基于有理插值的求积公式
Quadrature formulas based on rational interpolation
AI总结：
本文研究基于有理插值的求积公式，涵盖高斯与正交两类，证明其涉及变权重正交多项式，并给出节点渐近分布、交错与单调性结果。
摘要：
我们考虑在区间[-1,1]上使用基函数$1/(1+t_kx)$（$k=1,2,3,\ldots$）进行插值的求积公式，其中$t_k$是区间(-1,1)内的参数。我们研究两类求积公式：最大精度求积公式，它尽可能正确地积分尽可能多的基函数（高斯求积），以及节点为基函数系正交化所得正交函数零点的求积公式（正交求积）。我们证明这两种方法都涉及具有修正（或变化）权重的正交多项式，这些权重依赖于求积节点的数量。我们还得到了节点的渐近分布以及节点的各种交错性质和单调性结果。
英文摘要：
We consider quadrature formulas based on interpolation using the basis functions $1/(1+t_kx)$ $(k=1,2,3,\ldots)$ on $[-1,1]$, where $t_k$ are parameters on the interval $(-1,1)$. We investigate two types of quadratures: quadrature formulas of maximum accuracy which correctly integrate as many basis functions as possible (Gaussian quadrature), and quadrature formulas whose nodes are the zeros of the orthogonal functions obtained by orthogonalizing the system of basis functions (orthogonal quadrature). We show that both approaches involve orthogonal polynomials with modified (or varying) weights which depend on the number of quadrature nodes. The asymptotic distribution of the nodes is obtained as well as various interlacing properties and monotonicity results for the nodes.
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