Component sizes of the random graph outside the scaling window
Asaf Nachmias, Yuval Peres
我们给出了描述Erdos-Renyi随机图G（n，p）的最大分支在缩放窗口p={1+ \eps（n）\over n}之外的行为的简单证明，其中\eps（n）趋于0，但\eps（n）n^{1/3}趋于\infty。
We provide simple proofs describing the behavior of the largest component of the Erdos-Renyi random graph G(n,p) outside of the scaling window, p={1+\eps(n) \over n} where \eps(n) tends to 0, but \eps(n)n^{1/3} tends to \infty.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Scaling Limits for Width Two Partially Ordered Sets: The Incomparability Window
研究了n元上宽度为2的均匀随机选择偏序的结构。我们证明了在适当的尺度下，在区间[0，1]内的随机时刻，不可比元数收敛于一维布朗漂移的高度，服从Rayleigh分布.
The scaling window for a random graph with a given degree sequence
考虑给定度序列${\cal D}$上满足一定条件的随机图.我们关注两个参数$Q=Q({\cal D}), R=R({\cal D})$。Molloy和Reed证明了Q=0是随机图具有巨分支的阈值。我们证明，如果$|Q|=O(n^{-1/3} R^{2/3})$，那么，以高概率，随机图的最大组件的大小将是顺序$Θ(n^{2/3}R^{-1/3})$。如果$|Q|$渐近大于$n^{-1/3}R^{2/3}$，则最大分量的大小渐近小于或大于$n^{2/3}R^{-1/3}$。因此，我们确定缩放窗口是$|Q|=O(n^{-1/3} R^{2/3})$。
The Scaling Window of Random $k$-SAT
本文证明稀疏单调覆盖问题缩放窗口的一般上界，改进随机k-SAT的窗口至O(n/log n)，并推广至其他问题，提出系统方法。研究问题为随机k-SAT的阈值窗口大小，核心方法是结合加强的Bourgain定理与局部到随机替换原则，主要贡献是改进已知界并回答Perkins问题。
Random subgraphs of finite graphs: I. The scaling window under the triangle condition
本文研究了任意有限连通传递图$\mathbb G$的随机子图，该图是通过以概率$1-p$独立删除边而得到的.令$V$为$\mathbb G$中的顶点数，并令$Ω$为它们的度。我们定义的临界阈值$p_c=p_c(\mathbb G,λ)$的$p$的值，对于一个固定的顶点的预期集群大小达到值$λV^{1/3}$，其中$λ$是固定的和积极的。我们表明，对于任何这样的模型，有一个相变在$p_c$类似的随机图的相变，只要一个数量称为三角图是足够小的阈值$p_c$。特别是，我们表明，规模$|p-p_c|=Θ(\cn^{-1}V^{-1/3})$的缩放窗口内的最大集群的大小$Θ(V^{2/3})$，而低于这个缩放窗口，它是小得多，顺序$O(ε^{-2}\log(Vε^3))$，与$ε=\cn(p_c-p)$。我们还获得了一个上限$O(\cn(p-p_c)V)$的预期大小的最大集群以上的窗口。此外，我们定义并分析了窗口以上的逾渗概率，并证明它是$Θ(\cn(p-p_c))$阶的。其中模型的三角图是小到足以让我们得出这些结论的随机图，$n$立方体和某些汉明立方体，以及展开$n$维环面$n>6$。
On the chromatic number of random triangle-free graphs
本研究针对边数为$Θ(n^{3/2}(\log n)^{1/2})$的随机无三角形图，通过与随机2-SAT、双Erdős–Rényi图着色问题的高概率等价性，确定了色数3→4、4→5转变的标度窗口宽度及后者的极限概率。
The near-critical scaling window for directed polymers on disordered trees
研究了无限二叉树上随机环境中的有向聚合物模型。该模型的特点是相变取决于逆温度。我们集中在近临界状态下的分拆函数的渐近性，其中逆温度是一个小的扰动远离临界的扰动收敛到零，系统的大小变大。根据不同的收敛速度，我们观察到非常不同的渐近行为。如果微扰很小，那么我们就在临界窗口内，观察到与临界温度下相同的分拆函数衰减。如果扰动稍大的近临界缩放导致一个新的范围内的渐近行为，这在极端匹配的亚临界和超临界制度与已知的速率。我们使用我们的结果来确定的大小的波动的典型能量下的临界吉布斯措施。
Scaling limits for the threshold window: When does a monotone Boolean function flip its outcome?
