Coverages and Grothendieck Toposes
本文从覆盖角度系统阐述格罗滕迪克拓扑斯理论，证明饱和覆盖与格罗滕迪克拓扑的双射，并给出层化、站点态射、吉罗定理等核心结果的详细证明。
2025-10-14 math.CT
Grothendieck topoi with a left adjoint to a left adjoint to a left adjoint to the global sections functor
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo（东京大学数理科学研究科）
本文提出了一种Grothendieck上同调的完全连通性定义，并展示了其在不同上同调中的应用与理论构建。
2025-03-23 math.CT
Solution to Lawvere's first problem: a Grothendieck topos that has proper class many quotient topoi
Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）；Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）
本文通过构造自由单oid的投射上函子，解决Lawvere提出的关于存在具有proper class许多商上函子的Grothendieck上函子的问题。
2025-10-29 math.CT
Integrality of noetherian Grothendieck categories
引入Grothendieck范畴的整性概念，作为非交换诺特环的素性和局部诺特环的整性的同时推广.两个不同的空间相关联的Grothendieck范畴产生各自的定义的完整性，我们证明了这些定义的等价性使用的Grothendieck范畴版本的加布里埃尔的对应，其中最初相关的不可分解的内射模和素双边理想的诺特环。素双边理想的推广也被用来划分局部闭局部化子范畴。作为主要结果的应用，我们发展了Grothendieck范畴中奇异对象的理论，并由此导出了关于商环存在性的Goldie定理.
2022-03-22 math.AG math.CT math.RA
Grothendieck quantaloids for allegories of enriched categories
对于任何小的对合量子面Q，我们用对称量子面富集范畴定义了一个由Q-层和关系组成的对合量子面Rel（Q），以及一个由Q-层和函数组成的范畴Sh（Q）;后者等价于前者中的对称映射范畴。我们证明了Rel（Q）是拓扑中的关系范畴当且仅当Q是模的、局部局部的和弱半单的量子面;在这种情况下，我们称Q为Grothendieck量子面。因此，当Q是Grothendieck量子群时，Sh（Q）是Grothendieck topos。任何locale L是Grothendieck Quantale，Sh（L）是L上层的拓扑。任何小的闭双元量子面都是Grothendieck量子面，如果Q是Grothendieck中心（C，J）中的闭双元量子面，则Sh（Q）等价于拓扑Sh（C，J）。任何逆量子标架都是Grothendieck Quantale，如果O（G）是自然地与一个Etale广群G相联系的逆量子标架，则Sh（O（G））是G的分类拓扑.
2012-06-26 math.CT
Additive Grothendieck pretopologies and presentations of tensor categories
我们定义了一个概念preadditive范畴的作用类似的概念Grothendieck预拓扑的一个未丰富的范畴。每个这样的加性预拓扑定义了一个加性Grothendieck拓扑，并且足以定义层范畴。这一新概念使我们能够研究拓扑的Noether性质和次正则性质，容易地描述拓扑族的交，并确定层范畴的有用的泛性质。作为我们的主要应用，我们得出的方式可以提出一个张量范畴，并表明，这种介绍导致显着的泛性质。
2022-10-15 math.CT
Equivariant Grothendieck-Riemann-Roch theorem via formal deformation theory
利用高阶范畴中的迹的形式证明了全纯Atiyah-Bott不动点公式和Grothendieck-Riemann-Roch定理的一个共同推广.该证明与Grothendieck等人提出的原始证明大不相同：它依赖于$X$上的拟相干层和独立相干层的自对偶性之间的相互作用和Gaitsgory-Rozenblum的形式变形理论。特别地，我们给出了托德类的两个形式群结构的差异方面的派生循环计划$\mathcal LX$。通过Atiyah-Bott局部化定理的一个变体，将等变情形简化为非等变情形。
2019-06-25 math.AG math.CT
Grothendieck categories and support conditions
我们给出对（G1，G2）的例子，其中G1是一个Grothendieck范畴，G2是G1的一个完全Grothendieck子范畴，包含G2 --> G1记为i，其中R^+i：D^+G2 --> D^+G1（甚至Ri：DG 2--> DG 1）是一个完全嵌入。这推广了Bernstein和Lunts以及Cline，Parshall和Scott的一些结果。
2004-03-16 math.CT
