指数速度解决。该量子算法基于连续时间量子行走，因此采用了与基于量子傅立叶变换的先前量子算法不同的技术。我们展示了如何在我们的神谕设置有效地实现量子行走。然后，我们将展示如何通过快速遍历图来使用这种量子行走来解决我们的问题。最后，我们证明了没有一个经典的算法可以解决这个问题的高概率在次指数时间。
The effect of quantum noise on algorithmic perfect quantum state transfer on NISQ processors
量子游动是量子系统中经典随机游动的一种模拟。在某些类型的图上，与经典的随机游动相比，量子游动具有更小的命中时间，这导致了基于量子游动的算法的量子优势。量子漫步的一个重要特征是，它们伴随着从一个位点到另一个位点的激发转移，并且击中目标位点的时刻的特征在于在该位点上观察到激发的最大概率幅度。因此，考虑将这些问题作为量子优势演示的候选问题是有前景的，因为门错误可以涂抹出作为时间函数的转移概率的峰值，然而仍然使其可区分。我们研究了量子噪声对一个典型的量子行走问题--量子比特链上的完美态转移（PST）的命中时间和保真度的影响。我们模拟了量子比特链上的单个激发的动力学，在量子处理器的典型噪声（均匀和非均匀泡利噪声，串扰噪声，热弛豫和失相噪声）的存在下。我们发现泡利噪声主要影响激发转移保真度的峰值，而量子比特之间的串扰主要影响命中时间。关于这些噪声模式的知识使我们能够提出一个错误缓解程序，我们使用它来改进在嘈杂的量子处理器的模拟器上运行PST的结果。
Laplacian versus Adjacency Matrix in Quantum Walk Search
一个由薛定谔方程演化的量子粒子，从粒子的动能出发，在其哈密顿量中包含一个与拉普拉斯算符成比例的项。在离散空间中，这被离散或图形拉普拉斯算子所取代，这产生了连续时间量子行走。除了这个自然的定义，一些量子行走算法使用邻接矩阵来实现行走。虽然这等价于正则图的拉普拉斯算子，但它对于非正则图是不同的，因此是不等价的量子行走。我们在算法上探索这种区别，通过分析搜索的完全二分图与多个标记的顶点，使用拉普拉斯算子和邻接矩阵。这两种行走在所需的跳跃率、运行时间、标记顶点的采样以及自然初始状态的构成方面存在质和量的差异。因此，选择拉普拉斯算子或邻接矩阵来实现行走具有重要的算法后果。
Analysis of Absorbing Times of Quantum Walks
量子漫步有望为量子计算提供有用的算法工具。引入量子游动的吸收概率和时间，从吸收概率和时间的角度对直线上的Hadamard游动和超立方体上的对称游动进行了数值模拟和理论分析.
A Quantum Random Walk Search Algorithm
图上的量子随机游动已经显示出许多有趣的性质，包括与经典同行相比的指数快速命中时间。然而，目前还不清楚如何使用这些新的属性，以获得一个算法的速度超过经典算法。在本文中，我们提出了一个量子搜索算法的基础上的量子随机游走架构，提供了这样的加速。它将被证明，该算法执行Oracle搜索的数据库上的$N$项目与$O(\sqrt{N})$调用的Oracle，产生类似于其他量子搜索算法的速度。看来量子随机游走公式具有相当大的灵活性，为其他可能新颖的量子算法的发展提供了有趣的机会。
Finding a marked node on any graph by continuous-time quantum walk
利用离散时间量子行走进行空间搜索，可以以比经典搜索快2倍的速度找到任意遍历可逆马尔可夫链$P$上的标记节点，即时间是$P$的命中时间的平方根。然而，在连续时间量子行走的框架下，以前不知道这种普遍的加速是否可能。事实上，在这个框架中，Childs和Goldstone广泛使用的量子算法无法实现这样的加速。此外，如何应用该算法搜索任何马尔可夫链$P$还不清楚。在本文中，我们的目标是调和这两个框架中空间搜索算法的运行时间之间的明显差异。首先，我们提出了一个修改后的版本的Childs和Goldstone算法，可以搜索任何遍历，可逆的$P$通过在其边缘上执行量子行走的标记元素。尽管这种方法在几个实例中改进了算法运行时间，但它不能为任何$P$提供通用的二次加速。其次，利用内插马尔可夫链的框架，提出了一种新的基于连续时间量子行走的空间搜索算法，该算法可以在经典命中时间的平方根内找到任意$P$上的标记节点。在标记多个节点的情况下，算法运行时间按称为扩展命中时间的量的平方根进行缩放。我们的研究结果建立了一个新的离散时间和连续时间量子行走之间的联系，并可用于开发一些基于马尔可夫链的量子算法。
Fault-Tolerant Quantum Walks