考虑单调布尔函数$f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$和根据具有强度$p\in[0,1]$的乘积测度选择的$\{0,1\}^n$中的元素的正则单调耦合$\{η_p:p\in[0,1]\}$。其中$f(η_p)$从$0$翻转到$1$的随机点$p\in[0,1]$经常集中在特定点附近，因此表现出阈值现象。对于一系列这样的布尔函数，我们仔细观察这个阈值窗口，并考虑，对于大的$n$，这个随机点的极限分布（适当地归一化为非退化），其中布尔函数从0切换到1。我们确定这种分布的一些布尔函数的典型研究，并特别注意对应于迭代多数和渗流交叉的功能。事实证明，这些极限分布具有相当不同的行为。事实上，我们表明，任何非退化的概率测度$\mathbb{R}$出现在这样的一些序列的布尔函数。
The Scaling Window of the 2-SAT Transition
我们考虑随机2-可满足性问题，其中每个实例都是一个公式，该公式是m个子句的形式（x或y）的合取，从n个布尔变量及其否定的所有2-子句中随机均匀选择。当m和n在m/n --> alpha中趋于无穷大时，已知问题在alpha_c = 1处有一个相变，低于该相变，公式可满足的概率趋于1，高于该相变，公式可满足的概率趋于0。我们确定了关于这个过渡的有限大小的缩放，即最大窗口W（n，delta）=（alpha_-（n，delta），alpha_+（n，delta））的缩放，使得对于alpha alpha_+，可满足性的概率大于1-delta< alpha_- and is less than delta for alpha >。我们证明了W（n，delta）=（1-Theta（n^{-1/3}），1 +Theta（n^{-1/3}）），其中Theta中隐含的常数依赖于delta.我们还确定在窗口的边界处可满足性的概率接近1和0的速率。也就是说，对于m=（1+ ε）n，其中ε可以依赖于n，只要|epsilon|足够小，并且|epsilon| *n^（1/3）足够大，我们证明了可满足性的概率在窗口之上像exp（-Theta（n* ε ^3））那样衰减，在窗口之下像1-Theta（1/（n* |epsilon| ^3））那样衰减。我们证明了这些结果，通过定义一个序参数的过渡，并建立其缩放行为在n的…
Large random intersection graphs inside the critical window and triangle counts
本研究确定了临界窗口内随机相交图的标度极限，揭示其在两种聚类机制下与连续Erdos--Renyi图一致，并借助二项二分图关联及图探索算法，证明了大型连通分量中三角形数的极限定理。
Scaling window for mean-field percolation of averages
对于大小为$n$的完整图，为每条边分配i.i.d.。指数变量与平均$n$。对于$λ>0$，考虑其平均权重至多为$λ$的最长路径的长度。Aldous（1998）指出，对于$λ< 1/\mathrm{e}$，长度为$\log n$阶，对于$λ> 1/\mathrm{e}$，长度为$n$阶。Aldous（2003）提出了关于临界和接近临界$1/\mathrm{e}$的详细行为的问题。特别地，Aldous询问是否存在标度指数$μ, ν$，使得对于$n^{-μ}$阶的$1/\mathrm{e}$内的$λ$，平均权重至多为$λ$的最长路径的长度具有$n^ν$阶。我们回答这个问题的关键行为是丰富得多：对于$λ$周围的$1/\mathrm{e}$在一个窗口内的$α(\log n)^{-2}$与一个小的绝对常数$α>0$，最长的路径是顺序$(\log n)^3$。此外，对于$λ\geq 1/\mathrm{e} + β(\log n)^{-2}$与$β$一个大的绝对常数，最长的路径至少是$n$中的多项式的长度。我们的结果的一个有趣的后果是在$1/\mathrm{e} + [α(\log n)^{-2}, β(\log n)^{-2}]$的第二个过渡点的存在。此外，我们证明了从亚临界到临界政权的平稳过渡。我们的结果是未知的，甚至在一个启发式的意义。
The critical percolation window in growing random graphs
研究了生长随机图中临界渗流窗口的性质，揭示了窗口宽度、最大组件大小及易感性特征。
Scaling limits and universality: Critical percolation on weighted graphs converging to an $L^3$ graphon
本研究提出一种建立平均场型临界随机离散结构度量标度极限的四要素普适性技术，证明了收敛于$L^3$图子的加权图的临界渗流标度极限，并可推广至RGIV模型等多个相关问题。
Random subgraphs of finite graphs: III. The phase transition for the $n$-cube
