Mirror symmetry and Fukaya categories of singular hypersurfaces
本文研究Auroux提出的奇异超曲面Fukaya范畴定义，证明其与高维Landau-Ginzburg模型的Fukaya-Seidel范畴导出等价，并由此导出阿贝尔簇大复结构极限退化的同调镜像对称性。
2025-01-02 math.AG math.SG
Locality in the Fukaya category of a hyperkähler manifold
设$(M,I,J,K,g)$是超凯勒流形.则复流形$(M,I)$是全纯辛的。证明了对除可数个外的所有具有$x^2 + y^2 = 1$的实$x, y,$，任何以$I$ -全纯Lagrange函数集合为边界的有限能量$(xJ+yK)$ -全纯曲线必为常数.根据Lojasiewicz不等式的论证，无论拉格朗日量如何相交，这个结果都成立。由此可见，我们可以选择扰动，使得相关的拉氏范畴的全纯多边形位于拉格朗日量的任意小邻域内。也就是说，“阿瓜亚”类别是地方性的。我们证明了全纯拉格朗日算子是重言式无障碍的，在此意义下，Oh-Ohta-Ono。此外，全纯拉格朗日量的Rumaya $A_\infty$代数是形式的.我们的结果也解释了为什么特殊的拉格朗日条件成立没有瞬子修正的全纯拉格朗日。
2019-07-28 hep-th math.AG math.SG
Equivariant Fukaya categories at singular values
本文研究 Hamiltonian 环面作用下辛商与原流形 Fukaya 范畴的等价关系，将其推广至矩映射奇异值，并借环面镜对称示例及代数范畴结构加以论证。
2023-04-21 math.AG math.SG
Relative stability conditions on Fukaya categories of surfaces
它表明，有一个有用的概念，一个相对Bridgeland稳定性条件的部分包裹的范畴的标记表面，相对于表面的边界的某一部分。这种构造具有良好的函子性质，服从切割和粘合关系。这减少了计算的稳定性条件上的任何完全停止表面的类到三种类型的基本情况。计算结果表明，在这类情况下，每一个Bridgeland稳定性条件都可以用平面来描述。换句话说，由Haupt-Katzarkov-Kontsevich构造的从平坦曲面的模到Ratzaya范畴的稳定空间的映射，当曲面是完全停止的时，是一个整体同胚。
2021-03-02 math.AG math.SG
Spectral networks and stability conditions for Fukaya categories with coefficients
给定曲面上的Bridgeland稳定性条件的全纯族，定义了一个谱网络的概念，它是曲面的一个范畴中的一个对象，其系数在三角DG范畴中.这些谱网络是特殊的拉格朗日子流形的类似物，将图形与附加的代数数据相结合，并且在理论上对应于具有系数的类范畴上的适当稳定性条件的半稳定对象。它们与Gaiotto-Moore-Neitzke的谱网络密切相关。我们的方法的一个新颖之处是，我们建立了一个一般的唯一性结果的频谱网络的代表。我们还验证了猜想的情况下，当表面是磁盘上的边界上的六个标记点和系数类别是导出范畴的$A_2$的表示。这个例子通过同调镜像对称与一条椭圆曲线与六阶循环群的堆叠商有关。
2021-12-27 math.AG math.SG
Auslander orders over nodal stacky curves and partially wrapped Fukaya categories
从Brurban和Drozd arXiv：0905.1231的工作可以得出，对于节点曲线$C$，Auslander阶$\mathcal{A}_C$上的模的导出范畴提供了完全复形范畴$\mathrm{Perf}(C)$的范畴（光滑和适当的）分解。在A-方面，从Haupt-Katzarkov-Kontsevich arXiv：1409.8611的工作可以得出，对于在其边界上具有停止点$Λ$的穿孔曲面$X$，部分包裹的类范畴$\mathcal{W}(X,Λ)$提供了紧类范畴$\mathcal{F}(X)$的范畴（光滑的和适当的）分解。受这种类比的启发，我们建立了一个等价的导出范畴的模块Auslander命令在某些节点堆叠曲线和部分包裹的Crackaya类别与穿孔表面的任意属配备停止在其边界。作为应用，我们推导了相干层的导出范畴之间的等价关系（分别为：完美复合体）在这样的节点堆叠曲线上，并且包裹的（相应地，紧致的）任意亏格的穿孔曲面的类。