量子漫步有望在科学和数学的许多领域提供重要的建模和算法应用。虽然量子漫步在最近已经成功地实现了物理，但还没有做出重大努力来以容错的方式对抗与这些物理实现相关的错误。在本文中，我们提出了一个系统的方法来实现容错量子行走在离散时间任意复杂的图，使用量子态编码的Steane码和一组通用的容错矩阵运算。
Transfiguration of Quantum Walks on a line
我们引入了一个解析可处理的自旋退相干模型，量子漫步在一条线上，产生精确的位置概率分布的无偏经典随机漫步在所有的时间尺度。这个自旋退相干模型描述了一个量子信道，在这个量子信道中，同时对硬币态施加比特和相位翻转算符。基于这个结果，我们认为对于给定的一维量子行走，存在某些量子信道可以产生精确的经典统计性质。此外，从量子计算的角度来看，退相干模型在非局域初态的量子行走中可能有有用的算法应用。
Quantum Walks
这篇教程文章展示了量子漫步的许多种类和用途。离散时间量子游动被引入作为经典随机游动的对应物。重点是两种类型的过程（具有相当不同的基本动力学）之间的连接和差异，用于产生随机分布。我们讨论算法的应用程序图搜索和比较这两种方法。接下来，我们将研究马尔可夫链的量化，并展示它如何导致采样方案的加速。最后，我们转向连续时间量子行走及其应用，它提供了有趣的（甚至指数）加速超过经典方法。
Relativistic effects in quantum walks: Klein's paradox and Zitterbewegung
量子行走不仅是量子计算的算法工具，而且也不是描述各种物理过程的平凡模型。本文比较了一维自由粒子狄拉克方程和离散时间量子行走。我们表明，离散狄拉克方程相比，DTQW结果在有趣的关系。它还表明，两个相对论效应与狄拉克方程，即Zitterbewegung（运动）和克莱因的悖论，存在于DTQW，这可以实现在非相对论量子力学。
Quantum random walks in coupled photonic ring resonators
量子随机游走使用干涉来获得更快的状态空间探索，这可以用于算法目的。光子技术为许多最近的实验演示提供了一个自然的平台。在这里，我们分析了相干光在串联耦合光子环谐振器中的传播所实现的量子无规行走。我们提出了一个家庭的图形建模这些设备和比较量子和经典的随机行走这些结构，计算稳态和时间相关的解决方案。我们得到的条件量子优势在这种情况下，并显示如何恢复经典的随机游走平均量子相位。初步设备的可行性测试进行了通过模拟和实验结果，使用聚合物定向耦合器。
Quantum Walk Search through Potential Barriers
理想的量子行走以完美的保真度从一个顶点过渡到另一个顶点，但在物理系统中，粒子可能会受到势能垒的阻碍。然后粒子有一定幅度的隧穿势垒，也有一定幅度的停留。我们调查的算法后果，这样的障碍的量子行走制定格罗弗算法。我们证明，故障幅度必须缩放为$O(1/\sqrt{N})$搜索，以保持其量子$O(\sqrt{N})$运行时，否则，它在经典的$O(N)$时间搜索。因此，搜索更大的“数据库”需要越来越可靠的跳操作或纠错。这个条件对离散时间和连续时间量子行走都成立。
Quantum walks, the discrete wave equation and Chebyshev polynomials
本文受Terence Tao启发，提出从图上离散波动方程推导量子游走，将其描述为对随机游走转移矩阵应用Chebyshev多项式，从而解耦量子起源并证明格上扩散行为的二次改进。
Quantum Walk on a Line with Two Entangled Particles
我们引入了两个粒子的量子行走的概念，并研究了离散时间行走的情况。具有多个粒子的量子行走可能包含纠缠，从而提供了经典场景中不可用的资源，并且可以呈现有趣的优势。在这项工作中，我们展示了描述每个粒子的硬币自由度的状态之间的纠缠和相对相位将如何影响量子行走的演化。特别是，在行走的$N$步之后，在某个位置找到至少一个粒子的概率，以及两个粒子之间的平均距离，可以大于或小于两个未纠缠粒子的情况，这取决于我们选择的初始条件。然后可以根据我们的需求调整这个资源，特别是基于量子行走来增强给定的应用程序（算法或其他）。实验实现进行了简要讨论。
From open quantum walks to unitary quantum walks
我们提出了一种思想，将定义在格上和有限图上的任何开量子行走转化为幺正量子行走。这种方法推广到域的开放量子行走（或量子马尔可夫链）的框架介绍了Szegedy量化马尔可夫链。对于本文中的幺正量子游动，我们定义了在一个节点处找到游动的概率和平均概率，并导出了渐近平均概率。
