Least action principles for incompressible flows and geodesics between shapes
作为V.I. Arnold在1960年代观察到，不可压缩流体流动的欧拉方程在形式上对应于一组保体积同态中的测地线方程。工作在欧拉框架，我们研究不可压缩流的形状作为关键路径的行动（动能）沿运输路径约束有特征函数密度。该问题的形式测地线方程是自由边界上压力和表面张力为零的不可压缩、无粘流体势流的欧拉方程。最小化该作用的问题表现出与微滴形成相关的不稳定性，并产生以下结果：任何两个等体积的形状都可以通过欧拉喷雾近似连接--椭圆体测地线的可计数叠加。作用量的下确界是沃瑟斯坦距离的平方，除了在一维中，几乎从未达到过。紧支撑的有界密度之间的每一条Wasserstein测地线提供了（可压缩）无压Euler系统的解，该系统是（不可压缩）Euler喷雾的弱极限。每一个这样的Wasserstein测地线也是唯一的最小的放松最小作用原理的两流体混合物理论对应于不可压缩流体与真空混合。
2018-06-07 math.AP
Optimal transport in competition with reaction: the Hellinger-Kantorovich distance and geodesic curves
我们讨论了有限非负测度空间上的距离的一个新概念，它可以看作是著名的Kantorovich-Wasserstein距离的推广。新的距离是基于由Onsager算子给出的动力学公式，该算子是描述质量的产生和吸收的Wasserstein扩散部分和附加反应部分的总和。我们提出了一个完整的表征的距离和它的性质。事实上，这个距离可以等价地用一个在锥空间上的最优输运问题来描述，这个锥空间是在基础度量空间上的。给出了测地曲线的一种构造方法，并讨论了它们的性质。
2015-10-02 math.AP math.MG
The Total Variation-Wasserstein Problem
本文研究全变差-Wasserstein极小化问题，改进Calier&Poon'18的最优性条件推导以增强相关量的正则性，并给出求解算法及两个数值实验。
2023-08-21 math.AP math.OC
Harmonic mappings valued in the Wasserstein space
本文给出了映射μ：Ω->（P（D），W2）的Dirichlet能量的定义，该映射μ：Ω->（P（D），W2）定义在R^p的一个子集Ω上，且取值于R^q的一个紧凸子集D上的概率测度空间P（D），该子集D具有二次Wasserstein距离.我们的定义依赖于Benamou-Brenier公式的直接推广（已经由Brenier引入），但也等价于Koorevaar，Schoen和Jost作为近似Dirichlet能量极限的定义，以及度量空间中值的索伯列夫空间的Reshetnyak的定义。我们研究调和映射，即在边界d Omega上的值固定的情况下狄利克雷能量的最小值。通过取R的一段作为Ω，恢复了Wasserstein空间中等速测地线的概念。由于Wasserstein空间（P（D），W_2）在Alexandrov意义下是正弯曲的，我们不能应用Koorevaar，Schoen和Jost的理论，而是使用基于最优输运的参数.在边值为Lipschitz的条件下，我们得到了调和映射的存在性，唯一性是一个公开问题.如果Ω是R的一段，则已知在Wasserstein空间P（D）中取值的曲线可以看作是在D中取值的曲线的叠加。我们证明了在更高的维度中不再是这样：一般映射Omega -> P（D）不能表示为映射Omega -> D的叠加。我们能够证明最大值原理的有效性：函数F：P（D）-> R沿广义测地线是凸的，调和映…
2019-05-28 math.AP
Optimality of the triangular lattice for a particle system with Wasserstein interaction
我们证明了强结晶结果在两个维度的能量，在嵌段共聚物的理论中出现。能量定义在点集及其权重上，或者等价地定义在原子测度集上。它由两个术语组成;首项是权重的平方根之和，第二项是原子测度和勒贝格测度之间的二次最优输运成本。我们证明了这个系统允许结晶在几个不同的方式：（1）能量是有界的从下面的能量的三角晶格（称为$\mathcal T$）;（2）如果能量等于$\mathcal T$的能量，则该度量是$\mathcal T$的旋转和平移副本;（3）如果能量接近于$\mathcal T$的能量，则该测度局部地接近于$\mathcal T$的旋转和平移的副本。这三个结果要求域是最多有六条边的多边形。第四个结果指出，能量的$\mathcal T$可以实现在大域的限制，域与任意边界。校样使用三种成分。首先，最优输运成本将每个点与一个多边形单元相关联;能量可以由仅取决于该单元的函数的所有单元的总和从下面限定。其次，该函数具有凸下界，在$\mathcal T$处是尖锐的。第三，欧拉多面体公式将多边形单元的平均边数限制为6，其中6是对应于三角形晶格的数。
