Kaplansky's Construction Type and Classification of Weak bialgebras and Weak Hopf algebras
本文研究了弱双代数和弱霍普夫代数。这些代数分别形成了比双代数更广的一类霍普夫代数。本文的主要结果是Kaplansky构造型，它从正则代数或双代数出发，导出弱双代数或弱霍普夫代数。并给出了二维和三维弱双代数和弱霍普夫代数的分类。然后，我们确定稳定子群和这些类的代表，作用是线性群的作用。
2010-01-13 math.QA math.RA
The weak bialgebra structures on $\mathbb{k}^{\oplus n}$
School of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学数学学院）
本文对有限维半单代数ℂ^⊕ⁿ上的（弱）双代数结构进行分类，证明双代数结构对应有限幺半群、弱双代数结构对应有限小范畴，明确了两类结构的对应关系。
2026-08-28 math.QA math.RA
Weak Hopf algebras and quantum groupoids
我们给出了一个详细的比较之间的概念弱霍普夫代数（也称为量子广群的Nikshych和Vainerman），和一个$\times_R$ -双代数由于竹内（也称为双代数或量子（半）广群的Lu和Xu）。弱双代数与$\times_R$ -双代数是一样的，其中$R$是Frobenius-可分的。我们扩大比较覆盖模块和comomosit理论，对偶，以及问题时，bialgebroid应被称为一个霍普夫代数体。
2002-04-13 math.QA
Weak Bialgebras of Fractions
我们构建的代数分数的弱双代数相对于一个合适的分母组的元素，这是“几乎中心”，我们在本文中介绍的条件是足以保证存在的代数分数，并使其成为弱双代数。例如，一个余拟三角弱双代数的所有类群元素的幺半群，就像任意弱双代数的中心类群元素的任何幺半群一样，形成了一个合适的群元集。我们使用这种技术来构造新的弱双代数，其有限维余模范畴与SL 2-fusion范畴的关系与GL（2）与SL（2）的关系相同。
2012-12-23 math.QA math.RA
(Weak) incidence bialgebras of monoidal categories
研究了Joni和Rota意义上的范畴的关联余代数，特别是一类上的monoidal乘积将其转化为（弱）双代数的情况。重叠的组合霍普夫代数和霍普夫箭图的理论进行了讨论，并考虑的例子包括树，斜形状，米尔纳的双图和交叉模块。
2019-04-15 math.CT math.QA
Galois actions by finite quantum groupoids
提出了一类双代数胚映射，证明了在量子群胚作用下，平衡深度2扩张表现为有限Galois扩张，即，有限双代数胚、弱双代数或弱霍普夫代数的作用。本文讨论了弱双代数的变形、半群元、弱霍普夫代数重构的唯一性以及可分域扩张的例子。
2002-05-22 math.QA
Weak Projections onto a Braided Hopf Algebra
我们证明了，在一些温和的条件下，一个交换和coabel辫状幺半范畴中的双代数有一个弱投影到一个形式光滑（作为余代数）的子双代数上，该子双代数具有对极，见定理1.12。本文第二部分证明了具有弱投影的双代数是向量积双代数，见定理2.12。当双代数$A$是余交换的且与弱投影相关的某个余圈是平凡的时，我们证明了$A$是双向量积，或Madjid术语中的双积.最后一个结果是基于双向量积的一个泛性质，根据定理2.15，它适用于辫状幺半范畴范畴。我们还调查的情况下，正确的行动相关联的匹配对是平凡的。
2006-10-09 math.CT math.QA
Algebraic structures in comodule categories over weak bialgebras
对于一个双代数$L$余作用于一个$\Bbbk$ -代数$A$，一个经典的结果是$A$是一个右$L$ -余模代数当且仅当$A$是右$L$ -余模的幺半范畴$\mathcal{M}^{L}$中的一个代数;前一个概念是公式化的，而后者是范畴的。我们将这个结果推广到弱双代数$H$的情形.范畴$\mathcal{M}^H$通过Nill和Böhm-Caenepeel-Janssen的工作允许一个么半群结构，但是$\mathcal{M}^H$中的代数不是标准的$\Bbbk$ -代数。然而，我们证明了右$H$ -余代数范畴与$\mathcal{M}^H$中的代数范畴之间存在同构.我们还回顾并引入了$H$分别作用于$\Bbbk$ -余代数和Frobenius $\Bbbk$ -代数的公式化概念，并证明了类似的范畴同构结果.我们的工作受到Frobenius代数在张量范畴中的物理应用以及基代数大于基域的代数的对称性（例如路代数）的启发。我们通过从双代数$L$的某个余表示范畴到从$L$（一个“量子变换广群”）构建的弱双代数的余表示范畴构建一个monoidal函子来产生后者的例子，从而从普通的量子对称性创建弱量子对称性。
