$\R^6$中紧凸超曲面闭特征的稳定性

紧凸超曲面上闭特征的共振恒等式、稳定性和重数

Resonance identity, stability and multiplicity of closed characteristics on compact convex hypersurfaces

在Hamilton分析中有一个长期存在的猜想，即在具有$n\ge 2$的$\R^{2n}$中的每个紧凸超曲面上，至少存在$n$几何上不同的闭特征.除了许多部分结果外，这个猜想只在$n=2$中得到了完全的解决。本文对$n=3$给出了这个猜想的一个肯定的答案。为了证明这一结果，我们首先建立了$\R^{2n}$中每个紧致凸超曲面$\Sg$上的闭特征的一个新的共振恒等式，当$\Sg$上的几何上不同的闭特征的个数有限时.然后利用这个恒等式和指数迭代理论的技巧，我们证明了$\R^6$的多重性结果。如果在$\R^4$中的紧致凸超曲面上恰好有两个几何上不同的闭特征线，我们证明了这两个特征线都是无理椭圆的.

高维中的过度扭曲凸超曲面

An overtwisted convex hypersurface in higher dimensions

本文证明了高维中特定凸超曲面周围的接触结构芽是过度扭曲的，并在具有环面核心的 plastikstufe 附近找到此类超曲面，同时附录重新证明了 Legendrian unknot 的松散性及奇异分布决定接触结构芽的民间结论。

$\mathbf{R}^8$中对称紧凸超曲面的对称闭特征：特殊情形

Symmetric closed characteristics on symmetric compact convex hypersurfaces in $\mathbf{R}^8$: Special cases

设$Σ$是$\mathbf{R}^{8}$中的$C^3$紧对称凸超曲面.对于某些特殊情况，我们证明了当$Σ$恰好带有四个几何上不同的闭特征时，它们都是对称的。

Remarks on the systoles of symmetric convex hypersurfaces and symplectic capacities

In this note we study the systoles of convex hypersurfaces in $\mathbb{R}^{2n}$ invariant under an anti-symplectic involution. We investigate a uniform upper bound of the ratio between the systole and the symmetric systole of the hypersurfaces using symplectic capacities from Floer theory. We discuss various concrete examples in which the ratio can be understood explicitly.

$\R^{2n}$中对称凸超曲面闭特征的多重性

Multiplicity of closed characteristics on symmetric convex hypersurfaces in $\R^{2n}$

设$Σ$是$\R^{2n}$中的紧$C^2$超曲面，它包围一个内部非空的凸集.本文证明了：如果$Σ$关于原点对称，则$Σ$上至少存在$n$几何上不同的闭特征.

接触流形中的鲁棒非凸超曲面

Robustly non-convex hypersurfaces in contact manifolds

本文通过首次在接触情形构造动力学混合器，给出5维及以上接触流形中不能被凸超曲面$C^2$逼近的鲁棒非凸超曲面首批示例。

凸超曲面与鲁棒异维动力学

Convex hypersurfaces and robust heterodimensional dynamics

研究五维及以上接触流形中闭可定向超曲面，通过结合异宿轨道的凸性障碍和鲁棒异维动力学进展，证明可经任意\(C^0\)小同痕与鲁棒非凸超曲面同痕，加强了相关结果。

$\R^8$中紧凸超曲面的闭特征

Closed characteristics on compact convex hypersurfaces in $\R^8$

本文证明了$\R^8$中的每个紧凸超曲面$\Sg$上至少存在四个几何上不同的闭特征。这在$n=4$情形中对自A. M. Liapounov在1892年（参见。\cite{Eke3}的第235页）。

R^{2n}中紧致凸超曲面闭特征的稳定性

Stability of closed characteristics on compact convex hypersurfaces in R^{2n}

设具有$n\geq2$的$Σ\subset \R^{2n}$是任意$C^2$紧凸超曲面且只具有几何上不同的闭特征.基于Y.Long和C.Zhu的指数跳跃方法\cite{LoZ1}，我们证明了至少存在两个几何上不同的椭圆闭特征，并且至少存在$\varrho_{n} (Σ)$（$\varrho_{n}(Σ)\geq[\frac{n}{2}]+1$）几何上不同的闭特征，使得其中任意两个元素的平均指数之比为无理数.