2018-05-05 math.AG math.RT math.SG
Open Gromov-Witten invariants from the Fukaya category
本文构造相对循环同调及保持联络的相对循环开-闭映射，建立由 Fukaya 范畴恢复 Lagrange 子流形开 Gromov-Witten 不变量的框架。
2024-02-28 math.AG math.SG
Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in $(\mathbb{C}^*)^n$
给定$(\mathbb{C}^*)^n$中的一个代数超曲面$H=f^{-1}(0)$，同调镜像对称将$H$的包裹范畴与镜像朗道-金兹伯格模型的奇点的导出范畴联系起来。我们提出了一个丰富的版本，这幅图也具有包装类的补充$(\mathbb{C}^*)^n\setminus H$和类的Landau-Ginzburg模型$((\mathbb{C}^*)^n,f)$的Pastaya-Seidel类别。我们用简单的例子来说明我们的推测，并勾勒出高维裤子的同调镜像对称性的证明。
2017-05-18 math.AG math.SG
Cluster theory of topological Fukaya categories. Part II: Higher Teichmüller theory
本文构造与高阶Teichmüller理论相关的相对3-Calabi-Yau范畴，研究其余奇点范畴及簇代数的加性范畴化，并证明其与Higgs范畴和拓扑Fukaya范畴的等价性。
2025-10-07 math.AG math.RT
Fukaya category for Landau-Ginzburg orbifolds
对于加权齐次多项式和对角对称群的选择，我们定义了一个新的Landau-Ginzburg orbifold（Fano型或Calabi-Yau型）的Rupaya范畴。它的构造是基于Milnor纤维的包裹范畴和奇点的单值性，类似于奇点理论中的变分算子。新的$\AI$ -结构构造使用冰棒地图与内部插入的monodromy轨道。这需要冰棒模空间的新的紧化，其中由于冰棒结构，一些球和盘的共形结构对齐。特别地，可能存在余维一冰棒球气泡，并且成为限定$\AI$结构的障碍物。对于log Fano和Calabi-Yau的情况下，我们表明，球泡不产生的行动和程度的估计，以及计算指标的扭曲Reeb轨道的Milnor纤维concurents。
2022-09-29 math-ph math.AG math.MP
Homological Mirror Symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in projective space
证明了射影空间中d维光滑Calabi-Yau超曲面的同调镜像对称性，其中d > 2（例如d = 3是五次三重）.在证明中涉及的主要技术是：在“d维裤子”中构造浸入拉格朗日球;引入“相对Rollaya范畴”，并理解其分级结构;描述该范畴关于分支覆盖的行为（通过一个'orbifold'的类）; Morse-Bott模型的相对类，允许一个明确的计算;矩阵分解的分次范畴的引入反映了相对的分次范畴。
2014-01-13 math.AG math.SG
Fukaya categories of two-tori revisited
我们构造了一个A-无穷结构的范畴明确的任何平坦辛二环面。非横截A-无穷乘积的结构常数作为横截A-无穷乘积的结构常数的导数得到。
2018-11-30 hep-th math.AG math.QA
Arithmetic mirror symmetry for genus 1 curves with $n$ marked points
我们建立了具有$n$不同标记点的2-环面的相对复形范畴与$n$ -Tate曲线上的完全复形的导出范畴之间的$\mathbb{Z}[[t_1,\ldots, t_n]]$ -线性导出等价性.对$t_1= \ldots =t_n=0$的专门化给出了$n$ -穿孔环面上的完全复形范畴与标准（Néron）$n$ -边形上的完全复形的导出范畴之间的$\mathbb{Z}$ -线性导出等价。我们证明了这种等价扩展到一个$\mathbb{Z}$ -线性导出等价之间的包裹的范畴的$n$ -穿孔环面和标准$n$ -边形的相干层的导出范畴。
2016-10-13 math.AG math.NT math.SG
Automatically generating Fukaya categories and computing quantum cohomology
