自由群中的代数扩张

伪代数闭扩张

Pseudo Algebraically Closed Extensions

这个博士学位涉及域的伪代数闭（PAC）扩展的概念。它开发了一个组理论的机器，嵌入问题的推广的基础上，研究这些扩展。也许主要的结果是，虽然有许多PAC扩展，但一个适当的PAC扩展的伽罗瓦闭包是可分离的。本论文还包括以下几个方面的内容。伪代数闭扩张的群论对应物，即所谓的投射对。应用于看似无关的主题，例如，关于无限域上一元多项式环的等差数列中素数的狄利克雷定理的模拟。

代数群的扩张

Extensions of Algebraic Groups

设$G$是一个连通复代数群，$A$是一个连通交换代数群，通过群自同构赋予$G$一个代数作用.本文用一个短的正合序列描述了$A$对$G$的代数群扩张的交换群$\Ext_{alg}(G,A)$，该正合序列将交换群的下群与相对的第二李代数上同调空间和交换群的基本群联系起来.我们的第二个主要结果是代数群上同调的Van-Est定理的一个类似物，即对于一个代数$G$模$\a$和$p \geq 0$，代数群上同调$H^p_{alg}(G,\a)$是由李代数$\g$相对于极大约化子群的李代数的相对上同调给出的。

具有有限商和非交换2-上同调的代数群的扩张

Extensions of algebraic groups with finite quotient and nonabelian 2-cohomology

对于域$k$上的有限光滑代数群$F$和$k$的可分闭包上的光滑代数群$\bar G$，我们在$\bar G$中定义了$F$ -核的概念，并将它与一个非交换2-上同调集联系起来.利用这一点研究了$F$通过任意光滑$k$ -群$G$的扩张.我们特别表明，任何这样的扩展来自有限的$k$ -群的扩展时，$k$是完美的，我们给这些有限群的顺序明确的界限时，$G$是线性的。此外，我们证明了这些集上的一些有限性结果。

关于单微分代数群的中心扩张

On central extensions of simple differential algebraic groups

我们考虑线性微分代数群范畴中的中心扩展$Z\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$。我们证明了如果$G$是简单的非交换的，$Z$是幂幺的，并且其微分类型小于$G$，那么这样的扩张是分裂的。我们还给出了一个中心扩张的构造，说明了微分类型的条件对于分裂是很重要的。我们的结果意味着由Cassidy和Singer引入的非交换几乎单线性微分代数群是单的。

群扩张的代数纤维的有限性性质

Finiteness properties of algebraic fibers of group extensions

本综述总结了群扩张的代数纤维化存在性及其代数纤维的有限性性质，并探讨了这些结果在抽象群、pro-p群及高阶相干性中的应用。

A Universal algebraic approach to rack coverings

We study rack and quandle coverings from a universal algebraic viewpoint and we show how they can be understood using the notion of strongly abelian congruences. We provide an abstract characterization of several particular types of covering extensions, such as central and abelian ones. We give a new characterization of simply connected quandles and we show that the categorical notion of normal extension coincides with the notion of central covering. We answer several questions from the papers of Clark, Saito and Vendramin \cite{CS} and \cite{CSV} about identities preserved by quandle covering…

代数上同调群、代数基本群和稳定自由模

Algebraic cohomotopy groups, algebraic fundamental groups and stably free modules

本文研究了代数上同调群与稳定自由模的关系，证明了拓扑结果的代数对应，并展示了非自由稳定自由模的例子。

Matrices of simple spectrum in irreducible representations of cyclic extensions of simple algebraic groups

Let $H$ be a linear algebraic group whose connected component $G\neq 1$ is simple and $H/G$ is cyclic. We determine the irreducible projective representations $ϕ$ of $H$ such that $ϕ(G)$ is irreducible and $ϕ(h)$ has simple spectrum for some $h\in H$. The latter means that all irreducible constituents of the group $ϕ( \langle h\rangle)$ are of multiplicity 1. (Here $\langle h\rangle$ is the subgroup of $H$ generated by $h$.) This extends an earlier known result for $H=G$.

BNS Invariants and Algebraic Fibrations of Group Extensions

Let $G$ be a finitely generated group that can be written as an extension \[ 1 \longrightarrow K \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{f}{\longrightarrow} Γ\longrightarrow 1 \] where $K$ is a finitely generated group. By a study of the BNS invariants we prove that if $b_1(G) > b_1(Γ) > 0$, then $G$ algebraically fibers, i.e. admits an epimorphism to $\Bbb{Z}$ with finitely generated kernel. An interesting case of this occurrence is when $G$ is the fundamental group of a surface bundle over a surface $F \hookrightarrow X \rightarrow B$ with Albanese dimension $a(X) = 2$. As an application, …

代数群的算术

Arithmetic of algebraic groups

本文研究线性代数群的算术。它涉及研究性质的线性代数群定义的全球领域，局部域和有限域，或更普遍的研究线性代数群定义的领域承认任意循环扩张。

一个代数环定理

An Algebraic Annulus Theorem

我们提出了一个扩展邓伍迪的理论的轨道，并用它来证明一个模拟的环定理双曲群。

SL（2）微分表示的扩张与环面

Extensions of differential representations of SL(2) and tori

线性微分代数群（LDAG）度量了带参数的线性微分方程和差分方程的解之间的微分代数依赖性，LDAG是伽罗瓦群.差分表示论是开发计算这些群的算法的关键。在代数群的有理表示论中，人们从SL（2）和环面开始发展理论的其余部分。本文给出了SL（2）环面的微分表示和SL（2）的不可约表示的微分扩张的显式刻画。在这些扩展中，两个不可约表示可以是非同构的。这与环面的微分表示相反，环面的微分表示是同构表示的直接和。