Counting Labeled Threshold Graphs with Eulerian Numbers
一个阈值图是任何可以从空图中通过重复添加一个新的顶点来构造的图，该新的顶点要么与每个顶点相邻，要么不与任何顶点相邻。欧拉数$\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{n}{k}$计算大小为$n$且恰好为$k$上升的排列数。Implanted Beissinger和Peled证明了$n\ge 2$顶点上的标号阈值图的个数为\[\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{n-1}{k-1}2^k.\]，并利用生成函数进行了证明.我们给出了这个结果的一个直接的组合证明。
2020-05-22 math.CO
Raney numbers, threshold sequences and Motzkin-like paths
我们提供了新的解释的一个子集的Raney数，涉及阈值序列和Motzkin般的路径与长的上下步骤。给定三个整数n，k，l使得n >= 1，k >= 2且0 <= l <= k-2，长度为n的（k，l）-门限序列是任意严格递增序列S=（s_1s_2. s_n），使得ki <= s_i <= kn+1。这些序列与k元树的有序（l+1）元组是双射的。我们证明了这一结果并确定了计算（k，l）阈值序列的阮尼数。因此，当k=2和k=3时，我们推导出包含Catalan数和2的幂的组合恒等式，以及分别包含Fuss-Catalan数和Raney数的组合恒等式。最后，我们展示了如何将阈值序列表示为具有长的向上和向下步骤的Motzkin类路径，并推导出这些路径由相同的Raney数枚举。
2021-09-11 math.CO
An improved dimensional threshold for the angle problem
Falconer相异距离问题要求一个紧集$E\subset\mathbb{R}^d$，它的豪斯多夫维数需要多大，以确保它的距离集的勒贝格测度是正的。在本文中，我们考虑类似的问题的角度集。证明了若$E$的豪斯多夫维数严格大于$\frac{d}{2}$，则角集的勒贝格测度为正.在平面上，这一结果是以前建立的Harangi等人。在更高的维度，我们的指数提高了$\frac{d+1}{2}$阈值先前获得的作者本文和Mihalis的Goglou。我们不知道在更高维度中正确的维度阈值应该是多少。
2019-11-12 math.CA math.CO
The minimum number of distinct eigenvalues of a threshold graph is at most $4$
该研究证明阈值图的不同特征值最小数量不超过4，且对任意阈值图与非零实数λ，可显式构造关联矩阵使其谱集包含于{-λ,0,λ,2λ}。
2025-05-19 math.CO
The Number of Threshold Words on $n$ Letters Grows Exponentially for Every $n\geq 27$
对于每一个$n\geq 27$，我们表明，$n/(n-1)^+$ -免费的话（即，在$n$字母上长度为$k$的阈值字）在$k$中呈指数增长。这解决了所有，但1000例猜想的Ochem。
2019-11-13 cs.DM math.CO
Graded Expectations: Betti numbers and anti-lecture hall compositions of random threshold graphs
本文研究了多项式环的门限图、多项式环的$2$ -线性理想的乘积的贝蒂数和反讲堂合成之间的一一对应关系。特别是，我们建立新的明确的组合映射这些类的对象之间的期望值的贝蒂数和反讲堂组成对应的随机阈值图计算。
2021-02-02 math.AC math.CO
On the minimum number of distinct eigenvalues of a threshold graph
对于一个图$G$，我们关联一个家庭的实对称矩阵，$S(G)$，其中任何$A\in S(G)$，$A$的非零非对角项的位置由$G$的邻接结构。令$q(G)$是$S(G)$中所有矩阵上不同特征值的最小数目。本文给出了具有$q(G)=2$的所有连通阈值图$G$的一个刻画.此外，我们还研究了迹为$2$，$3$，$n-2$，$n-3$的连通阈值图的$q(G)$的值，其中$n$是阈值图的阶.除了两个例外，对于具有$7$和$8$顶点的所有连通阈值图，确定$q(G)$的值。最后给出了全连通阈值图$G$上$q(G)$的一个精确上界.