A random walk approach to quantum algorithms
基于随机游动的量子版本的量子算法的发展被放置在新兴的量子计算领域的背景下。构建一个合适的量子版本的随机行走并不是微不足道的：纯粹的量子动力学是确定性的，因此随机性只在测量阶段进入，即，当将量子信息转换成经典信息时。由于不同可能路径之间的干扰，量子随机行走的结果与相应的经典随机行走非常不同。结果是，量子步行者发现自己比经典步行者平均离起点更远，这构成了量子加速的基础，可以用来更快地解决问题。令人惊讶的是，使行走略低于完美量子的效果可以优化算法应用的量子行走的特性。展望未来，即使有一台小型量子计算机可用，量子行走算法的发展也可能比现在更快，特别是在解决实际问题方面。
Implementation of multi-walker quantum walks with cavity grid
我们展示了如何多步行量子行走可以实现通过腔量子电动力学量子梅花形。多步行者量子行走的实现为引入纠缠和更高级的行走开辟了有趣的可能性。在不同的初始状态和不同的抛硬币次数下，多步行者量子行走表现出不同的概率分布，这与具有二次增强扩散和局域化效应的经典随机行走有很大的不同.通过引入退相干，观察到了从量子行走到经典行走的转变。我们引入平均保真度衰减作为一个签名来研究退相干引起的量子行走的不可逆性。
Quantum stochastic walks: A generalization of classical random walks and quantum walks
我们引入了量子随机游动（QSW），它决定了广义量子力学游动在服从量子随机运动方程的图上的演化。使用一个公理化的方法，我们指定的规则，所有可能的量子，经典和量子随机从顶点定义的连接。我们展示了可能的QSW家族如何包含经典随机游走（CRW）和量子游走（QW）作为特例，但也包括更一般的概率分布。作为一个例子，我们研究了直线上的QSW，QW到CRW的跃迁以及超越CRW和QW的广义QSW跃迁。量子慢波为量子算法的研究以及环境效应下的量子行走提供了一个新的框架。
Efficient Computation of Decoherent Quantum Walks through Eigenvalue Perturbation
最近的一些研究已经调查了在量子漫步中引入退相干以及由此产生的向经典随机漫步的过渡。有趣的是，已经表明具有消相干的量子行走的算法特性，例如扩展速率，有时比它们的纯量子同行更好。不仅具有退相干的量子行走提供了自然地包含量子和经典情况的量子行走的一般化，而且它们还产生了新的和不同的概率分布。具有退相干的量子行走在大型图中的应用受到限制，因为必须演化一个状态向量，其大小是图的节点数的二次，而不是纯量子（或经典）情况下的线性状态向量。在这份技术报告中，我们展示了如何使用微扰理论来降低受退相干影响的连续时间量子行走的计算复杂性。更具体地说，给定一个n个节点的图，我们展示了如何从n × n图的Hamilton算子的本征分解近似n^2 × n^2 Lindblad超算子的本征分解。
Algorithmic complexity and entanglement of quantum states
我们定义了相对于给定精度参数的量子态的算法复杂度，并给出了各种状态例子的上界。我们还建立了一个量子态的纠缠和它的算法复杂度之间的联系。
One dimensional lazy quantum walks and occupancy rate
量子惰性行走是由Andrew M. Childs证明了连续时间量子行走是离散时间量子行走的极限[Commun.Math.Phys.294，581 -603（2010）].本文讨论了惰性量子游动的性质。我们的分析表明，懒惰量子游动有$O(t^n)$阶的相应的概率分布的n阶矩，这是相同的，为正常的量子游动。另外，带有离散傅里叶变换（DFT）硬币算子的懒惰量子行走具有与正常Hadamard量子行走相似的概率分布集中区间。最重要的是，我们引入了占用数和占用率的概念来衡量步行在其范围内的每个位置处具有（相对）高概率的程度。我们的结论是，懒惰量子行走有更高的占用率比其他行走，如正常的量子行走，经典行走和懒惰的经典行走。
Normal variance mixture with arcsine law of an interpolating walk between persistent random walk and quantum walk
提出一维格上单参数插值量子游走与持久随机游走的模型，证明其极限分布服从反正弦律的正态方差混合。
Are quantum walks the saviour of optical quantum computing?