2021-12-18 math.QA math.RA
Rota-Baxter systems, dendriform algebras and covariant bialgebras
一个推广的概念的Rota-Baxter运营商提出。这种推广包括两个运营商的结合代数和满足类似的Rota-Baxter方程。任意权值的Rota-Baxter算子和扭曲Rota-Baxter算子是该系统的解。证明了一类特殊的树状代数结构等价于Rota-Baxter系统。进一步证明了Rota-Baxter系统诱导出弱赝扭量[F. Panaite & F. Van Oystaeyen，Twisted algebras，twisted bialgebras and Rota-Baxter operators，arXiv：1502.05327（2015）]，其可以负责基础代数上新的结合积的存在。作为无穷小双代数的自然扩张引入拟三角协变双代数[M.阿吉亚尔，无穷小霍普夫代数，[在：]新趋势在霍普夫代数理论（La Falda，1999年），Contemp。数学，267，美国数学学会，Providence，RI，（2000），pp. 1-29]。
2015-03-17 math.QA
On the double crossed product of weak Hopf algebras
给出了两个弱双代数下的代数之间的弱分配律，给出了相应的弱圈积代数关于张量积余代数结构成为弱双代数的充分条件.当弱双代数是弱霍普夫代数时，证明了弱圈积也是弱霍普夫代数的条件.我们的充分条件能够描述大多数已知的例子，（特别是弱霍普夫代数的Drinfel'd double）。
2012-05-10 math.QA math.RA
The Fundamental Theorem for weak braided bimonads
域上的向量空间范畴引入了（Hopf）双代数和弱（Hopf）双代数理论，并大量使用了张量积。作为第一个概括，这些概念是为幺半范畴制定的，如果需要的话，还可以编辫子。本文作者发展了任意范畴$\mathbb{A}$上的双单子和霍普夫单子$H$的理论，利用分配律，给出了霍普夫代数基本定理的一般形式.对于$τ$ -双单胞体$H$，通过需要Yang-Baxter算子$τ:HH\to HH$来捕获编织（Hopf）双代数的性质。本文的目的是将弱（Hopf）双代数的特征推广到这一一般情形，包括基本定理的适当形式。这包含了Alonso Álvarez等人所考虑的辫状霍普夫代数理论（基于弱杨-巴克斯特算子）。
2016-04-20 math.CT math.QA
Weak Crossed Biproducts and Weak Projections
给出了弱交叉双积的泛理论，证明了弱双代数的每一个弱投影都导出了这种交叉结构的一个例子。作为一个例子，我们给出了一个弱双代数的弱投影的构造，它与一个允许精确因子分解的广群相关联。
2009-10-30 math.QA math.RA
On bialgebras associated with paths and essential paths on ADE graphs
本文定义了图$G$（树）的基本路向量空间上的分次乘法，并证明了它是结合的。在大多数有趣的应用中，这棵树是一个ADE Dynkin图。本质路的保长自同态的向量空间具有由路的长度得到的分次，并具有几个有趣的双代数结构。其中之一是A. Ocneanu，是一种特殊的量子广群（弱Hopf代数），在其他地方也有研究;它的余积给出了对偶向量空间上的过滤卷积积。另一个双代数结构是用一个分次结合积代替这个过滤卷积积得到的，它可以从前者通过在最大等级子空间上的投影得到，但有趣的是直接定义它，而不使用DTA。所得到的是一个弱双代数，而不是一个弱Hopf代数。
2004-11-12 hep-th math-ph math.MP
Hall Algebras as Hopf Objects
Hall代数的一个问题是标准的乘和余乘映射在其基础的对称幺半范畴向量范畴中不满足双代数相容性条件。在过去，这个问题已经解决了一个较弱的结构称为“扭曲”双代数。在本文中，我们通过首先切换到由称为Grothendieck群的群K分次的向量空间的不同基础范畴Vect^K来不同地解决这个问题。我们装备这个类别的一个非平凡的辫子，这取决于K-分级。通过这种编织，我们发现Hall代数对于标准乘和余乘确实满足双代数条件，并且还可以配备一个对极，使其成为Vect^K中的一个霍普夫代数对象.