2021-10-19 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
On the minimal teaching sets of two-dimensional threshold functions
George Washington University（乔治华盛顿大学）；Lobachevsky State University（罗巴切夫斯基国立大学）；Higher School of Economics（高等经济学院）
已知二维矩形网格上任意门限函数的最小示教集由3或4个点组成。我们推导出精确的公式对应于这些值的函数的数量，并进一步完善它们的情况下，最小的教学集的大小为3。我们还证明了门限函数的最小示教集的平均基数是渐近的7/2。我们进一步提出这些结果的推论，涉及一些特殊的安排线在平面上。
2014-07-19 cs.LG math.CO math.NT
The integer homology threshold in $Y_d(n, p)$
本文证明了在$d$维Linial-Meshulam随机过程中，当最终孤立的$(d - 1)$维面被顶维面覆盖时，整系数的$(d - 1)$第一同调群恰好为零.这推广了$d = 2$的情况下，最近证明了由Rumuczak和Peled，并建立了$p = \frac{d \log n}{n}$是尖锐的阈值同源性与整系数消失在$Y_d(n, p),$回答2003年的问题Linial和Meshulam。
2018-08-31 math.AT math.CO math.PR
Threshold numbers of some graphs
本文研究图的阈值数，先确定线性森林、梯子和帐篷等路径相关图的阈值数，再基于已有结果给出完全多部图与团簇图并集的精确阈值数，解决了 Sumalroj 提出的问题。
2024-10-09 math.CO
Rigorous Confidence Intervals on Critical Thresholds in 3 Dimensions
本文将Balister，Bollobás和Walters的方法推广到三维格点，并给出了二维格点临界阈值的严格置信区间.我们描述了一种方法，用于确定一个完整的置信区间，并将其应用于表明，键渗流的临界阈值在简单立方晶格是0.2485和0.2490之间的99.9999%的置信度，和网站渗流的临界阈值在同一个晶格是0.3110和0.3118之间的99.9999%的置信度。
2013-12-02 math.CO math.PR stat.ME
Distinguishing threshold for some graph operations
图$G$的一个顶点染色是可区别的，如果非单位自同构不保持它，可区别数$D(G)$是这样一个染色所需的最小颜色数，可区别阈值$θ(G)$是使得任意$k$ -染色是可区别的最小颜色数~ $k$.此外，$Φ_k (G)$是最多使用$k$颜色的$G$的区别着色数。本文利用$Φ_k (G)$给出了图的顶点和、根积、冠积、字典积等运算的可区分数和阈值的计算公式。
2022-12-16 math.CO
Multithreshold multipartite graphs with small parts
一个图是一个$k$ -阈值图与阈值$θ_1, θ_2, \dots, θ_k$，如果我们可以分配一个实数$r_v$给每个顶点$v$，使得对于任何两个不同的顶点$u$和$v$，$uv$是一条边当且仅当不超过$r_u+r_v$的阈值的数量是奇数。一个图的阈值数是它是一个$k$ -阈值图的最小$k$。多阈值图是由Jamison和Sprague作为经典阈值图的推广而提出的。他们要求完全多部图的精确阈值数。最近，Chen和Hao解决了每个部分都不太小的完全多部图的问题，并且他们要求每个部分都有大小PDMATHAMT的情况。我们确定了$K_{3, 3, \dots, 3}$、$K_{4, 4, \dots, 4}$及其互补物$nK_3$、$nK_4$的精确阈值数。这改善了Puleo的结果。
2022-12-01 math.CO
A note on the threshold numbers of cycles
本文确定了圈的阈值数：$C_3$为1，$C_4$为2，$C_n(n\ge5)$为4，通过构造和证明给出了精确结果。
2024-08-05 math.CO
Minimum degree thresholds for bipartite graph tiling
对于任何二部图$H$，我们确定了平衡二部图$H$包含完美$H$ -平铺的最小度阈值.我们表明，这个阈值是最好的可能的常数仅取决于$H$。此外，我们证明了一个相应的最小度阈值，以保证$G$有一个$H$ -平铺只缺少一个常数数量的顶点。我们的阈值为完美的瓷砖取决于色数$χ(H)$或临界色数$χ_{cr}(H)$，而几乎完美的瓷砖的阈值只取决于$χ_{cr}(H)$。我们的结果回答了赵的两个问题。它们可以被看作是Kuhn和Osthus以及Shokoufandeh和Zhao的结果的二分类似物。
2014-10-16 math.CO
Black-and-white threshold graphs
设k为自然数。我们引入了k-阈值图。我们证明了对于每个自然数k，存在一个O（n^3）的算法来识别k-阈值图. k-阈值图的特征在于有限的禁止诱导子图的集合。对于k=2的情形，我们用禁止诱导子图刻画了划分的2-阈值图.我们引入限制，和特殊的2-阈值图。我们用禁止诱导子图刻画了这两类图。限制2-阈值图与阈值图的切换类一致。这为阈值图的切换类提供了一个分解定理。
2011-04-20 cs.DS math.CO