量子漫步已经成为实现量子信息处理协议的有趣候选者。量子漫步的光学实现已经被各种团体所证明，其中一些已经受到了高调的报道。人们经常声称，量子行走提供了一条通往通用量子计算的途径。在这篇评论中，我希望消除围绕量子行走作为通往通用光学量子计算的途径的前景的一些误解。
Increasing the dimensionality of quantum walks using multiple walkers
我们发现，通过添加多个步行者，量子行走线上可以转化为更高的维度格图。因此，多步行者行走可以模拟高维图上的单步行者行走，反之亦然。这种指数复杂性为当今的量子漫步实验开辟了新的应用。我们将讨论这种高维结构的应用，以及它们与线性光学量子计算的关系。特别地，我们证明了多步行者量子行走等价于Aaronson和Arkhipov提出的线性光学量子计算的BosonSampling模型。通过增加对晶格中的相位缺陷的控制，可以用纠缠门来模拟，可以构建非对称晶格结构，这对于量子计算是通用的。
Design for implementation of discrete-time quantum walk with circulant matrix on graph by optical polarizing elements
在本文中，我们引入了一个量子行走，其在每个顶点的局部散射表示为一个酉循环矩阵，即循环量子行走。我们还介绍了由循环量子行走引起的另一种量子行走，即光量子行走，它的底层图是一个$2$ -正则有向图，通过某种方式将原图爆破而得到.我们提出了一种实现光量子行走稳态的光路设计。我们证明了如果诱导光量子行走不具有$+1$本征值，则光量子行走的定态给出了原循环量子行走的定态。从这个结果出发，我们给出了一个可由该光路实现的循环量子行走的条件。
Complementarity and quantum walks
我们表明，量子行走插值之间的相干“波行走”和随机行走取决于如何强烈的步行者的硬币状态的测量，即，量子行走表现出互补性的典型量子特性，其表现为行走者采取哪条路径的知识与干涉图案的清晰度之间的权衡。因此，量子漫步的物理实现（量子梅花形）应该有一个可识别的步行者，并有能力根据测量的强度证明波漫步和随机漫步之间的插值。
Quantum Walks, Quantum Gates and Quantum Computers
图上的量子行走的物理学是用哈密顿语言来表述的，既适用于简单的量子行走，也适用于复合行走，其中额外的离散自由度存在于图的每个节点。它示出了如何映射之间的量子行走哈密顿量和量子比特系统和量子线路的哈密顿量，这是一个单一的和多激发编码，以及更一般的映射。自旋链的具体例子，以及量子位的静态和动态系统，被映射到量子行走，超晶格和超立方体上的行走被映射到各种门系统。我们还展示了如何映射一个量子线路执行量子傅里叶变换，肖尔算法的关键要素，量子行走系统做同样的。本文的结果是一个必不可少的初步哈密顿公式的量子行走，其中耦合到一个动态的量子环境。
Quantum Walk-based Generation of Entanglement Between Two Walkers
量子行走既可以用作量子算法开发的工具，也可以用作纠缠发生器，这对测试量子硬件可能很有用。我们提出了一种新的算法的基础上离散Hadamard量子行走线上的一个硬币和两个步行者，其目的是产生纠缠之间的步行者。我们提供了我们的量子算法的几个经典的计算机模拟，其中我们表明，虽然步行者之间产生的纠缠的渐近量在每一步都没有达到最高程度的纠缠，无论是硬币测量结果，（对于每一步，产生的纠缠/可能的最高纠缠值）趋于收敛，并且实际收敛值取决于硬币初始状态和硬币测量结果。此外，我们的数值模拟表明，对于我们算法中使用的量子行走，纠缠比收敛的值还取决于一个单行走计算的量子行走的位置概率分布对称性和相应的两个行走量子行走中使用的相同硬币初始状态。
Unitary Equivalence of Quantum Walks