假设我们找到了紧致Calabi-Yau流形$X$的Rakaya范畴的一个非空子范畴$\mathcal{A}$，它在非交换几何意义下是同调光滑的，这是$\mathcal{A}$的一个内在条件。然后，我们表明$\mathcal{A}$分裂生成的类和moreoever，我们的假设意味着（因此相当于断言）$\mathcal{A}$满足Abouzaid的几何生成准则[ABO]。早期工作[G1，GPS 1，GPS 2]的直接结果是，将量子上同调与Hochschild不变量联系起来的开-闭和闭-开映射也是同构。当$c_1(X) \neq 0$（例如，当$X$是单调Fano）时，我们的结果继续保持，在进一步的假设下：$\mathcal{A}$ $\mathrm{HH}^0(\mathcal{A})$的第0个Hochschild上同调应该有足够大的秩：$\mathrm{rk}\ \mathrm{HH}^0(\mathcal{A}) \geq \mathrm{rk}\ \mathrm{QH}^0(X)$。我们的证明只依赖于Pakaya范畴和开闭映射的形式性质，其中最新的和最关键的是，开闭映射与配对的相容性，在作者与Perutz和Sheridan [GPS 2]以及Abouzaid-Pakaya-Oh-Ohta-Ono [AFO+]正在进行的联合工作中独立观察到;最简单设置的证明出现在附录中。由于Mor…
2019-11-14 math.AG math.KT math.SG
Algebraic sheaves of Floer homology groups via algebraic torus actions on the Fukaya category
设$(M,ω_M)$是单调或负单调辛流形，或Weinstein流形.我们可以在一个范畴上构造一个$H^1(M,\mathbb{G}_m)$的“作用”，它反映了$Symp^0(M,ω_M)$在拉格朗日膜集合上的作用。先验地，这种行动只是分析性的。这项工作的目的是显示代数的作用下，一些假设。我们用它来证明一个驯服的结果层的拉格朗日弗洛尔同调组通过移动的拉格朗日通过全球辛同位素之一。我们还显示了代数的轨迹的$z\in H^1(M,\mathbb{G}_m)$，固定拉格朗日膜的类。后者应用于拉格朗日通量。最后，我们证明了镜像对称的一个陈述：在Weinstein的情况下，假设$M$是仿射或投射簇$X$的镜像，存在一个精确的拉格朗日环面$L\subset M$，使得$H^1(M)\to H^1(L)$是满射的，并且$L$在镜像等价下被发送到$x\in X$的光滑点。然后，我们构建了一个Zagliki图的$X$包含$x$，这是同构的$H^1(L,\mathbb{G}_m)$，并使该图的其他点对应于非精确变形的$L$（可能配备有单一的本地系统）。特别是，这意味着合理的不可约组成部分包含$x$ ;然而，它是更强。在我们的假设下，可以构造出$H^1(M,\mathbb{G}_m)$的代数作用，即非酉局部系统的作用。结合弗洛尔同调和非对易几何的技巧，我们证明了这个作用与第一段中提到的几何作用是一致的.我…
2021-09-25 math.AG math.KT math.SG
Homological mirror symmetry for higher dimensional pairs of pants
使用Auroux的描述的对称产品的打孔表面的类，我们计算的部分包裹类的补充$k+1$通用超平面在$\mathbb{CP}^n$，对于$k \geq n$，关于某些停止的生成对象集的自同态代数。停止点的选择使得所得到的代数是形式的。在补充的$(n+2)$ -通用超平面在$\mathbb{C}P^n$（$n$ -维裤子对）的情况下，我们证明了我们的部分包裹的Crackaya范畴是等价于一定的范畴决议的奇异仿射品种$x_1x_2..x_{n+1}=0$的导出范畴。通过局部化，我们证明了$n$ -维Pants的（全）包裹范畴与$x_1x_2...x_{n+1}=0$的导出范畴等价.我们还证明了类似的等价性有限阿贝尔覆盖的$n$维裤子对。
2020-02-11 math.AG math.RT math.SG
Mirror symmetry: from categories to curve counts
