随机 $k$-SAT 的缩放窗口
The Scaling Window of Random $k$-SAT
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中文总结 AI 辅助
本文证明稀疏单调覆盖问题缩放窗口的一般上界，改进随机k-SAT的窗口至O(n/log n)，并推广至其他问题，提出系统方法。研究问题为随机k-SAT的阈值窗口大小，核心方法是结合加强的Bourgain定理与局部到随机替换原则，主要贡献是改进已知界并回答Perkins问题。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了稀疏单调覆盖问题的缩放窗口的一般上界。由此，我们推导出对于每个固定值 $k\geq 3$，随机 $k$-SAT 的窗口为 $O(n/\log n)$，改进了 Friedgut-Bourgain 的 $O(n/\log\log n)$ 界。我们还证明了随机符号 Not-All-Equal-$k$-SAT 和超图非二染色性（性质 B）具有相同阶的窗口。我们对稀疏单调覆盖问题缩放窗口的上界遵循一种一般策略，该策略结合了 Keevash、Lifshitz、Long 和 Minzer 对 Bourgain 尖锐阈值定理的加强以及一个局部到随机的替换原则。这提供了一种证明缩放窗口界的系统方法，回应了 Perkins 的一个问题。
英文摘要
We prove a general upper bound for scaling windows of sparse monotone covering problems. From that, we deduce that for every fixed value $k\geq 3$, the window of random $k$-SAT is $O(n/\log n)$, improving the Friedgut-Bourgain bound of $O(n/\log\log n)$. We also show that random signed Not-All-Equal-$k$-SAT and hypergraph non-two-colourability (Property B) have windows of the same order. Our upper bound for scaling windows of sparse monotone covering problems follows from a general strategy combining the strengthening of Bourgain's sharp threshold theorem by Keevash, Lifshitz, Long, and Minzer with a local-to-random replacement principle. This provides a systematic method for proving scaling-window bounds, addressing a question of Perkins.
发表机构
- University of Cambridge（剑桥大学）
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