微分与符号的顺像（direct images）的 Adele 构造
Adelic constructions of direct images for differentials and symbols
AI总结：
本文利用 adele 消解与二维到一维局部域的留数、符号，构造了曲面到曲线射影态射下微分及 K-理论符号的顺像，并证明其互反律。
摘要：
对于光滑代数曲面 X 到光滑代数曲线 S 的射影态射（二者均定义在完美域 k 上），我们在两种情形下构造了顺像态射：从 H^i(X,Ω^2_X) 到 H^{i-1}(S,Ω^1_S)，以及当 char k=0 时从 H^i(X,K_2(X)) 到 H^{i-1}(S,K_1(S))。（若 i=2，则后一个映射正是从 CH^2(X) 到 CH^1(S) 的 Gysin 映射。）为此，在第一种情形中，我们使用已知的关于层 Ω^2_X 与 Ω^1_S 的 adele 消解；在第二种情形中，我们构造了层 K_2(X) 的一个 K_2-adele 消解。由此，我们将顺像态射归结为构造某些留数与符号，它们从与点对 x∈C（x 是不可约曲线 C∈X 上的闭点）相关联的二维局部域的微分与符号，映至与曲线 S 上闭点相关联的一维局部域。我们证明了这些映射所满足的互反律。
英文摘要：
For a projective morphism of an smooth algebraic surface $X$ onto a smooth algebraic curve $S$, both given over a perfect field $k$, we construct the direct image morphism in two cases: from $H^i(X,Ω^2_X)$ to $H^{i-1}(S,Ω^1_S)$ and when $char k =0$ from $H^i(X,K_2(X))$ to $H^{i-1}(S,K_1(S))$. (If i=2, then the last map is the Gysin map from $CH^2(X)$ to $CH^1(S)$.) To do this in the first case we use the known adelic resolution for sheafs $Ω^2_X$ and $Ω^1_S$. In the second case we construct a $K_2$-adelic resolution of a sheaf $K_2(X)$. And thus we reduce the direct image morphism to the construction of some residues and symbols from differentials and symbols of 2-dimensional local fields associated with pairs $x \in C$ ($x$ is a closed point on an irredicuble curve $C \in X$) to 1-dimensional local fields associated with closed points on the curve $S$. We prove reciprocity laws for these maps.
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