Some Notes on G_2 and Spin(7) Geometry
Spiro Karigiannis
我们收集了关于G_2和Spin（7）几何的各种事实，这些事实可能是众所周知的，但似乎在以前的文献中没有明确出现过。这些笔记对研究生和G_2和Spin（7）几何的新研究者是有用的。
We collect together various facts about G_2 and Spin(7) geometry which are likely well known but which do not seem to have appeared explicitly in the literature before. These notes should be useful to graduate students and new researchers in G_2 and Spin(7) geometry.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Notes on transformations in integrable geometry
我们描述的规范理论的方法，通过讨论两个经典的例子：常负高斯曲率和等温表面的表面在可积几何变换。这些是我2015年5月在福冈演讲时的一些笔记。
Lecture notes on the Fundamental Structures of Differential Geometry
这是2021-2022学年特别课程的讲义的第一部分。在这些课堂讲稿中，我们提出了一种方法，以基本结构的微分几何，使用白话的层，微分算子和水平子丛。
Lecture Notes on Spin Geometry
我们回顾了Atiyah-Singer指标定理及其应用。只需要微分几何和李群的基础知识。
A note on real Killing spinors in Weyl geometry
本文致力于三维Weyl流形上的真实Killing方程。任何允许实Killing旋量为0的流形都满足高杜雄-托德几何的条件。相反，任何单连通的高杜雄-托德几何都有一个2维空间的实基灵方程在权为0的旋量丛上的解。
A note on Ribaucour transformations in Lie sphere geometry
继Burstall和Hertrich-Jeromin之后，我们研究了李球几何中Legendre子流形的Ribaucour变换.我们给出了一个明确的参数化所产生的Legendre子流形$\hat{F}$的Ribaucour变换，通过一个单一的实函数$τ$，它代表了正规的Ribaucour球同余$s$包围原Legendre子流形$F$。
A note on the geometry and topology of almost even-Clifford Hermitian manifolds
我们计算了几乎偶数Clifford Hermitian流形的结构群，并确定了当这些群导致自旋结构。
Note on the conjecture of D.Blair in contact Riemannian geometry
Blair的猜想说，不存在与切触结构相容的非正曲率的非平坦黎曼度量。我们对三维闭流形上的某类切触结构证明了这一猜想，并构造了一个局部反例。我们还证明了$\mathbb{R}^3$上的双曲度量不能与任何切触结构相容。
A note on submanifolds and mappings in generalized complex geometry
在广义复几何中，我们重新讨论了具有诱导广义复结构的线性子空间和子流形。我们给出了一个表达式的诱导结构，使我们能够推导出一个光滑的标准，我们对偶的结果淹没，我们做了一些评论广义复映射。然后，我们讨论了具有诱导广义Kaehler结构的广义Kaehler流形的子流形。这些结果是广义Kaehler流形的两个经典复结构的公共不变子流形。
A note on quasi generalized CR-lightlike geometry in indefinite nearly $μ$-Sasakian manifold
作者在[18]中首次提出了拟广义CR-类光的概念。本文研究了不定近$μ$ -Sasakian流形的拟CR-类光子流形的凸屏和余屏。本文证明了一个允许度量联络的极小ascreen拟广义CR-类光子流形的存在性定理。给出了共屏拟广义CR-类光子流形上几乎平行分布和自平行分布的分类定理。必要时，还构造了几个例子来说明主要思想。
A Note on 3-quasi-Sasakian Geometry
3-拟Sasakian流形最近被研究作为一个合适的设置统一3-Sasakian和3-余辛几何。本文对这类几乎3-切触度量流形的一些几何性质作了简要的回顾，重点讨论了与物理应用更密切相关的几何性质。
A Note on Distributional Semi-Riemannian Geometry
讨论了低正则性情形下半黎曼几何的一些基本概念。特别地，我们比较了L意义下的（线性）分布几何的设置。Schwartz和J.F.科隆博
A Note on Doubly Warped Product Contact CR-Submanifolds in trans-Sasakian Manifolds
直到2001年，在B.Y.尘紧接着，另一条研究路线，类似于关于佐佐木几何的奇维版本的凯勒几何，被开发出来，即翘曲的产品接触CR-子流形在佐木流形。本文证明了trans-Sasakian流形中不存在真的双曲积切触CR-子流形。
Lecture Notes on Comparison Geometry
本比较几何讲义基于多伦多大学相关课程整理，涵盖多种经典比较定理及其应用、多位学者的核心定理与猜想证明，还介绍了Gromov-Hausdorff收敛等进阶内容。
A Note on Smale Manifolds and Lorentzian Sasaki-Einstein Geometry
在本文中，我们构造了Smale流形$M.$上Lorentzian Sasaki-Einstein（LSE）度量的新例子。在\cite{Gmz2}中已经建立了这种度量存在于所谓的无挠Smale流形上，即$S^{2}\times S^{3}.$的$k$ -折叠连通和。现在，我们证明了LSE度量存在于$H_{2}(M,\mathbb{Z})_{tor}$非平凡的Smale流形上。特别是，我们表明，大多数简单连接的正Sasakian有理同调5-球也是负Sasakian（因此洛伦兹Sasaki-Einstein）。证明了对于每对正整数$(n,s)$和$n,s >1$，存在Lorentzian Sasaki-Einstein Smale流形$M$，使得$H_{2}(M,{\mathbb{Z}})_{tors}=(\mathbb{Z}/n)^{2s}$ .最后，我们能够构造所谓的混合Smale流形（连接无挠Smale流形与有理同调球面的和），它允许LSE度量，并具有任意的第二Betti数。这给出了无限多的例子，不承认积极的佐佐木结构。这些结果部分解决了开放的问题