2010-11-24 math.QA
Tannaka Reconstruction of Weak Hopf Algebras in Arbitrary Monoidal Categories
我们介绍了一个变种的图形演算的Cockett和Seely的monoidal函子，并说明它与讨论Tannaka重建，其中一些是已知的，其中一些是新的。新的部分是：给定一个可分的Frobenius函子F：A --> B，从一个幺半范畴A到一个适当完备或余完备的辫状自治范畴B，Tannaka重构的通常公式给出B中的一个弱双代数;此外，如果A是自治的，这个弱双代数实际上是一个弱霍普夫代数。
2009-03-02 math.CT math.QA
On replacement axioms for the Jacobi identity for vertex algebras and their modules
我们用形式演算讨论顶点代数及其模的公理。按照一定的标准处理，我们把雅可比恒等式作为我们的主要公理，我们回忆弱交换性和弱结合性。我们推导出第三个伴随性质，我们称之为“弱斜结合性”。这第三个性质在某种意义上完成了公理的$\mathcal{S}_{3}$ -对称性，它与已知的雅可比恒等式的$\mathcal{S}_{3}$ -对称性有关。我们一开始不需要真空向量，这类似于在环论中不需要单位元。在这种更一般的情况下，仍然有一个性质，偶尔在标准处理中使用，它与斜对称密切相关，我们称之为“无真空斜对称”。“我们展示了这些性质的某些组合如何等价于真空自由顶点代数及其模的雅可比恒等式。然后，我们专门的情况下，真空向量，并获得进一步的替换公理。特别地，在最后一节中，我们得到了我们的主要结果，它说，在某些小公理的存在下，一个模的雅可比恒等式等价于弱结合性或弱斜结合性。这一结果的第一部分以前已经出现，并被用来显示（非平凡的）表示的等价和模块的顶点代数。我们的许多（但不是所有）结果都出现在标准处理中;我们的一些论点与通常的论点不同。
2009-12-04 math.QA
Hopf algebra structure of incidence algebras
偏序集的关联代数也自然地支持余代数结构，使得它成为m-弱双代数甚至是以默比乌斯函数为对极的m-弱霍普夫代数.这里的m-弱表示乘法和余乘法不需要分别是余代数态射或代数态射。在偏序集的区间集上计算模等价关系得到了丰富的理论。
2012-09-19 math.QA
Operads and the Hopf algebras of renormalisation
函子从（合作）运算到双代数涉及的霍普夫代数发生在重整化运算，简化了证明的霍普夫代数公理，并诱导了一个表征相应的一组字符和李代数的原语的对偶运算。此外，它表明，威克旋转公式导致这些操作之一的典范代数。
2003-11-10 hep-th math-ph math.MP
Manin triples of real simple Lie algebras. Part 1
本文主要讨论Manin三元组的分类问题，直到弱等价和规范等价为止。复单李代数的情形可以从A.Belavin，V.Drinfel'd，M.Semenov-Tian-Shanskii的论文中得到。研究共轭对复Manin三元组的作用，得到实二元组的列表。利用双代数结构对双相容上的所有$ad$ -不变形式进行了分类。我们分类的Manin三元组$(g(R),W,g(C))$弱和规范等价。
1999-04-28 math.QA
Larson-Sweedler Theorem and the Role of Grouplike Elements in Weak Hopf Algebras
将Larson-Sweedler定理推广到弱霍普夫代数，证明了有限维弱双代数是弱霍普夫代数当且仅当它具有非退化左积分.证明了弱霍普夫代数上的模范畴是具有半单单位和可逆模的自治幺半群。我们还揭示了对偶弱霍普夫代数中可逆模与左、右类群元的关系。定义了不同的左、右类群元，导出了弱Hopf代数中对极的四次幂的Radford公式，并证明了弱霍普夫代数A的平凡子代数A^T中的类群元使得对极的阶在内自同构上是有限的.