我们在卡-丘镜像对称的背景下工作。在Barannikov，Kontsevich等人的工作之后，我们建立了Kontsevich的同调镜像对称性（它将导出的Rakaya范畴与镜像上相干层的导出范畴联系起来）隐含Hodge理论镜像对称性（它将亏格为零的Gromov-Witten不变量与镜像上的周期积分联系起来）的条件。作为应用，我们详细地说明了如何通过第三名作者的同调镜像对称证明证明五次三重曲线上各阶有理曲线个数的经典镜像对称预言;我们还解释了如何确定该结果中的镜像映射，以及如何确定对应于范畴上的典型Calabi-Yau结构的镜像上的全纯体积形式。关键的工具是“循环开闭映射”从循环同调的类量子上同调，定义的第一个命名的作者在[GAN]。我们给出了循环开闭映射的重要性质的精确陈述：它是半无限Hodge结构的变体的同态;它尊重极化;并且它是同构，当Pakaya范畴是非退化的（即，当开闭映射命中量子上同调中的单位时）。主要的结果是偶然的准备工作[PS，GPS]在辛方面，建立了重要的性质的循环开闭映射的设置'相对Ravelaya范畴';他们也是偶然的猜想代数几何方面，这说，循环形式映射尊重某些代数结构。
2015-10-15 math.AG math.SG
Noncommutative crepant resolutions of $cA_n$ singularities via Fukaya categories
本文通过计算圆柱面相对于$n$点除子的wrapped Fukaya范畴，建立了与$cA_n$奇点crepant消解导出范畴的镜像等价，并揭示了其上的辫子群作用及导出压缩代数的几何模型。
2025-08-18 math.AG math.RT math.SG
Dynamical invariants of mapping torus categories
本文介绍了结构的同调代数的一部分，其目标是理解和分类辛映射环面的战略。更确切地说，给定一个dg范畴和一个自等价，满足一定的假设，我们引入一个范畴$M_ϕ$ -称为映射环面范畴，它描述了一个开辛映射环面的包裹类范畴。然后定义了$M_ϕ$的自然变形上的双模族，唯一地刻画了它，并利用这一点将$M_ϕ$与单位元的映射环面范畴区分开来. $M_ϕ$与包裹的范畴等价性的证明在另一篇论文（arXiv：1907.01156）中得到了证明。
2021-07-10 math.AG math.KT math.SG
SYZ for index 1 Fano hypersurfaces in projective space
研究奇异超曲面$X_0=V(t^{n+1}-x_0\dotsi x_n)\subseteq\mathbb{P}^{n+1}$的同调镜像对称性。按照SYZ型方法，我们产生了一个LG模型，其Ekraaya-Seidel范畴恢复$X_0$上的线丛。作为我们的方法的一个副产品，我们回答了N.谢里登猜想生成的小组件的光滑指数为1的Fano超曲面在$\mathbb{P}^{n+1}$，没有绑定的上链的Pasteaya类别。
2022-03-09 math.AG math.SG
Arithmetic mirror symmetry for the 2-torus
本文探讨了同调镜像对称的一种改进，它将精确辛拓扑与算术代数几何联系起来。我们建立了相对于基点的2-环面的Fukaya范畴与“形式圆盘”规范Z[[q]]上泰特曲线上相干层的完美复体范畴的导出等价性。它致力于导出Z上的穿孔环面范畴的等价性，该范畴在Spec Z（泰特曲线的中心纤维）上的曲线y^2+xy=x^3上具有完美复形;并且，在“穿孔圆盘”Spec Z（（q））上，致力于2-环面的同调镜像对称性的已知陈述的积分加细。我们还证明了，包装的穿孔环面范畴导出等价于Z上的Tate曲线的中心纤维上的相干层有界复合物。
2012-11-20 math.AG math.KT math.NT
Mirror symmetry for Berglund-Hübsch Milnor fibers
该研究通过先计算甚仿射Fukaya范畴再进行形变的方法，计算Berglund-Hübsch可逆多项式的Milnor纤维的Fukaya范畴，大体证明了相关同调镜像对称猜想，核心是确定反常schober的典范延拓。
2024-03-01 math.AG math.SG
Tropical Lagrangian Hypersurfaces are Unobstructed
我们为每个热带超曲面$V(ϕ)\subset Q=\mathbb{R}^n$生成拉格朗日量$L(ϕ)\subset (\mathbb{C}^*)^n$，其矩映射投影是$V(ϕ)$的热带变形虫。当这些拉格朗日量是容许的，在Escheraya-赛德尔范畴，我们表明，他们是通畅的对象Escheraya范畴，并镜像层支持复曲面复曲面镜。
2020-08-17 math.AG math.SG
Homological mirror symmetry for hypersurface cusp singularities