Holonomy Groups in Riemannian Geometry
微型课程“黎曼几何中的和乐群”的讲义，这是第十七届巴西几何学院的一部分，将于2012年7月在UFAM（巴西亚马逊）举行。
Notes on the Jacobi equation
讨论了Jacobi场的一些性质，这些性质不涉及曲率自同态的假设。比较了不同Jacobi场空间的指数，并给出了它在黎曼几何中的一些应用。
A Note on Toric Contact Geometry
在观察到著名的辛几何凸性定理也适用于具有环面有效作用的紧致接触流形，其Reeb向量场对应于环面的李代数的元素后，我们使用这一事实连同最近辛orbifold版本的德尔赞特定理由于勒曼和托尔曼[LT]证明了每一个这样的紧复曲面接触流形都可以由奇维球面的接触约化得到。
Lectures on Kähler Geometry
这些笔记是根据我2003年在汉堡大学的研究生课程编写的，面向的是具有微分几何基础知识的学生。其主要目的是提供一个快速和方便的介绍凯勒几何的不同方面。
A brief note on how Einstein's general relativity has influenced the development of modern differential geometry
我们简要地回顾了微分几何发展的几个方面，这些方面可能被认为是受到爱因斯坦广义相对论的影响。我们专注于如何爱因斯坦的追求一个完整的几何化的物质和电磁引起了大量的理论工作都在物理学和数学。在这方面，我们也带来光如何最近的研究理论物理导致了新的结果，在一些分支的现代微分几何。
Differential geometry of submanifolds of projective space
这些是课堂讲稿上的刚性子流形的射影空间“类似”紧凑厄米对称空间在其齐次嵌入。最近的结果进行了调查，以及他们的经典前辈。这些笔记包括介绍射影几何中的活动标架，阐述了黄-山口刚性定理和黄-山口定理的一个新变体。
A note on the equivariant Chern character in Noncommutative Geometry
本文针对李群在流形上的光滑作用，提出了交叉积代数循环上同调中等变向量丛 Chern 示性数的两种构造方法，并证明了在真作用下这两种构造等价。
Note on pre-Courant algebroid structures for parabolic geometries
本文旨在证明每一个抛物几何都有一个自然定义的per-Courant代数结构。这个结构是柯朗代数的当且仅当Cartan联络的曲率$κ$为零。在所有其他情况下，如果抛物几何是正则的，则不存在柯朗括号的自然通用表达式。
A Note on Semidensities in Antisymplectic Geometry
我们重新讨论了Khudaverdian关于反辛流形上的奇幂零算子Δ E的几何构造，它将半空间变换为半空间。我们找到了任意坐标系下Δ E算符的一个定域公式，并讨论了它与Batalin-Vilkovisky量子化的关系.
Lectures on Finslerian Geometry
本讲义系统介绍Finsler几何的基本概念与理论框架，为学习者提供该领域的核心知识。
A note on the conformal geometry of the 2-sphere
研究二维球面共形几何，通过特定对称无迹张量导出线性二阶偏微分方程，其解空间有闵可夫斯基结构，存在无穷多相关空间，且二维球面能规范等距嵌入闵可夫斯基空间。
A Note on the Morse Index Theorem for Geodesics between Submanifolds in semi-Riemannian Geometry
将半黎曼几何中作用泛函在两端点可变测地线上的Hessian指数的计算归结为终点固定的情况。利用这一观察，我们给出了一个初等证明的莫尔斯指标定理的黎曼测地线与两个变量的端点，在原来的莫尔斯证明的精神。这种方法大大减少了在以前的文章中给出的定理的证明所需的努力。在洛伦兹流形的两个子流形之间的类时测地线的情况下，完全相同的论证也有效。对于类光洛伦兹情形的推广，只需稍加修改，就可以很容易地证明比姆、埃利希和金的焦点指数定理。
A note on Dirac spinors in a non-flat space-time of general relativity
为了从数学上解释引力场中的P和T操作，对狄拉克旋量的某些方面进行了恢复和研究。
Fractional Laplacian in Conformal Geometry
本文研究了Caffarelli-Silvestre最近工作中出现的分数Laplacian算子与共形几何中的一类共形协变算子之间的联系.
Lecture notes on the symplectic geometry of graded manifolds and higher Lie groupoids
本讲义探讨带权manifold的辛几何与高阶李群胚，介绍辛Q-manifold、拉格朗日子manifold及移位结构，结合等变上同调和辛约简，应用于数学与物理领域。
Notes on the Geometry of Electromagnetic Fields and Maxwell's Equations along a non-null curves in non flat-3D space forms $M_{q}^{3}(c)$
该研究在非平坦三维空间形式$M_{q}^{3}(c)$中定义正交标架下的方向导数、推广Serret-Frenet关系，给出粒子弯曲弹性能函数及单位向量场能量的几何解释，并求解该空间中的麦克斯韦方程。
A Note on Hodge theoretic anabelian geometry
本文提出一个基于Hodge理论的anabelian猜想，通过非阿贝尔Hodge理论中的ℂ×作用替代Galois作用，并证明了双曲曲线和复双曲流形的类比定理。
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