首页/论文/math/9807102

arXiv math/98071021998-07math.NT

多项式光滑值个数的下界

Lower Bounds for the Number of Smooth Values of a Polynomial

Greg Martin

备注：: 24 pages. During the submission process, in communication with Cecile Dartyge and Gerald Tenenbaum a different approach to the problem was discovered, and the new results superseded the results in this paper. Consequently, this paper has remained unpublished. Our article appeared as "Polynomial Values Free of Large Prime Factors" in Periodica Math. Hungarica 43 (2001), no. 1-2, 111-119

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

我们研究的问题表明，一个给定的多项式的值是光滑的（即，没有大的素数因子）的时间的正比例。虽然存在一些结果，限制了从上面的多项式的光滑值的数量，一个相应的下界的正确的数量级迄今已被建立只有在少数特殊情况下。本文的目的是为任意多项式提供这样一个下界。各种推广的子集的一个多项式所采取的值。

英文摘要：

We investigate the problem of showing that the values of a given polynomial are smooth (i.e., have no large prime factors) a positive proportion of the time. Although some results exist that bound the number of smooth values of a polynomial from above, a corresponding lower bound of the correct order of magnitude has hitherto been established only in a few special cases. The purpose of this paper is to provide such a lower bound for an arbitrary polynomial. Various generalizations to subsets of the set of values taken by a polynomial are also obtained.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

具有多个指定系数的光滑多项式

Smooth polynomials with several prescribed coefficients

Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）

本文研究了具有预设系数的m-光滑多项式分布问题，采用特征和估计、Ha对多项式应用的Bourgain论证以及光滑多项式上的双重特征和来分析。

2026-05-21math.NT

某些二次多项式的光滑值

Smooth values of some quadratic polynomials

本文利用Luca和作者的方法，求出了使二次多项式$x^2+1,$ $x^2+4,$ $x^2+2$和$x^2-2$为200-光滑的所有$x$值和使二次多项式$x^2-4$为100-光滑的所有$x$值.

2010-05-10math.NT

剩余类中的无平方光滑多项式与不可约多项式的生成元

Square-free smooth polynomials in residue classes and generators of irreducible polynomials

在A. Booker和C. Pomerance（2017），我们证明了对于一个素数幂$q \geq 7$，每个剩余类模不可约多项式$F \in \mathbb{F}_q[X]$有一个非常数，无平方代表，没有次数超过$\text{deg}~F -1$的不可约因子。我们也给出了生成不可约多项式序列的应用。

2022-01-26math.NT

整系数多项式光滑值数量的一个上界及其应用

An upper bound for the number of smooth values of a polynomial and its applications

Waseda University（早稻田大学）

本文证明了整系数多项式光滑值数量的新上界，改进了Timofeev的结果，并应用于Cassels定理的另证及二次多项式本原因子问题。

2025-10-08math.NT

多项式光滑值个数的一个渐近公式

An Asymptotic Formula for the Number of Smooth Values of a Polynomial

虽然我们期望找到许多平滑的数字（即，在一个整数系数的多项式所取的值中，没有大的素数因子的数），不清楚这种光滑值的渐近数应该是多少;这与计算多项式的素数的相关问题相反，贝特曼和霍恩发表了一个被广泛认为是正确的渐近公式。讨论了如何利用Bateman-Horn猜想得到光滑参数在非平凡范围内的多项式的光滑值个数的渐近公式。这个条件结果为所有值{F（n）}中光滑整数的个数提供了一个可信的启发式，也为仅在素变元上的值{F（p）}中的光滑整数的个数提供了一个可信的启发式。

2000-08-22math.NT

多项式的光滑值

Smooth values of polynomials

给定正次数的$f\in \mathbb{Z}[t]$，我们研究了辅助多项式$g\in \mathbb{Z}[t]$的存在性，其中$f(g(t))$因子是小相对次数多项式的乘积.这项工作的一个结果表明，对于任何二次多项式$f\in\mathbb{Z}[t]$和任何$ε> 0$，有无穷多个$n\in\mathbb{N}$，其中$f(n)$的最大素因子不大于$n^ε$。

2017-10-05math.NT

更多相关论文收起更多论文

具有指定分解模式的多项式的enumeration

On the enumeration of polynomials with prescribed factorization pattern

我们使用群环上的生成函数来计算有限域上的多项式，并指定了前几个系数和一个因式分解模式。特别地，我们得到了有限域上一元$n$ -光滑次多项式$m$的个数以及具有给定迹系数的一元$n$ -光滑次多项式$m$的个数的精确公式.