2003-12-18 math.QA
Construct Weak Hopf Algebras By Using Borcherds Matrix
通过增加一个新的生成元$J$来定义广义Kac-Moody代数${\mathcal G}$的一种新的量子化包络代数，该生成元$J$对整数$m$满足$J^m=J$.我们用$wU_q^τ({\mathcal G})$表示这个代数。这个代数是弱霍普夫代数当且仅当$m=2,3$。一般来说，它是一个双代数，并且包含一个Hopf子代数。这个Hopf子代数同构于广义Kac-Moody代数${\mathcal G}$的通常量子包络代数$U_q({\mathcal G})$。
2006-07-13 math.QA math.RT
Interacting Quantum Observables: Categorical Algebra and Diagrammatics
本文有两个紧密交织的目标：（i）介绍一种直观和通用的多量子比特系统的图形演算，ZX演算，它大大简化了量子计算和信息领域的推导。(ii)公理化量子观测量的互补性，在一个一般的框架内的物理理论的匕首对称幺半群范畴。我们还公理化在这个框架内的相移。使用良好的研究规范之间的对应关系的图形演算和对称monoidal类别，我们的研究结果提供了一个纯粹的图形形式化的互补量子观测。每一个单独的可观测量，由一个交换的特殊匕首弗罗贝纽斯代数表示，产生一个阿贝尔群的相移，我们称之为相位群。我们还确定了一个强大的形式的互补性，满足Z和X自旋观测量，从而产生一个缩放的双代数的变体。
2011-04-21 cs.LO math.CT math.QA
The Tannaka representation theorem for separable Frobenius functors
弱双代数是双代数胚的一个特例。本文研究这一事实与文献[4]中发展的双代数胚的Tannaka理论的关系。我们得到了关于可分Frobenius纤维函子的Tannaka表示定理。
2010-08-08 math.CT math.QA
Universal quantum semigroupoids
我们引入了泛量子线性半群（UQSGd）的概念，它是一个弱双代数，它在保持分次的同时泛作用于一个（不一定连通的）分次代数$A$.我们限制我们的注意力代数结构与交换基地，使UQSGDS调查的脸代数（由于林）。UQSGd构造推广了Manin在1988年引入的泛量子线性半群，泛量子线性半群是保分次的泛作用于连通分次代数的双代数.我们的主要结果是，当$A$是一个有限的面代数$Q$的路代数$\Bbbk Q$，这里介绍的各种UQSGd是同构的面代数附加到$Q$。本文还研究了预投射代数和其它附于箭图的代数的UQSGds。
2022-06-09 math.QA math.RA
Fusion categories in terms of graphs and relations
每个在适当域k上k-线性的融合范畴C是弱霍普夫代数H的有限维余模范畴。这个弱霍普夫代数是有限维的，余半单的，具有交换基.它作为关于长正则函子ω：C->Vect_k的泛余尾而出现。我们证明了H是弱双代数H[G]的商H=H[G]/I，弱双代数H[G]具有有限有向图G的组合描述，它依赖于C的生成元M的选择和C的融合系数. H[G]的代数是G × G的路代数，因此G中路的可组合性参数化了C的张量积的截断。理想I由两种类型的关系生成。第一种类型要求生成元M的张量幂幂具有适当的自同态代数，从而提供了C的Schur-Weyl对偶描述。如果C是编织的，则这包括形式为“RTT=TTR”的关系，其中R包含ωM上的编织系数\otimes ωM，这是Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan到弱双代数的构造的推广。第二类关系删除了一组适当的类群元素，以使有限维余模范畴在生成元M的所有张量幂幂上等价于C。作为例子，我们讨论了与U_q（sl_2）相关的模范畴.
2011-04-20 math-ph math.MP math.QA