关于超曲面附近闭轨线存在性的Hofer-Zehnder定理的一个改进

A refinement of the Hofer-Zehnder theorem on the existence of closed trajectories near a hypersurface

Hofer-Zehnder定理指出，在辛流形$(M,ω)$中的超曲面$S$的增厚中，几乎每个超曲面都具有闭特征，只要$S$限制紧子流形并且$(M,ω)$具有有限容量。我们表明，这是足够的假设，增厚的$S$有有限的能力。

${\bf R}^{2n}$中紧致星形超曲面闭特征的共振恒等式

Resonance Identities for Closed Characteristics on Compact Star-shaped Hypersurfaces in ${\bf R}^{2n}$

给定能量超曲面上周期轨道之间的共振关系对于深入理解相应的哈密顿系统的动力学性质是非常重要的。当$Σ$上的闭特征线个数有限时，建立了${\bf R}^{2n}$中每个紧致星形超曲面$Σ$上闭特征线的两个新的共振恒等式，推广了C. Viterbo在1989年对星形超曲面作了一个新的推广，并假定所有的闭特征及其迭代都是非退化的。Wang，X. Hu和Y.在2007年长为严格凸超曲面在${\bf R}^{2n}$。

A dichotomy result for closed characteristics on compact star-shaped hypersurfaces in $\mathbf{R}^{2n}$

In this paper, we prove that if all closed characteristics on a compact non-degenerate star-shaped hypersurface $Σ$ in $\mathbf{R}^{2n}$ are elliptic, then either there exist exactly $n$ geometrically distinct closed characteristics, or there exist infinitely many geometrically distinct closed characteristics.

对称紧致星形超曲面上对称闭特征的共振恒等式和稳定性

Resonance identities and stability of symmetric closed characteristics on symmetric compact star-shaped hypersurfaces

到目前为止，${\bf R}^{2n}$中对称紧致星形超曲面$Σ$上的所有闭特征是否都是对称的还是未知的。为了理解这类轨道的行为，在对称紧致星形超曲面$Σ$上只存在1000个几何上不同的对称闭特征时，本文在${\bf R}^{2n}$中建立了对称紧致星形超曲面$Σ$上对称闭特征的前两个新的共振恒等式，推广了Liu和Long在\cite{LLo1}（2013）中建立的对称严格凸超曲面的恒等式.然后作为这些恒等式以及Liu，Long和Wang最近在\cite{LLW1}中建立的关于同一超曲面上所有闭特征的恒等式的应用，我们证明了：如果${\bf R}^4$中的对称紧致星形超曲面上恰好存在两个几何上不同的闭特征，则这两个闭特征必都是椭圆的.

Multiplicity and ellipticity of closed characteristics on compact star-shaped hypersurfaces in ${\bf R}^{2n}$

In this paper, we firstly generalize some theories developed by I. Ekeland and H. Hofer in [EkH] for closed characteristics on compact convex hypersurfaces in ${\bf R}^{2n}$ to star-shaped hypersurfaces. As applications, we use Ekeland-Hofer theory and index iteration theory to prove that if a compact star-shaped hypersuface in ${\bf R}^4$ satisfying some suitable pinching condition carries exactly two geometrically distinct closed characteristics, then both of them must be elliptic. We also conclude that the theory developed by Y. Long and C. Zhu in [LoZ] still holds for dynamically convex st…

接触类型超曲面在 $T^*S^n$ 中的闭 Reeb 轨道

Closed Reeb orbits on contact type hypersurfaces in $T^*S^n$

本文研究了接触类型超曲面在 $T^*S^n$ 中的闭 Reeb 轨道存在性，证明在动态凸条件下存在至少 $[\frac{n+1}{2}]$ 个闭 Reeb 轨道，并在非退化条件下证明存在两个非理性椭圆闭 Reeb 轨道。

$\mathbf{R}^{6}$ 中非退化星形超曲面上的三条闭特征

Three closed characteristics on non-degenerate star-shaped hypersurfaces in $\mathbf{R}^{6}$

该研究证明在 $\mathbf{R}^{6}$ 的非退化 $C^3$ 紧星形超曲面上，只要缺少 Maslov 型指标 0 或 -1 的本原闭特征，就至少存在三条本原闭特征。