The Complete Lattice of Erdős-Menger Separations
F. Escalante和T. Gallai在70年代研究了一个（可能是无限的）图中的顶点对之间的不同类型的分离和切割的结构。他们的一个结果是，如果有一个有限的分离，那么最佳（即最小尺寸）分离形成一个有限的分配格关于一个自然偏序。此外，任何有限分配格都可以用这种方式表示。如果没有有限的分离，那么基数是一个过于粗略的衡量标准，无法捕捉到“最优”。门格尔定理提供了最优性的结构特征，如果存在有限分离。我们使用这个特征来定义Erdens-Menger分离，即使没有有限分离。将门格尔定理推广到无限图（直到2009年才出现）确保了Erdens-Menger分离总是存在的。我们证明了它们相对于Escalante给出的偏序形成一个完全格，并且每个完全格都可以这样表示。
2019-04-12 math.CO
Bottlenecking in graphs and a coarse Menger-type theorem
本文扩展瓶颈化概念并提出粗化瓶颈化，据此证明粗化Menger型定理并提出粗化Erdős-Menger型猜想，为图的连通性粗化度量提供新路径。
2024-10-22 math.CO math.MG
A counterexample to the coarse Menger conjecture
本研究针对粗粒度Menger猜想，通过构造反例证明当要求路径两两距离至少为$d$时，该猜想对所有$k\ge 3$（即使图最大度不超过3）均不成立，并给出了$k=2$时结论的更简洁证明。
2025-01-15 math.CO
The Lovász-Cherkassky theorem in infinite graphs
本文在无限图背景下，将Lovász-Cherkassky定理推广到“内欧拉”设置中边不相交$ T $-路径的打包问题，延续Erdős-Menger猜想的无限推广思路。
2023-11-11 math.CO
The Lovász-Cherkassky theorem in countable graphs
Lovász和Cherkassky在20世纪70年代独立地发现，如果$ G $是一个有限图，具有给定的终端顶点集合$ T $，使得$ G $是内欧拉的，那么连接$ T $中不同顶点的边不相交路径的最大数量是$ \sum_{t\in T}λ(t, T-t) $，其中$λ$是局部边连通度函数。在Lovász-Cherkassky定理中，边不相交的$ T $ -路系统的最优性可以通过门格尔定理证明某些截集的存在性。Aharoni和Berger对门格尔定理的无限推广（早期被称为Erdens-Menger猜想）以及Nash-Williams对无限欧拉图的刻画使得有可能以结构化的方式将该定理推广到无限图。本文的目的是制定这一推广，并证明它的可数图。
2021-12-13 math.CO
Vertex-flames in countable rooted digraphs preserving an Erdős-Menger separation for each vertex
由Lovász的一个定理得出，如果$ D $是一个有$ r\in V(D) $的有限有向图，则存在$ D $的一个生成子有向图$ E $，使得对于每个顶点$ v\neq r $，以下量相等：$ D $中从$ r $到$ v $的局部连通度，$ E $中从$ r $到$ v $的局部连通度，以及$ E $中$ v $的入度。在无限组合学中，基数往往是一个过于粗糙的度量，以获得深入的结果，它更富有成效的是捕捉结构性质，而不仅仅是某些数量之间的等式。最著名的例子是门格尔定理对无限有向图的推广。我们以这种精神推广了上面Lovász的结果。我们的主要结果是：每一个可数的$ r $-根有向图$ D $都有一个生成子有向图$ E $，它具有以下性质.对于每个$ v\neq r $，$ E $包含内部不相交的$ r\rightarrow v $路径的系统$ \mathcal{R}_v $，使得$ E $中的$ v $的进入边缘恰好是$ \mathcal{R}_v $中的路径的最后边缘。此外，路径系统$ \mathcal{R}_v $在$ D $中是"大"的，在Erdens-Menger意义上，即，可以从$ \mathcal{R}_{v} $中的每条路径中选择边或内部顶点，以这样的方式，得到的集合将$ D $中的$ v $与$ r $分开。
2019-11-06 math.CO
Asymptotic structure. IV. A counterexample to the weak coarse Menger conjecture
本文针对粗图论中Menger定理的弱粗类似物猜想，构造反例证明即使c=k=3且对任意ℓ、m，不存在满足条件的小集合X，否定了该热门开放问题。
2025-08-20 math.CO