Chamber geometry and specification numbers of Boolean threshold functions
Department of Mathematics, London School of Economics（伦敦经济学院数学系）
本文通过中心超平面排列的室几何解释布尔阈值函数的规范数，证明平均规范数为Θ(n)，并解决了Gutekunst等人提出的问题。
2026-06-28 cs.DM cs.LG math.CO
On the Mixing Time of Geographical Threshold Graphs
本文研究了随机几何图（RGG）的推广--地理阈值图（GTG）模型生成的$d$ -维环面单位立方体$[0,1]^d$中随机图的混合时间。在GTG中，节点分布在欧几里得空间中，并且根据涉及节点之间的距离以及从某种分布中随机选择的节点权重的门限函数来分配边。GTG的连通性阈值与RGG的连通性阈值相当，基本上对应于$r=(\log n/n)^{1/d}$的连通性半径。然而，在这个阈值下的度分布是完全不同的：在RGG中，度基本上是均匀的，而RGG具有依赖于权重分布的异质度。本文研究了$d$维GTG上随机游动在$d \geq 2$连通性阈值附近的混合时间.如果对于任意小的常数$ν>0$，权重分布函数以$\mathbb{P}[W \geq x] = O(1/x^{d+ν})$衰减，则GTG的混合时间为$\mixbound$。这与$d$维RGG的已知混合边界相匹配。
2011-09-20 cs.DM math.CO math.PR
Specifying a positive threshold function via extremal points
正阈值布尔函数$f$的极值点要么是最大值零，要么是最小值零。已知的是，如果$f$依赖于它的所有变量，则它的极值点的集合在门限函数的域中完全指定$f$。但是，在某些情况下，$f$可以由较小的集合指定。这样的集合中的最小点数是$f$的规格号。它在[S]中显示。T.胡阈值逻辑，1965]，$n$变量的门限函数的规格号至少是$n+1$。在[M. Anthony，G. Brightwell和J. Shawe-Taylor。用标号例子说明布尔函数。离散应用数学，1995年]，证明了这一界限是达到嵌套的功能，并证明了所有其他门限函数的规格数严格大于$n+1$。在本文中，我们解决了这个猜想否定展示阈值布尔函数的$n$变量，这是非嵌套的，其规格编号为$n+1$。另一方面，我们证明了极值点集满足猜想的陈述，即，依赖于其所有$n$变量的正阈值布尔函数具有$n+1$极值点当且仅当它是嵌套的。为了证明这一点，我们揭示了极值点集的基本结构。
2017-06-06 cs.DM math.CO
The threshold for collapsibility in random complexes
本文确定了$d$ -维单纯复形的概率模型$X_d(n,p)$的可解性阈值。在\cite{ALLM}中确定了该阈值$p=\frac{c_d}{n}$的下界。在这里，我们证明这确实是正确的阈值。也就是说，对于每一个$c>c_d$，从$X_d(n,\frac{c}{n})$得到的复形几乎肯定是渐近不可塌缩的。
2013-07-10 math.CO math.PR
Topology of random 2-dimensional cubical complexes
我们研究了随机二维立方复形的自然模型，它是一个n维立方体的子复形，并且其中每个可能的正方形$2$ -面都以概率p独立地包含在内。我们的主要结果是，作为$n \to \infty$，其同调消失有一个尖锐的阈值p=1/2。这是一个二维模拟的Burtin和Erdwords-Spencer定理表征连通性阈值的随机立方图。我们的主要结果也可以看作是随机二维单纯复形的Linial-Meshulam定理的一个立体对应。然而，这些模型表现出截然不同的行为。我们证明了，如果$p > 1 - \sqrt{1/2} \approx 0.2929$，那么高概率的基本群是一个自由群，每个最大的$1$维面有一个生成元。作为推论，即使在强“击中时首中时“意义下，同源消失和简单连通性也具有相同的阈值。这与单纯情况相反，单纯情况下阈值相距很远。证明依赖于一个迭代算法的收缩周期-我们表明，具有高概率的算法迅速，大大简化了基本群，收敛后，只有几个步骤。
2020-09-17 math.AT math.CO math.PR
Singularity of $\{\pm 1\}$-matrices and asymptotics of the number of threshold functions
建立了关于门限函数$P(2, n)$个数和随机$n\times n$ Bernoulli矩阵奇异概率${\mathbb P}_n$的两个结果。我们引入了定义在${\bf RP}^n,$有限子集上的一个超模函数$η^{\bigstar}_n : 2^{{\bf RP}^n}_{fin} \to \mathbb{Z}_{\geq 0},$，它使我们能够得到${\mathbb P}_{n+1}.$的一个下界，这个下界与L.Schläfli著名的上界一起，给出了$$P(2, n) \thicksim 2 {2^n-1 \choose n},\quad n\to \infty.$$的渐近性。同时，证明了关于${\mathbb P}_n$的一个长期猜想的正确性：$$\mathbb{P}_n \thicksim (n-1)^22^{1-n}, \quad n\to \infty .$$
2021-10-31 math.AT math.CO math.PR