2013-11-07 math.AP math.OC
Metric viscosity solutions and distance-like functions on the Wasserstein space
本文将黎曼流形上eikonal方程的粘性解理论推广到度量空间，重点研究Wasserstein空间Pp(X)上的度量粘性解与类距离函数的关系，并给出两种构造强度量粘性解的方法。
2025-01-01 math.AP
Gradient flow formulation of diffusion equations in the Wasserstein space over a metric graph
本文对度量图上的最优输运的研究有两个贡献。首先，我们证明了一个Benamou-Brenier公式的Wasserstein距离，建立了静态和动态最优输运的等价性。其次，在Jordan-Kinderlehrer-Otto的精神下，我们证明了McKean-Vlasov方程可以表示为概率测度的Wasserstein空间中自由能的梯度流。这些结果的证明是基于仔细的正则化参数，以规避度量图中出现的一些困难，即分支的测地线和失败的半凸熵泛函在Wasserstein空间。
2022-04-29 math.AP math.MG math.PR
Transport type metrics on the space of probability measures involving singular base measures
本文在定义域$X \subseteq \mathbb{R}^m$上的概率测度$\mathcal P(X)$的集合上发展了一个度量理论，我们称之为基于$ν$的Wasserstein度量，记为$W_ν$.这个度量是基于广义测地线的概念相对于一个基本措施$ν$略有改进，特别是当$ν$是奇异的情况下，相对于$m$维勒贝格措施，它也是密切相关的线性化最佳运输的概念。$ν$为基础的Wasserstein度量定义的迭代变分问题，涉及最佳运输到$ν$，我们还描述了它在经典的Wasserstein距离之间的条件概率和通过限制某些多边际最佳运输问题的积分。当我们改变基测度$ν$时，基于$ν$的Wasserstein度量在通常的二次Wasserstein距离和与当$ν$充分正则时获得的唯一定义的广义测地线相关联的度量之间插值。当$ν$集中于$\mathbb{R}^m$的一个低维子流形时，我们证明了基于$ν$的Wasserstein距离定义中的变分问题有唯一解.我们建立测地凸的通常类的泛函和一组源措施$μ$，使$μ$和$ν$之间的最佳运输满足广义嵌套条件的加强介绍了\cite{McCannPass20}。最后，我们介绍了轻微的变化的对偶度量上述为了证明收敛的迭代方案，以解决变分问题中出现的博弈论。
2022-09-15 cs.NA math.AP math.NA
Sharp Harmonic-Mean Bounds for Neumann Eigenvalues on Riemannian Surfaces and Counterexamples to Geodesic Ball Optimality on Higher-Dimensional Spheres
本文证明在满足曲率上界和面积条件的共形度量下，Neumann特征值调和平均下界由测地圆盘达到，且等号仅当等距时成立，从而完成Langford--Laugesen猜想。
2026-09-29 math.AP
Self-Intersection of Optimal geodesics
设$(X,d,m)$是测地度量测度空间.考虑$L^{2}$ -Wasserstein空间中的测地线$μ_{t}$。然后，当$s$变为$t$时，$μ_{s}$的支撑和$μ_{t}$的支撑必须重叠，只要密度上的上界保持不变。我们给出了一个更精确的制定这个自相交属性。我们认为每个$t$的一组时间的测地线属于支持的$μ_{t}$，我们证明了$t$是一个点的勒贝格密度为1，在积分意义上。我们的结果适用于满足$\mathsf{CD}(K,\infty)$的空间。不需要非支化性质。
2013-06-12 math.AP math.MG
{ Euclidean, Metric, and Wasserstein } Gradient Flows: an overview
这是一个暂时的文件理论的梯度流，特别是那些偏微分方程可以解释为梯度流的Wasserstein度量空间的概率测度（一个距离引起的最优输运）。出发点是欧几里德理论，然后将其推广到度量空间，根据工作的安布罗西奥，吉利和萨瓦尔{é}。然后是对瓦瑟斯坦理论的独立阐述，简要介绍了所需的最优输运工具和测地凸性的概念，然后是对乔丹-金德勒赫-奥托方案的精确描述，并证明了在最简单的情况下的收敛性：线性福克-普朗克方程。本文还讨论了其它梯度流偏微分方程和基于这些思想的数值方法。本文最后介绍了Ambrosio，Gigli，Savar{é}，Kuwada和Ohta的一个新的理论发展：度量测度空间中热流的研究。