一个简单的量子漫步可以用一个$SU(2)$算符来描述，该算符有三个参数，代表掷硬币。然而，不同的这种掷硬币算子导致量子步行者的等效动力学。本文给出了量子游动的酉等价类，并证明了所有非等价的量子游动都可以用一个参数来区分。此外，我们还证明了电量子行走等价于具有含时抛硬币算子的量子行走。
Review on Quantum Walk Computing: Theory, Implementation, and Application
本文综述量子游走的理论模型、物理实现与算法应用，总结其超越经典计算及实现通用量子计算的潜力与挑战。
From quantum graphs to quantum random walks
我们简要介绍了量子图的最新发展，并概述了一般量子图和所谓的量子随机游动之间的联系。
Recurrence and Pólya number of quantum walks
我们分析了d维无偏量子行走的递归概率（Pólya数）。给出了一个量子行走是常返的充分条件。作为一个副产品，我们发现一个简单的标准，局部化的量子行走。与经典行走不同，经典行走的波利亚数是给定维度的特征，量子行走的递归概率通常取决于行走的拓扑，硬币的选择和初始状态。这允许通过改变初始状态将量子行走的特征从递归改变为瞬态。
Universal computation by multi-particle quantum walk
量子游走是一种在图上的时间均匀量子力学过程，其定义类似于经典的随机游走。量子步行者是在量子叠加中从给定顶点移动到相邻顶点的粒子。在这里，我们考虑一个推广的量子行走系统有一个以上的步行者。一个连续时间的多粒子量子游走是由一个与时间无关的哈密顿量产生的，其中一个项对应于每个粒子的单粒子量子游走，以及一个相互作用项。多粒子量子行走包括一个广泛的相互作用的多体系统，如玻色-哈伯德模型和费米子系统或具有最近邻相互作用的可区分粒子。我们证明了多粒子量子行走能够进行普适量子计算。由于也可以使用通用量子计算机有效地模拟我们考虑的多粒子量子行走类型，因此该模型准确地捕获了量子计算的力量。原则上，我们的结构可以用作构建可扩展量子计算机的架构，而不需要依赖于时间的控制。
Spatial Search on Johnson Graphs by Continuous-Time Quantum Walk
图上的空间搜索是量子漫步最重要的算法应用之一。证明基于量子行走的搜索比基于随机行走的搜索更有效是一个困难的问题，已经通过几种方式解决了这个问题。通常，图的对称性有助于计算算法的计算复杂性，而约翰逊图是关于对称性的有趣的类别，因为它们是正则的、Hamilton连通的、顶点和距离可传递的。在这项工作中，我们证明了空间搜索约翰逊图的连续时间量子行走达到Grover下界$π\sqrt{N}/2$与成功概率$1$渐近每个固定的直径，其中$N$是顶点的数量。证明在数学上是严格的，可以用于其他图形类。
Continuous-Time Quantum Walks on Trees in Quantum Probability Theory
利用量子概率论，导出了齐次树上连续时间量子行走的量子中心极限定理。作为结果，一个新的类型的极限定理的另一个连续时间走动的走动介绍。极限密度类似于一维晶格上的连续时间量子行走。
Quantum Walks can Unitarily Represent Random Walks on Finite Graphs
该研究提出反向构造方法，证明有限图上任意随机行走的顶点分布可由幺正时变量子行走匹配，揭示量子行走不收敛源于时间齐次性与幺正性共同作用，并展示其在环与环面均匀随机行走模拟中的应用。
Experimental Implementation of the Quantum Random-Walk Algorithm