A coarse Menger theorem for hyperbolic graphs, finitely presented groups, and more
Institute of Mathematics, Leipzig University（莱比锡大学数学研究所）
针对粗Menger性质不普遍成立的反例，证明若图的圈空间由有界长度圈生成，则满足粗Menger性质，并推广到双曲图、有限表示群的Cayley图等。
2026-06-23 math.CO math.GR math.MG
Generalization of Menger's Edge Theorem to Four Vertices
门格尔边定理证明了无向图中两个顶点之间存在$k$成对边不交路当且仅当删除任意$k-1$或更少的边不会断开这两个顶点。可替换地，存在具有$\mathbb{F}_2$中的系数的边的$k$成对求和-不相交的形式和，当且仅当在删除任何$k-1$或更少的边之后，仍然存在具有$\mathbb{F}_2$中的系数的边的形式和，其被边界映射映射到$A+B$，其中的每一个被边界映射映射到顶点$A$和$B$的和。我们将这个结果推广到四顶点$A,B,C,D$。本文证明了在一个无向图中，当所有不同于$A,B,C,D$的顶点都是偶数度时，下列两个命题是等价的：存在$\mathbb{F}_2$中系数边的$k$两两和不交形式和，每一个边都由边界映射映射到$A+B+C+D$ ;在删除任何$k-1$或更少的边之后，仍然存在具有$\mathbb{F}_2$中的系数的边的形式和，其由边界映射映射到$A+B+C+D$。等价地，如果在删除任何$k-1$或更少的边之后，四个顶点$A,B,C,D$可以被分成两对顶点，并且每对中的两个顶点然后可以通过路径连接，使得这两个路径是边不相交的，则这四个顶点$A,B,C,D$可以被$k$次分割成两对顶点，并且这些$2k$对中的每一个中的两个顶点然后可以通过路径连接使得所有这些$2k$路径是成对边缘不相交的。
2022-04-04 math.CO
Path spaces I: A Menger-type result
无限图是有限的，因为它们的点是通过有限路连接的。那么，有限图的无限推广会是什么样子呢？通常这个问题是回答的帮助下的拓扑结构，例如在案件的图形空间。在这里我们引入一个更组合的答案，我们称之为路空间，并证明了一个版本的门格尔定理.由于有许多拓扑路径类对象诱导道路空间，这个结果可以应用在各种设置.
2020-07-19 math.CO math.GN
The tropical Cayley-Menger variety
Cayley-Menger簇是指定$\mathbb{R}^d$中的$n$点之间的成对平方距离的向量集的Zerkki闭包。这种多样性是刚性理论中代数方法的基础。我们研究了凯莱-门格尔品种的热带化。特别地，当$d = 2$时，证明了它是$n$上的超度量集与自身的Minkowski和，并描述了它的多面体结构.然后，我们给一个新的，热带，证明拉曼定理。
2019-12-04 math.AG math.CO
A Menger-type theorem for two induced paths
该研究提出了关于图中两条导出$X-Y$路径的近似Menger型定理，证明存在线性阶函数$f(d)$，刻画了图中要么存在距离不小于$d$的两条$X-Y$路径，要么存在半径为$f(d)$的球与所有$X-Y$路径相交的二分性质，拓展了Menger定理的适用场景。
2024-02-03 cs.DM math.CO
Menger's Theorem for Temporal Paths (Not Walks)
本文研究了时序图中基于时序路径（而非游走）的连通性与鲁棒性问题，探讨了顶点不相交、严格与非严格等不同设定，证明了当时序顶点不相交时序路径最大数量为1时Menger定理成立。
2025-10-14 cs.DM math.CO
Generalization of the Menger's Theorem to Simplicial Complexes and Certain Invariants of the Underlying Topological Spaces
我们将经典的无向图的门格尔定理推广到域$\mathbb{F}_2$上具有链的$n$维单纯复形.经典的门格尔定理指出，无向图中的两个不同的顶点可以通过$k$成对边不交路连接，当且仅当在从图中删除任何$k-1$边之后，仍然存在连接这两个顶点的路。引入了$\mathbb{F}_2$上$n$维单纯复形中$(n-1)$维圈的$k$-有界性的概念，它是无向图中经典的$k$ -边连通性概念的推广.对于$n=1$情形，无向图中$0$维圈的有界性（$k$ -boundance）是用圈与边界语言表述的顶点对的边连通性（$k$ -edge-connectivity）的经典概念的推广.利用$k$ -有界性的概念，我们证明了在$\mathbb{F}_2$上的$n$ -维单纯复形中的非平凡$(n-1)$ -维循环是$k$成对不相交的$n$ -维链的边界，当且仅当从该复形中删除任何$k-1$ $n$ -维单纯形后，其中仍然保留一些$n$ -维链，这个$(n-1)$维循环是其边界。在我们的最后一节中，我们重申了原来的门格尔定理和我们的推广$k$ -有界在$n$维，在底层拓扑空间。因此，无向图中一对点的$k$ -边连通性实际上是拓扑空间中对应的一对点的拓扑性质，是该图的基础。类似地，$(n-1)$维循环的$k$有界性是拓扑子空间的拓扑性质，其在该$(n-1)$维循环之下，在拓扑空间中，其在$n$维单纯复形之下。
