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arXiv math/99081001999-08math.CA

泰勒多项式（Taylor Polynomials）

Illumination by Taylor Polynomials

Alan Horwitz

备注：: Minor modifications and corrections
发表信息：: International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 27(2001), 125-130

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摘要：

设f（x）是实直线R上的可微函数，P是不在f（x）的图上的点.定义P的光照指数为f的图通过P的不同切线的个数.证明了如果f "在R上连续且非负，且f"> m >0，且f "在R上有n个零点，则f的图下面的每一点的光照指数为2.如果f "在R上不从0有界，则这个结果一般不成立。此外，如果f "有100个零，并且f"在R上不是非负的，那么图下面的某个点的光照指数不等于2。最后，我们推广我们的结果照明奇数阶泰勒多项式。

英文摘要：

Let f(x) be a differentiable function on the real line R, and let P be a point not on the graph of f(x). Define the illumination index of P to be the number of distinct tangents to the graph of f which pass thru P. We prove that if f '' is continuous and nonnegative on R, f '' > m >0 outside a closed interval of R, and f '' has finitely many zeroes on R, then every point below the graph of f has illumination index 2. This result fails in general if f '' is not bounded away from 0 on R. Also, if f '' has finitely many zeroes and f '' is not nonnnegative on R, then some point below the graph has illumination index not equal to 2. Finally, we generalize our results to illumination by odd order Taylor polynomials.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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