赋范空间中的低次极小生成树

Combinatorial distance geometry in normed spaces

We survey problems and results from combinatorial geometry in normed spaces, concentrating on problems that involve distances. These include various properties of unit-distance graphs, minimum-distance graphs, diameter graphs, as well as minimum spanning trees and Steiner minimum trees. In particular, we discuss translative kissing (or Hadwiger) numbers, equilateral sets, and the Borsuk problem in normed spaces. We show how to use the angular measure of Peter Brass to prove various statements about Hadwiger and blocking numbers of convex bodies in the plane, including some new results. We also…

有限维赋范空间中的局部Steiner问题

The local Steiner problem in finite-dimensional normed spaces

本文给出了有限维赋范空间中某些星形构形是Steiner极小树的一般证明方法。这种方法推广了Lawlor和Morgan（1994）的结果，这些结果只能应用于可微范数。推广使用次微分从凸分析。我们将这种方法应用于两个特殊的规范。第一个规范，发生在工作的Cieslik，有单位球极的差异机构的n-单纯形（在三维这是菱形十二面体）。我们确定在这个标准的Steiner最小树中的一个给定点的最大程度。证明中主要利用了极值有限集理论。第二个范数出现在Mark Conger（1989）的工作中，是ell_1-范数与ell_2范数的小倍数之和。对于第二个范数，我们确定Steiner点的最大度。

Uniquely realisable graphs in analytic normed planes

A bar-joint framework $(G,p)$ in the Euclidean space $\mathbb{E}^d$ is globally rigid if it is the unique realisation, up to rigid congruences, of $G$ in $\mathbb{E}^d$ with the edge lengths of $(G,p)$. Building on key results of Hendrickson and Connelly, Jackson and Jordán gave a complete combinatorial characterisation of when a generic framework is global rigidity in $\mathbb{E}^2$. We prove an analogous result when the Euclidean norm is replaced by any norm that is analytic on $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. More precisely, we show that a graph $G=(V,E)$ is globally rigid in a non-Euclidean…

树的几何嵌入的通用阈值

A universal threshold for geometric embeddings of trees

研究提出树在规范空间中嵌入的通用阈值，表明最大度数受限的树可嵌入高维空间，而完整树则无法嵌入低维空间，与谱扩张器和随机图形成对比。

几何Steiner极小树的凸体和顶点度的定量照明

Quantitative illumination of convex bodies and vertex degrees of geometric Steiner minimal trees

本文证明了K引入的关于d维赋范空间单位球的定量光照参数f（d）的两个结果。Bezdek（1992年）。时间复杂度为O（2^d^2 log d）。第二个是Steiner极小树。设v（d）是d维赋范空间中Steiner极小树中顶点的最大度，s（d）是Steiner点的最大度，其中两个最大值都在所有范数上。F. Morgan（1992）证明了s（d）≤ 2d，D. Cieslik（1990）证明了v（d）<= 2（2^d-1）。我们证明了s（d）<= v（d）<= f（d），结合f（d）的上述估计，改进了以前最好的已知上界v（d）< 3^d.

关于类度量空间的最小生成树

On minimum spanning tree-like metric spaces

我们试图通过专注于一种不使用四点条件的方法来阐明“树状”度量空间的概念。我们的关键问题是：给定$n$点上的度量空间$M$，什么时候在相同的$n$顶点上存在一个完全标记的正加权树$T$，它使用其最短路径度量精确地实现了$M$？我们证明了，如果一个生成树表示，$T$，$M$存在，那么它是同构的唯一的最小生成树的加权完全图与$M$，我们引入了第四点的条件是必要的和充分的，以确保$T$的存在时，每个距离在$M$是唯一的。换句话说，一个有限的中值图，其中每个测地线距离是不同的，只是一棵树。假设平局打破假设成立，第四点条件用作测量最小生成树与$M$的拟合优度的标准，即，$M$的生成树相似性。还可以评估$M$的生成路径相似性。这些量可以分别以$O(n^4)$和$O(n^3)$时间测量。