2021-05-17math.NT

某些分圆多项式系数的下界

Lower bounds for coefficients of certain cyclotomic polynomials

本文证明了关于某些n的第n个分圆多项式系数最大绝对值下界的猜想，并指出该估计本质上是精确的。

2024-03-19math.NT

多项式序列的LCM的一个下界

A lower bound on the LCM of polynomial sequences

令$f$是一个多项式$f$的次数$d\ge 2$与整数系数是不可约的有理数。Cilleruelo证明了多项式在第一个$N$整数处的值的最小公倍数满足$\log lcm(f(1),\dots, f(N)) \sim (d-1) N\log N$为$N\to \infty$。这仅对于度$d=2$已知。本文给出了所有次数$d\geq 2$的一个简单的下界，它与猜想$\log lcm (f(1),\dots, f(N)) \gg N\log N$是一致的.

2020-01-27math.NT

（逆）分圆多项式最大间隔的下界

Lower Bounds for Maximum Gap in (Inverse) Cyclotomic Polynomials

多项式$f$的最大间隙$g(f)$是出现在$f$中的两个连续指数之间的差（间隙）的最大值。令$Φ_{n}$和$Ψ_{n}$分别表示$n$次分圆多项式和$n$次逆分圆多项式。本文给出了$g(Φ_{n})$和$g(Ψ_{n})$的几个下界，其中$n$是奇素数的乘积。我们注意到，它们往往是精确的。在一定条件下，给出了$g(Ψ_{n})$的精确表达式.最后，在一定条件下，给出了$g(Φ_{n})$的精确表达式.

2017-02-24math.NT

再论光滑置换与多项式

Smooth permutations and polynomials revisited

本文研究有限域上光滑置换与光滑多项式的计数，证明其误差项与 de Bruijn 整数结果一致，并揭示多项式情形中的相变阈值。

2024-11-11math.COmath.NT

关于用于 $ζ(s)$ 下界的三角多项式的一个注记

A note on trigonometric polynomials for lower bounds of $ζ(s)$

本文针对非负三角多项式在 Riemann zeta 函数下界中的应用，证明 Titchmarsh 使用的经典多项式 $3+4\cos(θ)+\cos(2θ)$ 在 $σ>1$ 时对 $|ζ(σ+it)|$ 下界是最优的。

2024-12-03math.NT

带除数系数的长Dirichlet多项式的均值

Mean values of long Dirichlet polynomials with divisor coefficients

本文研究带除数系数的长光滑Dirichlet多项式的均值问题，借助已有一般性定理推导出含所有低阶项与幂节省误差项的渐近公式，在除数函数情形下强化了Conrey与Gonek的猜想。

2023-09-14math.NT

不可约光滑完全交多项式系统的显式估计

Explicit estimates for polynomial systems defining irreducible smooth complete intersections

本文讨论了定义为“典型”多项式列的零点集的代数簇的性质。我们考虑各种类型的“好”品种：集理论和理想理论的完全交叉，绝对不可约的，和非奇异的。对于这些类型，我们提出了一个非零的“阻塞”多项式的显式有界程度的系数的序列，消失，如果它的品种是不是类型。在有限域上，这产生了这样的序列的数量上的界限。我们还表明，大多数序列（至少两个多项式）定义一个退化的品种，即绝对不可约的非奇异超曲面在一些线性射影子空间。

2015-12-17math.AGmath.NT

有限域上光滑多项式的一致估计

Uniform estimates for smooth polynomials over finite fields

该研究建立有限域上m-光滑多项式数量的新一致估计，证明其概率渐近于对应m-光滑排列概率且范围紧，解决了Hildebrand猜想的多项式类比，并给出随机多项式最大素因子期望次数的衰减速率。

2023-10-02math.COmath.NT

多项式标准高的一个下界

A lower bound on the canonical height for polynomials

证明了数域上多项式在无穷远轨道点上的正则高的一个下界。下界仅取决于多项式的次数、数域的次数和坏约化的位数。

2017-09-23math.DSmath.NT

三角多项式C模与L模不等式的Taykov下界的改进

Improvement Taykov's lower bound in an inequation between C and L norms for trigonometric polynomials

给出了常数\[ C_n=\sup\biggl\{\frac{\|t_n\|_{C(\mathbb T)}}{\|t_n\|_{L(\mathbb T)}}:t_n\text{are real trigonometric polynomials}, \operatorname{deg}t_n<n\biggr\} \]的新的下渐近估计为$n\to\infty$ .这个估计改进了L.V.Taykov（1965）的已知界。

2002-12-03math.CAmath.NT