The lives of period-3 orbits for some quadratic polynomials
Bau-Sen Du
在本文中，我们考虑以下两个家庭的二次多项式$S_{a,c}(x) = a - cx^2$和$T_{a,c}(x) = a - c(1 + x^2)$，并表明他们各自的周期3轨道生活非常不同的生活。
In this note, we consider the following two families of quadratic polynomials $S_{a,c}(x) = a - cx^2$ and $T_{a,c}(x) = a - c(1 + x^2)$ and show that their respective period-3 orbits live very different lives.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Number of Periodic Points of Quadratic Dynamical Systems Modulo a Prime
2004年Vasiga和Shallit研究了模素数的两个离散二次映射的周期点的个数。他们发现的渐近行为总和的数量周期点的所有素数小于一些限制，假设扩展黎曼假设。同年晚些时候，周和Shparlinski证明了这一渐近结果，而无需假设任何未经证实的假设。受此启发，我们进行实验，并发现一个惊人的模式的行为的总和的周期点的二次映射的其他两个特定的研究。从模拟看来，这种类型的所有二次映射的周期点的数目之和表现相同。最后，我们发现，数值上的周期点的数量分布似乎是瑞利。
Uniqueness of the sum of points of the period five cycle of quadratic polynomials
众所周知，二次多项式$f_{c}(x)=x^{2}+c$的周期为5的循环的点之和一般不是单值的。本文将证明在一个新的坐标平面上，周期为5的曲线的循环点之和至多为三值，并且这个结果基本上是最好的。我们的证明方法依赖于一个实现Gröbner基，特别是从多项式代数理论的扩张理论。
On the number of limit cycles in quadratic perturbations of quadratic codimension four centers
研究了二次余维四中心$Q_4$的一般二次扰动的极限环分支问题。Gavrilov和Iliev为中心周围的周期环产生的极限环的数量设置了一个上界{ \it 8}。基于Gavrilov-Iliev的证明，本文证明了扰动系统最多有五个极限环，这些极限环出现在围绕中心的周期环中.我们还证明了存在由$Q_4$的周期环产生的具有三个极限环的扰动系统。
Global Dynamical Behaviours and Periodicity of a Certain Quadratic-Rational Difference Equation with Delay
本文研究了高阶差分方程x_{n+1} =A+B（（x_{n-m}）/（x_{n} ^2））的动力学问题，其中A，B>0，初值为正，m={1，2，.}.进一步讨论了这类方程解的周期性、有界性、半周期性、全局渐近稳定性。我们还处理这些差分方程的解决方案收敛速率。
On quadratic periodic points of quadratic polynomials
有理系数二次多项式的预周期点个数的界是算术动力学中一致有界猜想的一种情形。在这里，我们提供了一个一般的框架，可以减少寻找周期点，这样的多项式在伽罗瓦扩展$\mathbb{Q}$找到周期点的有理数。此外，我们提出的证据表明，有没有这样的多项式（线性共轭）与周期点的确切周期5在二次域通过搜索点的代数曲线，分类二次周期点的确切周期5，并建议应用的方法Chabauty和科尔曼进一步的进展。
Periodic orbits 1-5 of quadratic polynomials on a new coordinate plane
当迭代二次多项式f_{c}（x）=x^{2}+c时，迭代次数增长非常快，因此即使对于具有低周期的周期轨道，求解与周期轨道相对应的方程也变得非常困难。在这项工作中，我们提出了一个新的迭代模型，通过引入一个变量变换到一个（u，v）-平面，这大大改变了情况。作为一个很好的例子，我们可以比较（x，c）和（u，v）平面上周期为4的轨道方程。在后一种情况下，这个方程关于u是二次的，可以显式求解。在前一种情况下，相应的方程（x^{2}+ c）^{2}+ c）^{2}+c）^{2}+c-x）/（（x^{2}+c）^{2}+c-x）=0是12次的，因此求解起来要困难得多。
On the asymptotic quadratic growth rate of saddle connections and periodic orbits on marked flat tori
研究了平移环面上具有n个标志点的鞍形连接和周期柱族的渐近二次增长率。对于任何标记的存在极限的二次增长率显示使用初等方法（而不是拉特纳定理）。我们研究了作为标记函数的生长速率极限。我们给出了精确的公式，这个功能的情况下，两个标记点，并描述了集的增长函数是最大的和连续的在任何情况下。对于有理数的两个标记，我们使用两种不同的方法计算SL（2，Z）中的Veech群的指数。
Equidistribution of critical points of the multipliers in the quadratic family
二次多项式族$f_c(z)=z^2+c$中的参数$c_0\in\mathbb C$是周期$n$乘子的临界点，如果映射$f_{c_0}$具有周期$n$的周期轨道，其乘子被看作是$c$的局部解析函数，在$c=c_0$处具有消失导数。证明了周期$n$乘子的所有临界点均等分布在Mandelbrot集的边界上，即$n\to\infty$ .