量子随机行走是构造新量子算法的一种可能途径。几个研究小组对量子无规行走进行了研究，并提出了实验方案。在本文中，我们提出了量子随机游走算法的实验实现上的核磁共振量子计算机。我们观察到，量子行走是在鲜明的对比，它的经典对应。特别地，量子行走的性质强烈地依赖于量子纠缠。
History Dependent Quantum Random Walks as Quantum Lattice Gas Automata
量子无规游动（QRW）首先被定义为量子格子气自动机（QLGA）的单粒子扇区。最近，它们已经被推广到包括历史依赖性，无论是对以前的硬币（内部，即，自旋或速度）状态或先前位置状态。这些模型的目标是研究向经典的过渡，或者更一般地说，研究量子行走在算法应用中的性能变化。我们发现，几个历史依赖的QRW可以被确定为QLGA的单粒子部门。这为这些模型提供了一个统一的概念框架，其中存储历史信息所需的额外自由度自然地作为晶格上的几何自由度出现。
Quantum algorithmic information theory
量子算法信息论的议程，按“自上而下”的顺序，是量子停止幅度，其次是量子算法信息内容，这反过来又需要量子计算理论。量子信息理论所处理的量子比特是量子计算所处理的基本原子。量子计算的理论将基于通用量子计算机的模型，其基本单元是能够进行任意$U(2)$变换的双端口干涉仪。所有这些考虑的基础是量子理论，特别是希尔伯特空间量子力学。
Quantum walks on hypergraphs
在这项工作中，我们介绍了超图上的量子行走的概念。我们证明了交错量子行走模型是超图上量子行走的一个特例。
Quantum random walks on congested lattices
我们考虑拥挤格上的量子随机游动，并将其与经典随机游动进行对比。拥塞模型与晶格，包含静态缺陷，逆转步行者的方向。我们实现了一个退相过程后，每一步，这使我们能够顺利地插入经典和量子随机游走之间，以及研究退相的量子行走的效果。我们的关键结果表明，量子步行者逃离有限边界显着快于经典的步行者，这种优势仍然存在于严重拥挤的晶格。此外，我们观察到量子步行者对我们的退相模型非常敏感。
Self-avoiding quantum walks
与经典随机游动相比，量子游动表现出许多独特的特性。在经典环境中，自避免随机游动作为通常的经典随机游动的一种变化而被研究。经典的自回避随机游走已经有了许多应用，最显著的是在蛋白质折叠的建模中。我们在量子环境中考虑类似的问题。我们用一个记忆寄存器来补充量子行走，该寄存器记录了行走者以前居住的地方。这样，步行者就可以避免回到以前去过的地方。我们参数化的强度的记忆记录和记忆的强度对步行者的运动的反作用，并调查他们的动态步行的效果。我们发现，通过操纵这些参数的步行可以重现理想的量子或经典的随机行走统计，或过多的更复杂的扩散现象。在某些参数制度，我们观察到一个密切的对应关系之间的经典自避免随机游动和量子自避免行走。
Controlled Alternate Quantum Walks based Quantum Hash Function
通过引入受控交替量子游走，提出了基于受控交替量子游走的量子哈希函数。基于CAQW的量子哈希函数具有良好的安全性、统计性能和良好的可扩展性。此外，由于替代量子行走的结构，实现基于CAQW的量子哈希函数显着减少了必要的资源，其可行的实验实现比实现其他量子哈希函数。此外，基于CAQW的量子哈希函数具有可扩展性。
Quantum Search with Multiple Walk Steps per Oracle Query
我们通过离散时间和连续时间量子行走确定了量子搜索之间的关键区别：离散时间行走通常对每个Oracle查询执行一个行走步骤，而连续时间行走可以有效地对每个查询执行多个行走步骤，同时只计算查询时间。因此，我们表明，连续时间量子行走可以优于离散时间同行，即使都实现了二次加速比其相应的经典随机行走。为了提供更大的公平性，我们允许离散时间量子步行也采取多个步行步骤，每个Oracle查询，而只计数查询。然后，它匹配连续时间算法的运行时，但这样它是一个立方加速超过其相应的经典随机游走。这产生了量子搜索在其相应的经典随机游走上的比二次加速的第一个例子。