2021-11-18 math.CO math.GT math.KT
On Induced Versions of Menger's Theorem on Sparse Graphs
本文研究了稀疏图上 Menger 定理的导出版本，证明了在有界度图和排除拓扑子式的图中存在两两反完备的顶点不相交路径或顶点分离集的界，并指出在退化性为 2 且围长任意大的图上无此关系。
2023-09-15 cs.DS math.CO
A coarse Menger's Theorem for planar and bounded genus graphs
University of Warsaw（华沙大学）
本文研究了平面图和有限亏格图中路径的分离性质，提出了一种粗Menger定理的变体，通过顶点集的限制来保证路径间的距离约束，部分回答了Nguyen等人提出的问题。
2026-05-11 cs.DM math.CO
Minimal Separators in Graphs
已知门格尔定理指出，在有限图中，任何一对顶点的最小分离器集的大小等于这两个顶点之间可以找到的不相交路径的最大数量。本文研究了有限图中两个不相邻顶点的最小分离子，给出了Menger定理的一个新的初等证明。
2019-04-13 cs.DM math.CO
On the intersection of infinite matroids
我们证明了Nash-Williams的无穷拟阵交猜想蕴含了Aharoni和Berger最近证明的无穷Menger定理。我们证明了这个猜想是正确的，只要一个拟阵是近有限的，第二个是对偶的近有限拟阵，近有限拟阵形成一个超类的有限拟阵。特别是，这证明了无限拟阵相交猜想的有限圈拟阵的2-连通，局部有限图只有有限数量的顶点不相交射线。
2012-07-09 math.CO
Asymptotic structure. V. The coarse Menger conjecture in bounded path-width
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明，对于不包含特定可平面图H作为子式的图类，粗Menger猜想成立，从而推出有界路径宽度图和串并联图满足该猜想。
2026-06-01 math.CO
Mengerian graphs: characterization and recognition
时间图${\cal G}$是随时间变化的图。更具体地说，它是一对$(G, λ)$，其中$G$是一个图，$λ$是$G$的边上的一个函数，它描述了每条边$e\in E(G)$何时是活动的。给定顶点$s,t\in V(G)$，时间$s,t$-路径是$G$中以非减时间遍历边的路径;并且如果$s,t$不相邻，则时间$s,t$-割是子集$S\subseteq V(G)\setminus\{s,t\}$，其移除破坏所有时间$s,t$-路径。众所周知，门格尔定理在这种情况下不成立，即，内部顶点不相交的时间$s,t$-路径的最大数目不一定等于时间$s,t$-割的最小大小。Kempe，Kleinberg和Kumar（STOC '2000）在一篇开创性的论文中定义了一个图$G$是门格尔的，如果对于每个函数$λ$，等式在$(G,λ)$上成立。然后，他们证明，如果每个边被允许在$(G,λ)$中仅活动一次，则$G$是门格尔的当且仅当$G$没有作为拓扑子的gem。在本文中，我们推广了他们的结果，允许边是积极的一次以上，给出了一个特征也禁止结构。我们还提供了一个多项式时间识别算法。
2022-08-12 cs.DM math.CO
Packing and Covering Triangles in Bilaterally-Complete Tripartite Graphs
本文利用 Menger 定理与 König 线着色定理，证明具有两个完全二部侧边的三部图中三角形装填数等于边覆盖数，推广了完全三部图的已有结论。
2023-07-17 math.CO
Asymptotic structure. VI. Distant paths across a disc
本文证明在平面图中，当端点位于无限区域时，粗Menger猜想成立，并给出线性时间算法判断是否存在指定数量的远距离路径。
2025-09-08 math.CO
