Bernoulli数的解析延拓、Riemann Zeta函数的新公式及零点的散射现象

Probabilistic renormalization and analytic continuation

We introduce a theory of probabilistic renormalization for series, the renormalized values being encoded in the expectation of a certain random variable on the set of natural numbers. We identify a large class of weakly renormalizable series of Dirichlet type, whose analysis depends on the properties of a (infinite order) difference operator that we call Bernoulli operator. For the series in this class, we show that the probabilistic renormalization is compatible with analytic continuation. The general zeta series for $s\neq 1$ is found to be strongly renormalizable and its renormalized value …

Zeta测度与零温热力学形式

Zeta measures and Thermodynamic Formalism for temperature zero

我们解决以下问题的分析：给定一个真正的霍德尔潜在的$f$定义在伯努利空间和$μ_f$的平衡状态，它是已知的，这种移位不变的概率可以弱近似的概率在周期轨道与某些zeta函数。给定一个Hölder函数$f>0$和一个值$s$，使得$0<s<1$，我们可以关联一个移位不变概率$ν_{s}$，使得对于每个连续函数$k$，我们有\[\int k dν_{s}=\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{x\in Fix_{n}}e^{sf^{n}(x)-nP(f)}\frac{k^{n}(x)}{n}}{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{x\in Fix_{n}}e^{sf^{n}(x)-nP(f)}},\]其中$P(f)$是$f$的压力，$Fix_n$是$σ^n(x)=x$的解的集合，对于任何$n\in \mathbb{N}$，和$f^{n}(x) = f(x) + f(σ(x)) + f(σ^2(x))+... + f(σ^{n-1} (x)).$我们称$ν_{s}$为$f$和$s$的zeta概率。据了解，$ν_s \to μ_{f}$，当$s \to 1$。对于每个值$c$，我们考虑潜在的$c f$和相应的平衡态$μ_{c f}$。当$c$变为无穷大而$s$变为1时，$ν_{s}$会发生什么？这个问题涉及到如何用周期轨道上的概率来近似$f$的最大概率的…

特殊数与特殊函数的新型计算公式与关系：Debye函数的分析方法

Novel computational formulas and relations for special numbers and functions: approach to analysis of Debye functions

本文引入与Debye函数相关的新特殊函数族，利用生成函数法推导出涉及Debye函数、多重Hurwitz Lerch zeta函数等的新公式，并给出递推关系、级数展开和近似公式，应用于数学物理。