A torsion theoretic interpretation for sheaves of modules and Grothendieck topologies on directed categories
该研究从挠论角度刻画模层，分析有向范畴上Grothendieck拓扑的结构，分类特殊诺特EI范畴的拓扑并推广表示的局部自内射性质，给出群表示论应用方向。
2025-07-29 math.CT math.RT
Grothendieck prelopologies: towards a closed monoidal sheaf category
本文推广 Grothendieck 预拓扑至半笛卡尔范畴，通过不保持有限极限的层化过程，构造闭幺半群层范畴，并受量子格上层概念的启发。
2024-04-18 math.CT
Site characterizations for geometric invariants of toposes
我们讨论的问题的特点的Grothendieck拓扑的属性，以满足一个给定的“几何”不变量作为其网站的定义的属性，并指出了一套通用的技术，建立这样的标准。然后，我们将我们的方法应用于特定的不变量，特别是包括Grothendieck拓扑的属性是本地的（分别）。原子，局部连接，相当于一个预层拓扑），获得明确的网站特征。
2011-12-12 math.AG math.CT math.LO
Reconstruction of schemes from their étale topoi
本文对任意特征的无限域证明了Grothendieck关于将 $k$-概形映射至其étale topos构成完全忠实函子的猜想，实现了概形的重构并推广了Voevodsky的工作。
2024-07-29 math.AG math.CT
Grothendieck's Homotopy Hypothesis
本文在拓扑范畴sCat_{Top}中的单纯对象范畴上构造了一个“对角”共纤生成的模型结构，即图范畴[Δ^{op}，Cat_{Top} ].此外，我们证明了对角模型的结构是左真的和细胞的。证明了\infty -广群范畴（拓扑范畴的满子范畴）具有上一致生成的模型结构，并且与单纯集的模型范畴Quillen等价，从而证明了Grothendieck同伦假设.
2011-12-06 math.AT math.CT math.KT
Relative topos theory via stacks
我们介绍了新的基础上堆栈相对拓扑理论。在我们的理论的中心结果之一是一个adjunction类toposes在拓扑层在一个给定的网站$({\mathcal{C}}, J)$和${\mathcal{C}}$索引类别。这代表了拓扑空间上的预层和其上的丛之间的经典邻接的广泛推广，并允许人们以几何的方式解释层和栈上的几个构造;特别是，它导致层和栈的直接和逆像的纤维化描述，以及对层化过程的几何理解。它也自然地允许人们把任何格罗滕迪克拓扑看作是一个“小”拓扑与一个“小”拓扑相关联，从而为格罗滕迪克在70年代提出的一个问题提供了答案。在我们的理论的另一个关键因素是一个相对网站的概念，它允许一个代表任意几何态射对一个固定的基础拓扑的层在一个网站上的结构态射引起的相对网站在该网站上。
2021-07-09 math.AG math.CT
Gelfand spectra in Grothendieck toposes using geometric mathematics
在Heunen、Landsman和Spitters的量子理论的（协变）拓扑方法中，人们将每一个有单位的C*-代数A，一个在一个locale上的层拓扑T（A）和一个在该拓扑内的交换C*-代数a联系起来。a的Gelfand谱是这个topos中的locale S，它等价于基locale上的丛。我们进一步发展这种外部介绍的场所S，注意到，建设的Gelfand频谱在一个一般的拓扑可以描述使用几何逻辑。因此，频谱，作为一个捆绑，计算光纤。作为副产品的几何Gelfand谱，我们发现一个明确的外部描述的频谱时，拓扑是一个函子类别。作为一个中间结果，我们表明，局部完美的地图组成，使外部化的局部紧区域的拓扑层在局部紧区域是局部紧的。
2014-08-01 math-ph math.CT math.MP
Grothendieck Group and Generalized Mutation Rule for 2-Calabi--Yau Triangulated Categories
我们计算的Grothendieck群的某些2-Calabi-丘三角范畴自然出现在研究的联系之间的表示和Fomin-Zelevinsky的集群代数。在这个设置中，我们还证明了一个推广的Fomin-Zelevinsky的突变规则。
2008-04-11 math.CT math.KT math.RT
Topos Quantum Theory Reduced by Context-Selection Functors
本文从两个角度研究Hilbert空间上有界算子的交换vonNeumann代数构成的背景范畴上的预层和层的量子理论。一种是通过层化来约化基于预层的拓扑量子理论，另一种是将量子概率引入到约化层的量子理论中。第一个是通过一个函子来完成的，它选择了一些方便的上下文。它定义了由所有上下文组成的范畴上的Grothendieck拓扑，从而导出了一个层拓扑，我们在这个层拓扑上构造了一个缩小的量子理论。此外，我们表明，层量子理论可以取代一个等价的，更易于管理的预层量子理论。量子概率通过Grothendieck拓扑导入，该拓扑定义在由概率组成的类别上，并能够将它们视为直觉真值。从这些拓扑中，我们构造了另一个Grothendieck拓扑，它定义在上下文范畴和概率范畴的乘积上，反映了上下文的选择和概率与真值的识别。我们在Grothendieck拓扑诱导的层拓扑上构造了一个以量子概率为真值的量子理论。