研究了$n$ -立方体$\{0,1\}^n$的随机子图，其中最近邻边被概率$p$占据。令$p_c(n)$为$p$的值，对于该值，固定顶点的预期簇大小达到值$λ2^{n/3}$，其中$λ$为小的正常数。让$ε=n(p-p_c(n))$。在以前的两篇论文中，我们证明了由$|ε|=Θ(2^{-n/3})$给出的缩放窗口内的最大集群的大小为$Θ(2^{2n/3})$，在此缩放窗口之下，它至多为$2(\log2) nε^{-2}$，在此缩放窗口之上，它至多为$O(ε2^n)$。在本文中，我们证明了$p - p_c(n) \geq e^{-cn^{1/3}}$的最大集群的大小至少是$Θ(ε2^n)$，这是相同的顺序的上限。这提供了一个理解的相变，远远超出了以前的作者获得。这个证明是基于一种被称为“喷洒”的方法，并且在很大程度上依赖于$n$立方体的特定几何形状。
Many-server asymptotics for Join-the-Shortest Queue in the Super-Halfin-Whitt Scaling Window
本文研究超Halfin-Whitt缩放窗口下最短队列加入策略的许多服务器渐近性，证明总队列长度过程收敛到负漂移Bessel过程，稳态分布为Gamma(2,β)，且极限定律不依赖于缩放参数α。
Finite size scaling for the core of large random hypergraphs
超图的（二）核是所有顶点只出现一次的超边的最大集合。它在诸如有效地求解GF上的大型线性系统[2]或在二进制擦除信道上使用的低密度奇偶校验码的迭代解码等任务中是重要的。类似的结构出现在各种NP难的组合优化和决策问题中，从顶点覆盖到可满足性。对于一个均匀选择的随机超图的$m=nρ$顶点和$n$超边，每个组成相同的固定数目$l\geq3$的顶点，核心的大小表现出一个一阶相变，从$o(n)$为$ρ>ρ_{\mathrm{c}}$的正分数$n$为$ρ<ρ_{\mathrm{c}}$，与过渡窗口大小$Θ(n^{-1/2})$周围$ρ_{\mathrm{c}}>0$。分析相应的“叶移除”算法，我们确定相关的有限大小缩放行为。具体地，如果$ρ$在缩放窗口（更精确地，$ρ=ρ_{\mathrm{c}}+rn^{-1/2}$）内，则具有大小为$Θ(n)$的核的概率具有严格在0和1之间的限制，以及阶数为$Θ(n^{-1/6})$的前导校正。修正承认一个尖锐的特征，在布朗运动的分布与二次移位，从它继承了与$n$缩放。这种行为预计将是普遍的组合问题的广泛收集。
Critical random forests
令$F(N,m)$表示一组$N$顶点上的随机森林，这些顶点是从具有$m$边的所有森林中均匀选择的。设$F(N,p)$表示将Erdos-Renyi图$G(N,p)$设为无圈的森林。我们描述了在临界窗口$p=N^{-1}+O(N^{-4/3})$或$m=N/2+O(N^{2/3})$中$F(N,p)$和$F(N,m)$的最大分量的缩放限制。Aldous描述了临界窗口内$G(N,p)$的最大分量的缩放极限，即具有随时间漂移的反射布朗运动的偏移长度。我们对临界随机森林的尺度限制具有类似的性质，但现在基于反射扩散，其漂移取决于空间和时间。
Scaling limit for the random walk on the largest connected component of the critical random graph
在Erdos-Renyi随机图的最大连通分支上，导出了简单随机游动在临界窗口内的一个尺度极限.极限扩散构造使用电阻形式的技术，并满足相同的淬火短时热核渐近连续随机树上的布朗运动。
Finite-size occupancy scaling of apparent fractal dimensions in stochastic trajectories
针对有限随机轨迹中分形维数估计的有限尺寸标度问题，提出基于球箱占据模型的偏差校正方法，通过归一化局部斜率坍塌实现跨模型类的误差降低。
Critical scaling profile for trees and connected subgraphs on the complete graph
通过分析完全图上树和连通子图的生成函数，在临界窗口内识别出两者共有的单一标度轮廓，并推测该轮廓适用于高维离散环面（d≥8）上的格点树和格点动物。
Critical window for the configuration model: finite third moment degrees
我们研究了临界组态模型的组分尺寸，以及在超临界组态模型上的临界逾渗问题。我们表明，在临界状态下，有限的三阶矩假设的渐近度分布是足以保证的最大连通组件的大小的顺序$n^{2/3}$和重新缩放组件的大小（以递减的方式排序）收敛到有序的行程长度的非均匀布朗运动与抛物线漂移。我们使用渗流研究这些组件的大小，而通过临界窗口的演变，并表明，向量的渗流集群的大小，被认为是一个过程中的临界窗口，收敛到乘法合并过程中的有限维分布的意义。Aldous（1997）首先在Erdens-Rényi随机图中观察到这种行为，我们的结果为经验证据提供了支持，即大量随机图模型的相变性质在本质上是普遍的。此外，我们表明，重新缩放的组件的大小和盈余的边缘下的一个强拓扑，在每个固定位置的缩放窗口共同收敛。
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