Topological quantum walks: theory and experiments
受拓扑量子材料的最新突破的启发，拓扑量子材料为新型、高效、低能磁电器件和容错量子信息处理铺平了道路，拓扑量子行走本身已经成为一个令人兴奋的话题，特别是由于这种方法提供的理论和实验简化。在拓扑量子漫步令人印象深刻的进展的动机下，我们提供了一个拓扑量子漫步的理论研究和实验研究的视角，重点是当前探索的拓扑性质产生的单步行量子漫步。
Quantum state revivals in quantum walks on cycles
经典随机游动中的常返性是众所周知的，并由波利亚数描述。对于量子行走，递归同样可以理解为局域化量子行走返回原点的概率。在某些情况下，量子步行器也可以在有限数目的步骤中返回到任意初始量子态。使用时间上恒定且在路径上均匀的硬币算符在量子圆周上行走中的量子态恢复以前已经描述过，但只是不完整的。本文给出了全量子态复活的一般条件。
Quantum Random Walks of Waves
粒子的量子行走与经典行走有很大的不同，它的奇异行为吸引了许多物理学家。在这里，我们研究量子行走的另一个有趣的部分，即波的量子行走。首先，我们给出了平面波的量子行走的行为，它与粒子的经典行走和量子行走有很大的不同。两种情况下-有和没有中间的时间测量的步行被认为是。最后指出，平面波的量子行走可以用来计算一般波包的演化，例如，高斯波包。
Asymptotic distributions of quantum walks on the line with two entangled coins
我们推进了以前的研究量子行走线上的两个硬币。这种由三向移位算子驱动的四态量子行走可以具有非零的平稳分布（局部化），从而将它们自己与基本场景中的线上的量子行走（即，由一枚硬币驱动）。在这项工作中，量子行走的渐近位置分布进行检查。给出了量子游走的弱极限和定态概率分布的显式表达式，并给出了它们对量子游走的初始态和硬币参数的依赖关系.特别是，它表明，目前的量子行走的弱极限的形式，在基本的情况下，量子行走的线上，某些初始状态的行走和硬币参数的某些值。在本地化发生的情况下，我们表明，固定概率指数衰减与步行者的位置的绝对值，独立的奇偶校验的时间。
Localized State in a Two-Dimensional Quantum Walk on a Disordered Lattice
我们实现了一对同时进行的十步一维量子行走，其中两个步行者共享硬币，我们证明这类似于十步二维量子行走，其中一个步行者持有一个四维硬币。我们的实验演示了一个11 × 11的二维晶格与线缺陷的十步量子行走，从而实现了本地化的步行状态。
Staggered Quantum Walks with Hamiltonians
量子漫步对于新量子算法的开发以及量子系统中几种物理现象的研究都是非常有用的。然而，量子行走的实际实现面临着与量子计算机类似的技术困难。因此，有强烈的动机去开发新的量子行走模型，这可能更容易实现。在这项工作中，我们提出了一个扩展的交错量子行走模型，适合于物理实现的时间无关的哈密顿量。我们证明，这类量子行走包括整个类的交错量子行走模型，Szegedy的模型，和一个重要的子集的杜撰模型。
One Dimensional Quantum Walks with Two-step Memory
本文研究了具有两步记忆的一维量子游动，它可以看作是具有一步记忆的量子游动的推广。本文利用路径积分方法推导了阿达玛硬币两步记忆行走振幅的一般公式，并对这一过程进行了数值模拟。模拟结果表明，这种新的量子行走的概率分布不同于具有一步记忆的Hadamard量子行走的概率分布，而与无记忆的正常Hadamard量子行走的概率分布有相似之处.