2015-07-22 math-ph math.CT math.MP
A Criterion for Categories on which every Grothendieck Topology is Rigid
本研究针对柯西完备范畴中$[\boldsymbol{C}^{\text{op}},\boldsymbol{Set}]$的子拓扑空间均由满子范畴诱导的现象，给出两类等价的小范畴刻画，统一了有限范畴、阿廷偏序集等已知情形。
2025-10-22 math.CT
Dependent products and 1-inaccessible universes
这篇文章的目的是表明，如果我们使用由Mike Shulman提出的初等$\infty$ -拓扑的定义，那么每个几何$\infty$ -拓扑满足所需公理的事实，更具体地说，最后一个公理，实际上是接近于大基数假设的东西。精确地说，我们将证明，一旦选择了一个格罗滕迪克宇宙，每个几何$\infty$ -topos满足舒尔曼公理的事实就等于说格罗滕迪克宇宙从一开始就是1-不可达的，这个条件比不可达更严格。此外，如果我们的分析依赖于普通层拓扑而不是几何$\infty$拓扑，则可以得到完全类似的结果。在结论中，它将表明，在更强的假设下，假定存在1-不可达基数内的Grothendieck宇宙，例子舒尔曼$\infty$ -toposes这不是几何可以找到。
2019-11-19 math.CT math.LO
All about the Grothendieck construction
我们提供，除其他事项外：（i）Bousfield-Kan公式的colimits在$\infty$ -范畴（将上极限的1-范畴公式推广为上积间映射的上均衡器）;（ii）$\infty$ -Barwick-Kan定理B $_n$和Dwyer-Kan-Smith定理C $_n$的范畴推广（关于在汤姆逊模型结构中的同伦拉回，它本身极大地推广了奎伦定理B）;以及（iii）自然变换和沿图$\infty$ -范畴的映射回撤的共极限（或双重极限）的同时和交织的函性的表达。
2015-10-13 math.AT math.CT
The smallest $n$-pure subtopos and dimension theory
本文引入了 Grothendieck 拓扑斯间的 $n$-纯几何态射概念，构造了最小 $n$-纯子拓扑斯，并据此提出了拓扑斯的维数理论，区分了有边界与无边界拓扑斯，计算了流形、概形等相关拓扑斯的维数。
2025-10-11 math.AG math.CT math.GN
A Theory of Elementary Higher Toposes
我们定义了一个基本的$\infty$ -拓扑，同时推广了一个基本的拓扑和Grothendieck $\infty$ -拓扑。然后我们证明了它满足预期的拓扑理论性质，如下降，局部笛卡尔闭包，局部性和分类的单叶态射，推广Lurie和Gepner-Kock的结果。我们还定义了$\infty$ -逻辑函子，证明了所得到的$\infty$ -范畴在极限和滤余极限下是闭的，推广了初等拓扑和Grothendieck $\infty$ -拓扑的类似结果.此外，我们还通过它们的同补给出了初等$\infty$ -拓扑及其$\infty$ -逻辑函子的另一种刻画。最后，我们通过讨论初等（n，1）-拓扑的情形推广了这些结果，并给出了各种例子和非例子。
2022-01-09 math.AT math.CT
Ionads
格罗滕迪克拓扑的概念可以被认为是拓扑空间的推广，其中空间的点可以有非平凡的自同构。然而，这种类比并不精确，因为在拓扑空间中，点在概念上优先于开集，而在拓扑空间中则相反。因此，一个topos更正确地被视为一个广义的场所，而不是作为一个广义的空间。在这篇文章中，我们介绍的概念ionad，它站在相同的关系，一个拓扑空间的（Grothendieck）topos对一个locale。我们发展他们的理论的基本方面，并讨论他们与toposes的关系。
2011-10-15 math.CT math.GN
Tannaka Theory over Sup-Lattices
本文的主要结果是在超格范畴上构造了一个与任意Grothendieck topos相关联的tannakian context，并由此获得了tannakian表示论的新结果（见我们的介绍），这些是不同的，不太一般，因为他们假设存在伽罗瓦闭包和工作在伽罗瓦拓扑，而不是任意拓扑。相反，我们在谈论伽罗瓦论时，指的是Joyal和Tierney的任意拓扑的扩展，这对得到本论文的结果至关重要。与Grothendieck topos相关的tannakian上下文是通过取其局部覆盖关系的过程获得的。然后，通过对伽罗瓦理论和Tannaka理论的构造的调查和详尽的比较，我们证明了它们的基本识别定理的等价性（见第8节）。由于Grothendieck topos的（bi）关系范畴已由Carboni和Walters刻画，得到了一个新的非线性型tannakian定理（定理8.12），它与迄今已知的定理有本质的不同.