Continuity of core entropy of quadratic polynomials
多项式的核熵是最近由W. Thurston是一个完全可以用组合术语定义的动力学不变量，为研究多项式的参数空间提供了一个有用的工具。核熵理论将实单峰映射的熵理论扩展到复多项式：实线段被一棵不变树所取代，称为哈伯德树，它位于填充的朱利亚集内。我们证明了二次多项式的核心熵作为外角的函数连续变化，回答了瑟斯顿的一个问题。
Non-bifurcation of critical periods from semi-hyperbolic polycycles of quadratic centers
本文考虑了$(\varepsilon,a)$参数化的鞍结\[ X= \frac{1}{xU_a(x,y)}\Big(x(x^μ-\varepsilon)\partial_x-V_a(x)y\partial_y\Big), \]在$\mathbb R^α,$的开子集$A$中用$\varepsilon\approx 0$和$a$展开，并研究了其中一个双曲扇区的Dulac时间$\mathcal T(s;\varepsilon,a)$.本文证明了（定理A）在$A.$的紧子集上，导数$\partial_s\mathcal T(s;\varepsilon,a)$作为$(s,\varepsilon)\to (0^+,0)$一致地趋向于$-\infty$。在这方面，我们证明（定理B），没有分支发生从某些半双曲多环。
Quadratic rational functions with a rational periodic critical point of period 3
本文给出了定义在周期为3的有理周期临界点的有理数上的二次有理函数的有理预周期点的可能图的一个完整的分类，其中有两个假设：这些函数没有周期至少为5的周期点，以及在某亏格为6的仿射平面曲线上的点的枚举.我们证明了恰好有六个这样的可能图，并且满足上述条件的有理函数最多有十一个有理预周期点。
There are not many periodic orbits in bunches for iteration of complex quadratic polynomials of one variable
本文针对所有二次多项式，证明了具有Cremer不动点或周期轨道的复二次多项式迭代的周期轨道簇数量有限，且两类几何压力一致，解答了前人的疑问。
Multipliers of periodic orbits of quadratic polynomials and the parameter plane
证明了二次映射吸引周期轨道乘子随参数变化的一个推广结果。这对Mandelbrot和朱利亚集的几何问题有应用。特别地，我们证明了周期为n的Mandelbrot集的双曲分支的p/q-分支的大小为O（4^n/p），并给出了相应的（唯一的）无限可重整二次多项式的朱利亚集不局部连通的内宗量的一个明确条件
About statistics of periods of continued fractions of quadratic irrationalities
在本文中，我们回答了V.I. Arnold，也就是说，我们研究了$x^2+p x=q$与整数$p$和$q$，$p^2+q^2\le R^2$形式的二次方程解的连分数的周期.我们的结果涉及周期元素和Gauss-Kuzmin统计量的平均和为$R\to\infty$。
Quadratic maps with a periodic critical point of period 2
我们提供了一个完整的分类可能的图的有理预周期点的自同态的投影线的度2定义在有理数与周期2的有理周期临界点，假设这些地图没有周期点的周期至少为7。我们解释如何扩展Poonen的结果二次多项式。我们发现，有13个可能的图，这样的地图有最多9个合理的preperiodic点。我们提供的数据与类似的分类图的自同态度2与合理的周期临界点的周期3或4。
(G,μ)- Quadratic Stochastic Operators