Multi-walker discrete time quantum walks on arbitrary graphs, their properties, and their photonic implementation
量子行走已经成为量子计算常用电路模型的一种有趣的替代方案。虽然对于量子计算来说仍然是通用的，但量子行走模型具有非常不同的物理要求，这更自然地适用于一些物理实现，例如线性光学。许多作者都认为步行与一个或两个步行者，在一维图，并进行了一些实验演示。在本文中，我们讨论推广的离散时间量子行走的模型的情况下，任意数量的步行者作用于任意图结构。我们提出了一个形式主义，允许分析这种情况下，和几个例子的情况下，我们的技术可以应用。我们认为量子漫步的最重要的特征-测量，可测量性，表征，以及经典和量子干涉之间的区别。我们还讨论了潜在的物理实现的背景下，线性光学，这是相关的，今天的实验。
Spectral analysis of hierarchical continuous-time quantum walks
本文提出包含全局与局部游走者的分层随机游走模型，构造了相应的连续时间量子游走并分析其谱结构，通过对全局游走者取边际分布定义了多维连续时间量子游走。
Quantum walks based on an interferometric analogy
图上的量子行走目前有两种模型。"硬币"行走使用离散的时间步长，除了行走的粒子外，还包含第二个量子系统，即硬币，它决定了粒子的运动方向。连续行走以连续的时间运行。这里提出了量子行走的第三个模型，它是基于光学干涉仪的类比。它是一个离散时间模型，并且使行走前进一步的酉算子仅取决于行走发生的图的局部结构。没有量子币被引入。这种类型的行走允许我们引入一些元素，比如移相器，这些元素在经典的随机行走中没有对应的元素。线和周期上的行走进行了详细讨论，并介绍了这些行走的概率电流。还讨论了与量子行走的关系。最后，本文展示了如何定义这些散步的一般图。
Coined Quantum Walk on a Quantum Network
本文研究量子网络上的离散时间带币量子游走，发现网络量子比特的初始纠缠会显著影响游走者与网络间的纠缠增长及游走统计量，并提出该结果可用于表征量子网络特性。
Full state revivals in higher dimensional quantum walks
量子行走中的完全状态恢复可以被看作是行走在行走的传播期间以周期性方式返回到初始量子态。在本文中，我们表明，对于任何给定的空间维数，硬币运营商可以构造产生一个量子行走具有充分的复苏与任何所需的周期。从量子计算和模拟的角度来看，这些硬币运算符可以用于实现在具有有限周期性的任何两个状态之间振荡的量子行走。
How Quantum is a "Quantum Walk"?
我们通过引入两个可计算的措施，这是强于步行者的位置概率分布的方差来表征所谓的量子行走（其动力学是由量子力学）的量子性。第一个度量是基于比较量子漫步和所有经典随机漫步的概率分布（通过分布的经典相对熵），并且它量化了漫步概率分布的非高斯性。接下来，在分配一个密度矩阵的经典行走，我们引入了一个更强大的措施，采用量子相对熵。我们证明了这个措施超过了第一个步行的量子相干性。有步行标记经典的方差，而我们的措施确定一些量子。作为应用，我们研究了一个简单晶格上的量子（能量）输运模型，并比较了它的相对输运效率和量子性的行为。我们的测量有助于部分解释为什么在某些量子输运现象中可能出现相当高的效率-这就是量子性是可感知的。
Continuous-time quantum walks on star graphs
本文研究了星图上的连续时间量子行走。证明了在邻接矩阵的量子分量下不变量的$N$ -fold星幂图上的连续时间量子行走的量子中心极限定理收敛于$K_2$图上的连续时间量子行走，并且观察行走的概率趋于均匀分布.
Relationship Between Quantum Walk and Relativistic Quantum Mechanics
量子行走模型已被用作量子计算的算法工具，并描述各种物理过程。本文重新讨论了相对论性量子力学与量子行走的关系。我们展示了离散时间量子行走的解耦和耦合形式的数学结构与Klein-Gordon方程和Dirac方程的相似性。在后一种情况下，硬币作为旋量自由度的模拟出现。通过将离散时间量子行走的解耦形式转化为薛定谔形式，给出了离散时间量子行走作为连续时间量子行走的耦合形式。通过证明硬币是使行走可逆的一种手段，以及类似迪拉克的结构是硬币使用的结果，我们的工作表明相对论因果结构是信息守恒的结果。然而，退相干（由位置空间上的投影测量建模）产生随时间增加的熵，使行走不可逆，从而产生时间箭头。Lieb-Robinson约束被用来突出量子行走的因果结构，以透视量子行走的相对论结构，行走传播的最大速度和与行走概率分布的有限扩展相关的早期发现。我们还提出了一个二维量子行走模型的两个状态系统的研究可以扩展到。
Complexity analysis of quantum walk based search algorithms
我们提出了几个家庭的图形，允许有效的量子行走的实现和有效的量子行走的搜索算法。对于这些图，我们构建量子线路，明确实现完整的量子行走搜索算法，而不参考“黑匣子”的神谕。这些电路提供了一个实际可实现的方法来探索基于量子漫步的搜索算法，其目的是最终的现实世界的应用。我们还提供了一个数值分析的量子行走为基础的搜索沿着扭曲的环形图的家庭，这需要O（$\sqrt{n}$ log（$n$））小学2量子比特量子门操作找到一个标记的节点。
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