我们研究了超曲面尖点奇点和三个超曲面简单椭圆奇点的同调镜像对称。我们表明，这些进行了杰出的Lefschetz纤维化的米尔诺纤维，其派生的有向类是等价的导出范畴相干层光滑的理性表面$Y_{p,q,r}$。利用两侧的局部化技巧，我们得到了Milnor纤维的导出包裹层范畴与从$Y_{p,q,r}$中删除一个反典范除子$D$所给出的拟投射曲面上的导出凝聚层范畴之间的同构.在尖点的情况下，对$(Y_{p,q,r}, D)$自然地与对偶尖点奇点联系在一起，与格罗斯、哈金和基尔对卢坚加猜想的证明联系在一起。
2017-05-26 math.AG math.SG
Triangulated surfaces in triangulated categories
对于具有2-周期dg-增强的三角范畴A和三角定向标记曲面S，我们引入了一个dg-范畴F（S，A），它将A中的正合三角形系参数化为S的三角形.我们的主要结果是，F（S，A）是独立的选择S的三角形基本上是唯一的森田等价。特别地，它容许映射类群的一个典范作用。证明是基于循环2-Segal空间的一般性质。在最简单的情况下，当A是向量空间的2-周期复形范畴时，F（S，A）是曲面S的Ruppaya范畴的纯拓扑模型。因此，我们的建设可以被看作是实现一个2维的实例Kontsevich的程序本地化的类沿着奇异拉格朗日棘。
2013-10-14 math.AG math.AT
Homological mirror symmetry of $\mathbb{C}P^n$ and their products via Morse homotopy
当复流形是光滑紧致环面流形时，我们提出了一种理解同调镜像对称的方法。到目前为止，在许多例子中，导出的范畴$D^b(coh(X))$的相干层在环面流形$X$与Milnor纤维的相应的Landau-Ginzburg势的Eschraya-Seidel范畴进行了比较。相反，我们考虑$X$中环面因子的补的对偶环面纤维化$π:M \to B$，其中$\bar{B}$是环面流形$X$的对偶多面体。同调镜像对称的一个自然公式是定义$Fuk(\bar{M})$为一个范畴的变体，并证明等价性$D^b(coh(X)) \simeq D^b(Fuk(\bar{M}))$。作为中间步骤，我们构造了$P:=\bar{B}$上的加权Morse同伦范畴$Mo(P)$，作为Kontsevich-Soibelman提出的加权Morsaya-Oh范畴的自然推广。然后，我们显示了一个完整的子范畴$Mo_{\mathcal{E}}(P)$的$Mo(P)$生成$D^b(coh(X))$的情况下，$X$是一个复杂的射影空间和他们的产品。
2022-04-19 hep-th math.AG math.SG
Quantum cohomology and Fukaya summands from monotone Lagrangian tori
针对紧辛流形内的单调拉格朗日环面，证明几何闭开映射诱导量子上同调分解为含雅可比环局部化的乘积，通过描述福卡亚范畴直和项验证镜像对称预期并建立生成准则，为理解量子上同调结构和约束超势提供支撑。
2025-02-12 math.AG math.SG
Localized mirror functor for Lagrangian immersions, and homological mirror symmetry for P^1_{a,b,c}
本文在Seidel，Strominger-Yau-Zaslow和Chuanaya-Oh-Ohta-Ono等人工作的启发下，提出了一种利用拉格朗日浸入变形理论构造Landau-Ginzburg镜的新方法。此外，我们还构造了一个从矩阵分解的Rakaya范畴到镜像范畴的典范函子。这个函子在一些明确的假设下导出同调镜像对称。作为一个应用，该构造被应用于具有三个轨道点的球体，以产生它们的量子校正镜并导出同调镜对称性。此外，我们还发现了椭圆曲线的（逆）镜像映射的计数意义。
2015-03-14 math.AG math.SG
The cyclic open--closed map and variations of Hodge structures
本文在半正情形下为体形变的相对Fukaya范畴构造循环开-闭映射，证明其是半无限霍奇结构极化变分的态射，并给出同构判据，从而在Calabi-Yau镜像对中由同调镜像对称推出枚举镜像对称。
2025-11-06 math.AG math.SG
Curves on surfaces and moduli of associative algebras
研究通过曲面上的曲线作为Fukaya范畴对象的A∞代数计算方法，展示如何利用Gauss字和可见多边形计算自交次数不超过三的浸入体的A∞积，并证明有限维代数可作为某些曲面的Lagrangian浸入的端射影代数。