本文考虑了单形上二次随机（进化）算子的一个新子类，该算子的指标为有限的阿贝尔群G，遗传律为μ。借助于s（μ）-正规子群的概念，我们证明了几乎所有（w.r.t.\勒贝格测度）的轨迹收敛到一个唯一的不动点，这是中心的单纯形。我们还确定和描述的操作员的周期轨迹，并给出了规则性和周期性的条件。
Preperiodicity and systematic extraction of periodic orbits of the quadratic map
二次映射的迭代产生多项式序列，其次数{ \sl explode}随着轨道周期越来越大。混合所有335个周期为12的轨道的多项式具有次数$4020$，而对于$52,377$周期为20的轨道，次数已经上升到$1,047,540$。在这里，我们展示了如何使用预周期点系统地提取精确的运动方程，一个接一个，而不需要迭代。精确的轨道方程提供了有价值的洞察力的算术结构和嵌套性质的塔代数数定义的轨道点和分支级联的地图。
On Poonen's Conjecture Concerning Rational Preperiodic Points of Quadratic Maps
本文的目的是给出Poonen，Morton和Silverman关于二次多项式迭代下有理数的周期的证明.特别是，Poonen指出，有最多9个周期点定义的有理数的任何地图的家庭x^2 + c的c合理。我们在c值高达10^8的情况下验证了这一猜想。对于二次数域，我们证明了Q-有理数周期点的精确周期上界为6。
Mating non-renormalizable quadratic polynomials
本文证明了Basilica与位于M的1/2-分支之外的任何二次多项式的配对的存在唯一性，不可重正化，且没有任何非排斥周期轨道.
On periodic approximate solutions of dynamical systems with a quadratic right-hand side
本文针对右端为二次型的动力系统，研究具有$t$-对称性和可逆性（每步执行Cremona变换）的差分格式，分析近似解对周期性和Painlevé性质的继承性，在Sage中找到使近似解为周期$n$点序列的步长$Δt$值并给出例子与假设。
On the evolution of continued fractions in a fixed quadratic field
本文证明了在固定的二次域上，某些二次无理数序列的连分数展开的周期的统计量接近Gauss-Kuzmin测度给出的“正规”统计量.作为一个副产品，增长率的期间进行了分析，例如，它表明，对于一个固定的整数$k$和二次无理$\al$，$k^n\al$的连分数扩展的周期长度等于$c k^n +o(k^{(1-\frac{1}{16})n})$为一些积极的常数$c$。这改进了Cohn，Lagarias和Grisel的结果，并解决了Hickerson的一个猜想.这些结果是由本文的主要定理导出的，该定理建立了关于Hecke图中沿某些路径的单周期测地线的等分布结果。结果是有效的，并给出了收敛速度，主要工具是谱隙（矩阵系数的有效衰减）和$S$ -算术齐性空间上的动力学分析。
Effective equidistribution of semisimple adelic periods and representations of quadratic forms
本文证明了半单 adelic 闭轨道的有效等分布定理，并应用于整二次型表示，改进余维数假设并提供有效界。
Replacement dynamics of binary quadratic forms
研究二元二次型在替代动力学中的周期向量分类，揭示周期向量类型与单变量多项式动力学的关系，发现周期4和5的特殊类型。
On ergodicity of foliations on $\mathbb{Z}^d$-covers of half-translation surfaces and some applications to periodic systems of Eaton lenses