2015-07-16 math.CT
Toposes, quantales and C* algebras in the atomic case
首先，我们回顾之间的关系toposes和格罗滕迪克quantales。我们改进了以前的工作结果，这种关系，给出了两个内部超格的张量积到另一个超格的映射的特征和描述的范畴内的本地的拓扑在相关的Grothendieck Quantale。然后，我们构造一个卷积积，对应于内部组成的矩阵，在一组正下半连续函数上的底层区域的Quantale附加到一个topos。在好的情况下，该卷积积确实限制为连续函数集合的子集上的定义良好的卷积积，并且定义了附接到Quantale的卷积C* 代数。在本文的最后一部分，我们详细研究了原子拓扑的特殊情况下的这些附加C ~* 代数。在这种情况下，相关的格罗滕迪克Quantale对应于一个超广群。为了得到一个有趣的C* 代数，在这个超广群胚上出现了相对简单的有限性条件。这个代数对应于一个超广群代数，它被赋予一个算术子代数和一个时间演化。我们的结论表明，存在一个超广群满足所有要求附加到一个指定的原子拓扑是等价的事实，拓扑是局部可判定的和局部分离的。同样在这种情况下，时间演化只依赖于拓扑，并由拓扑上的（正则）主Q+* 丛描述。BC-系统和更一般的双陪集代数是这种情况的特例。
2013-11-14 math.CT math.OA
A knot-theoretic approach to comparing the Grothendieck-Teichmüller and Kashiwara-Vergne groups
同态展开式是纽结对象的组合不变量，在所有有限型（Vassiliev）不变量通过它们分解的意义上，它们是普适的。同态展开作为低维拓扑和量子代数之间的桥梁对象也很重要。例如，括号辫子的同态展开与Drinfel'd关联子一一对应（Bar-Natan 1998），$w$ -泡沫的同态展开与Kashiwara-Vergne（KV）方程的解一一对应（Bar-Natan和第一作者，2017）。Drinfel'd结合子和KV解的集合都是双扭子，分别由亲幂单的Grothendieck-Teichmüller和Kashiwara-Vergne群作用。上述对应事实上是双扭体的映射（Bar-Natan 1998，以及第一和第三作者Halacheva 2022）。Drinfel'd结合子和KV方程之间有着深刻的关系-由Alekseev，Enriquez和Torossian在2010年代发现-包括一个用结合子构造KV解的显式公式，以及一个内射映射$ρ:\mathsf{GRT}_1 \to \mathsf{KRV}$。本文利用括号辫和$w$ -泡沫都允许各自的有限表示作为运算和张量范畴（圈代数或prop）这一事实，对Grothendieck-Teichmüller群在Kashiwara-Vergne对称群中的象进行拓扑/图解研究.
2022-11-21 math.AT math.CT math.QA
The Grothendieck Construction and Gradings for Enriched Categories
Grothendieck构造是一个从小范畴图中形成单个范畴的过程。本文将Grothendieck构造的定义推广到满足一定条件的对称幺半范畴上的小范畴图。满足本文条件的对称幺半范畴包括交换环$k$上的$k$ -模范畴、链复形范畴、单纯集范畴、拓扑空间范畴和现代谱范畴。特别地，我们得到了[math/0312214]中轨道范畴构造的推广。我们还推广了分次范畴的概念，并证明了Grothendieck构造在分次范畴范畴中取值。本文定义的分次范畴不需要任何上积分解，推广了Lowen定义的小范畴所索引的线性分次范畴$k$.从分次范畴到oplax函子范畴有两种常用的构造函子的方法。其中一个是在[math/0312214，0807.4706，0905.3884]中定义和研究的$k$ -线性范畴的smash积结构，另一个是纤维函子。我们构造了这些函子的扩充，并证明了它们在适当的意义下是Grothendieck构造的“右伴随”。作为一个副产品，我们获得了一个新的简短的描述小丰富的类别。
2009-07-01 math.CT math.RA
From Torsors to Topoi: An Introduction with a View Toward $Σ$-Protocols in Cryptography
Faculty of Informatics, Yamato University（大和大学情报学部）
本文介绍sheaves和topoi，为密码学中Σ-协议的框架奠定基础，涵盖Grothendieck拓扑、sheaves、site上的torsors、descent、sheaf topoi等核心概念，帮助理解密码安全性的结构基础。
2026-03-17 cs.CR math.CT