2016-09-13 math.AP math.DS
Improved geodesics for the reduced curvature-dimension condition in branching metric spaces
本文证明了在满足约化曲率维数条件CD*（K，N）的度量测度空间中，对于中间时刻，在满足CD*（K，N）的临界凸性不等式的概率测度的Wasserstein空间中总是存在测地线，并且沿着这些测地线的测度的密度有一个上界.这个上界依赖于端点测度的密度的界、Ricci曲率的下界K、维数的上界N以及端点测度的支集的并集的直径。
2012-02-29 math.AP math.DG math.FA
Geodesics for a class of distances in the space of probability measures
本文研究了由Dolbeault，Nazaret和Savar e引入的一类概率测度之间距离的测地线的特征。我们首先证明了势函数的存在，然后给出了必要且充分的最优性条件，该条件采用偏微分方程的耦合系统的形式，在某种程度上类似于Lasry和Lions的均值场博弈系统。我们还考虑了一个等价的配方中的一组概率测度曲线。
2012-04-11 math.AP math.OC
Transport distances and geodesic convexity for systems of degenerate diffusion equations
我们引入Wasserstein的动态传输距离之间的向量值的密度在真正的线。标量理论中的迁移率函数被迁移率矩阵取代，该矩阵服从正性和凹性条件。我们的主要动机是将某些非线性抛物型发展方程系统投入到梯度流的变分框架中。在论文的第一部分，我们研究了新的距离类的结构性质，如测地完备性。第二部分主要讨论了$λ$ -测地凸泛函及其$λ$ -压缩梯度流的识别问题。其中一个结果是内能的测地凸性的广义McCann条件。第三部分研究了一类具有漂移的退化扩散方程组的弱解的存在性。即使潜在的能量函数不是测地线凸的。我们的新距离，一个弱解的建设仍然是可能的使用deGiorgi的最小化运动计划。
2014-10-08 math.AP
On Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations in the Wasserstein space and the Vanishing Viscosity Limit
Università di Padova（帕多瓦大学）
本文研究了Wasserstein空间中Hamilton-Jacobi方程的粘性解及其粘性消失极限，提出了统一框架并证明了最优收敛速率。
2026-01-21 math.AP math.MG math.OC
The Monge Problem for distance cost in geodesic spaces
我们解决了度量空间中具有测地距离的Monge问题：（X，d）是一个Polish空间，dL是一个测地Borel距离，它使得（X，dL）成为一个无分支的测地空间.我们表明，在假设测地线是d-连续和局部紧的，我们可以减少运输问题的一维运输问题沿测地线。本文对运输问题π引入了两个假设，即每个测地线上第一边缘点的条件概率是连续的或绝对连续的.由dL引起的一维Hausdorff距离。已知这种规律性对于构造运输图是足够的。我们还研究了动态的运输沿测地线，我们的条件的稳定性，并表明，在这种设置DL-循环单调性是不够的最优性。
2011-03-14 math.AP math.PR
Interpolated measures with bounded density in metric spaces satisfying the curvature-dimension conditions of Sturm
我们在概率测度的Wasserstein空间中构造测地线，沿着该测地线，所有测度的密度都有一个由测地线端点的密度决定的上界。使用这些测地线，我们表明，一个局部Poincaré不等式和措施的收缩性质遵循的里奇曲率界定义的Sturm。我们还证明了一个大类的凸泛函，一个局部Poincaré不等式隐含的功能的弱位移凸性。
2011-11-23 math.AP math.DG math.FA
Absolutely continuous and BV-curves in 1-Wasserstein spaces
本研究将p-Wasserstein空间绝对连续曲线的叠加原理推广到p=1情形，引入BV曲线放宽提升概念并证明其可由对应概率测度表示，还将结果应用于离散场景的测地线与连续性方程研究。
2023-12-16 math.AP math.FA math.MG