2026-05-11 math.AG math.RT math.SG
Family Floer cohomology and mirror symmetry
Kontsevich-Soibelman和Kontsevich-Soibelman的思想表明，人们可以使用Strominger-Yau-Zaslow的几何方法将镜像对称作为环面对偶来构造配备拉格朗日环面纤维化的辛流形的镜像，作为纤维上支持的Kontsevich-Soibelman范畴的简单对象的模空间。在没有奇异纤维的情况下，在这个框架中解释了反射镜的构造，并且，给定一个拉格朗日子流形，在反射镜上构造了一个（扭曲的）相干层。
2014-04-10 math.AG math.SG
Equivariant split generation and mirror symmetry of special isogenous tori
证明了当辛流形上有有限群$G$的自由作用时，一类范畴的等变分裂生成。结合这与一些概括的赛德尔的代数框架从赛德尔的书中，我们得到新的情况下，同调镜像对称的一些辛环面与非分裂辛形式，我们称之为\textit{special isogenous tori}。这扩展了Abouzaid-Smith的工作。我们还表明，派生的类是完全不变量的特殊的同源环面。
2015-01-26 math.AG math.SG
The family Floer functor is faithful
族弗洛尔理论产生一个函子从一个辛流形的类辛范畴，允许一个拉格朗日环面纤维化到一个镜像刚性解析空间上的（扭曲的）完全复形范畴。这个函子被证明是忠实的退化参数涉及模空间的annuli。
2016-07-11 math.AG math.SG
Homological mirror symmetry for Brieskorn-Pham singularities
我们证明了由Brieskorn-Pham多项式定义的Lefschetz纤维化的导出类范畴等价于与同一多项式相关联的奇点的三角化范畴以及秩为1的阿贝尔群的分次.辛Picard-Lefschetz理论开发的赛德尔是一个重要组成部分的证明。
2010-03-26 math.AG math.SG
Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories
这是第一个两个文件，其中建设一个纯粹的代数对应理论的Gromov-Witten不变量（在所有属）。这些Gromov-Witten型不变量依赖于一个Calabi-Yau A-infinity范畴，它在普通的Gromov-Witten理论中扮演着目标的角色。当我们使用卡-丘簇上相干层的导出范畴的一个适当的A-无穷版本时，这就构造了所有属的B模型。当使用紧辛流形X上的Komaya范畴时，在一定的假设下，我们证明了通常的Gromov-Witten不变量是恢复的.假设X存在一个开闭Gromov-Witten不变量的好理论，并且从X的类范畴的霍赫希尔德同调到X的普通同调的自然映射是同构。
2006-01-16 math.AG math.QA
Legendrian knots and constructible sheaves
本文研究了以勒让德结为结尾的拉格朗日膜的无包裹类。我们的纽结存在于曲面的余切丛中的接触无穷远处，曲面上的可构造层范畴等价于曲面本身上的可构造层范畴。因此，我们的范畴可以被描述为可构造的层，其奇异支撑由纽结的前投影控制。利用Guillermou-Kashiwara-Schapira的一个定理证明了所得范畴在Legendrian同位素下是不变的，并猜想它等价于Chekanov-Eliashberg微分分次代数的表示范畴.我们还发现两个连接拓扑纽结理论。首先，在环上画一个正的辫状闭包，秩为n的对象的模空间映射到圆上的局部系统的空间。与常数层的前推上的权过滤相关联的谱序列的第二页是（n着色的）三阶Khovanov-Rozansky同调。其次，在平面上画一个正的辫子闭包，我们的模空间在q元有限域上的点数恢复了辫子闭包的HOMFLY多项式的最小系数。
2016-10-29 math.AG math.GT math.SG
Categorial mirror symmetry for K3 surfaces
本文研究了与K3曲面$X$相关联的修正的类范畴${\frak F}(X)$的结构，证明了只要$X$是带截面的椭圆K3曲面，$\fF(X)$的导出范畴等价于镜像K3曲面$\hat X$上相干层的导出范畴${\bold D}(\hat X)$的一个子范畴.
1998-11-12 hep-th math-ph math.AG