我们考虑由周期性的伊顿透镜图案在平面上定义的测地流，并发现其中的遍历。伊顿透镜上的遍历性结果来自于平面上的二次微分的结果，该平面上的二次微分是环面上的二次微分的拉回。遍历性本身的结论为$\mathbb{Z}^d$ -覆盖的二次微分的紧曲面上的消失李雅普诺夫指数。
Critical points of the multiplier map for the quadratic family
研究二次族中周期为n的周期轨道乘数函数的临界点，提出计算该函数临界点的数值算法，并计算n=1到10的临界点。
Pathways to hyperchaos in a three-dimensional quadratic map
研究三维二次映射中三个 Lyapunov 指数均为正的超混沌形成路径，揭示周期排斥子被吸引子吸收，并分析倍周期、准周期分岔及弱超混沌类流吸引子。
The criticality of reversible quadratic centers at the outer boundary of its period annulus
本文研究可逆二次中心\begin{equation*} X_{\np}=-y(1-x)\partial_x+(x+Dx^2+Fy^2)\partial_y, \end{equation*}的周期函数，其中$\np=(D,F)\in\R^2.$将向量场紧化为$\Sc^2$，周期环的边界有两个连通分量，中心本身和一个多圈.我们分别称它们为周期环的内边界和外边界。我们感兴趣的是多环$\out_\np$在外边界的临界周期轨道的分支。临界周期是周期函数的一个孤立的临界点。周期函数在外边界的临界性是$X_\np$的临界周期轨道的最大数量，这些轨道在豪斯多夫意义上趋向于$\out_{\np_0}$，作为$\np\to\np_0.$。我们的主要结果（定理A）表明，在外部边界的临界性是最多为2的所有$\np=(D,F)\in\R^2$以外的部分$\{-1\}\times [0,1]$和$\{0\}\times [0,2]$。关于从内边界的分叉，奇科内和雅各布斯在他们的开创性论文中证明了所有$\np\in\R^2.$的上界为2。在本文中，技术是不同的，因为当周期函数解析地延伸到中心时，它没有平滑地延伸到多圈。我们表明，周期函数有一个渐近展开附近的polycycle与其余部分是一致平坦的关于$\np$和其中的主要部分是给定的单式规模包含变形的对数。更准确地说，定理A通过获得四阶渐近展开式并计算其系数而得…
Orbital carriers and inheritance in discrete-time quadratic dynamics
给出了离散时间二次动力学中周期为$4$、$5$和$6$的{ \sl轨道载流子}的显式表达式。本文还报道了一个高达$k\leq 12$周期的{ \sl轨道遗传}的系统研究。继承意味着未知轨道可以通过已知轨道的非线性变换来获得。这种嵌套的{轨道分层内的\sl轨道}表明轨道不一定如通常假设的那样彼此独立。轨道分层对于重新排列原子物理学谱的现代半经典解释的迹公式中的轨迹和具有潜在的意义。随着轨道周期的增长，分层似乎占主导地位。
Moduli spaces of quadratic maps: arithmetic and geometry
我们建立了两个长期存在的开放问题之间的复杂动力学的影响。$n$阶Gleason多项式$G_n\in\mathbb{Q}[c]$的根包含具有$n$周期临界点的二次多项式的$0$维模空间. $\mathrm{Per}_n(0)$是$\mathbb{P}^1$上具有$n$ -周期临界点的二次有理映射的$1$ -维模空间.证明了若$G_n$在$\mathbb{Q}$上不可约，则$\mathrm{Per}_n(0)$在$\mathbb{C}$上不可约.为了做到这一点，我们展示了一个$\mathbb{Q}$ -有理光滑点的$\mathrm{Per}_n(0)$的投影完成，使用的容许覆盖完成的Hurwitz空间。相反，算术动力学中的一致有界猜想意味着对于足够大的$n$，$\mathrm{Per}_n(0)$本身没有$\mathbb{Q}$ -有理点。
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