Linear and matrix generalizations of some combinatorial min-max theorems
本文综述了Hall婚姻定理和Kőnig定理的线性与矩阵推广，并将其与Dilworth定理和Menger定理的推广联系起来。
2026-05-28 math.CO math.OA math.RA
A structure theorem for rooted connectivity in bidirected graphs
本文提出了双向图中以根为起点的连通性的结构定理，并应用该定理证明了Lovász火焰定理、Pym定理以及Menger定理的强变体。
2025-12-13 math.CO
Connecting vertex sets to walls
本文扩展了Menger和Gallai定理，建立了顶点集与墙之间顶点不相交路径的最大数目与最小顶点覆盖数之间的关系，并考虑了路径端点位于墙内的情况。
2026-06-23 math.CO
Coarse Menger property of quasi-minor excluded graphs and length spaces
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文研究了排除有限极小图的长度空间的粗Menger性质，证明了局部有限图和此类空间满足该性质，且函数f仅依赖路径数，g为距离阈值的线性函数。
2026-05-11 cs.DM math.CO math.MG
Graph Derangements
我们引入了一个图的无序，这自然之间的完美匹配和哈密顿圈插值的概念。本文给出了局部有限图存在图乱序的一个充要条件。这一结果首先由W.T. Tutte在1953年通过应用一些更深层次的结果有向图。我们给出了一个新的，简单的证明，相当于减少（门格尔-埃格瓦里-柯尼希-）霍尔（霍尔）定理的横截集系统。最后，我们考虑的问题，分类的所有循环类型的图的乱序上的m × n棋盘图。我们的介绍不假设任何先验知识的图论或组合：所有的定义和证明所需的定理。
2013-07-03 math.CO
Abstract colorings, games and ultrafilters
其主要结果为关于顶点为无穷半群的完全图的边集的有限染色的Ramsey型定理提供了一个一般的推广。我们捕捉的本质定理证明在不同的领域：自然数由于米利肯-泰勒，Deuber-Hindman，Bergelson-Hindman，组合覆盖性能由于Scheepers和Tsaban，和本地性能在函数空间由于Scheepers。为此，我们使用幂等超滤子的Čech-Stone紧化的离散无限半群和拓扑游戏。本研究的动机是Tsaban最近关于着色和Menger覆盖性质的突破性工作。
2021-07-06 math.CO math.GN
Edge-connectivity between edge-ends of infinite graphs
Institute of Mathematics and Computer Sciences, University of São Paulo（圣保罗大学数学与计算机科学研究所）
本文旨在推广无限图边连通性结果，回顾边端定义，陈述门格尔定理边版本，推广洛瓦兹 - 切尔卡斯基定理，为无限图边连通性研究提供新视角与方法。
2026-07-24 math.CO
Algebra, selections, and additive Ramsey theory
Hindman的著名的有限和定理，以及它的高维版本，由于米利肯和泰勒，从覆盖可数集覆盖任意拓扑空间与门格尔的经典覆盖性质。方法包括，除了Hurewicz的博弈论表征门格尔的财产，扩展经典的幂等理论的石头-捷克紧半群，和最近的理论选择原则。这提供了上述著名定理的强版本，其中单色子结构在分析意义上是大的，超越无限。将主要定理还原到纯组合的情形下，我们得到了关于连续统的不可数基数特征的非平凡结果。主要结果，模技术的改进，是以下类型（定义提供的主要文本）：让$X$是门格尔空间，和$\mathcal{U}$是一个无限开盖的$X$。考虑完全图，其顶点是$X$中的开集。对于这个图的顶点和边的每个有限着色，存在覆盖$\mathcal{U}$的不相交有限子集$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots$，其并集$V_1 := \bigcup\mathcal{F}_1, V_2 := \bigcup\mathcal{F}_2,\dots$具有以下性质：1.集合$\bigcup_{n\in F}V_n$和$\bigcup_{n\in H}V_n$对于所有非空有限集合$F<H$是不同的。2.对于非空有限集$F$，所有的顶点$\bigcup_{n\in F}V_n$都是相同的颜色。3.对于非空有限集$F<H$，所有边$\bigl\{\,\bigcup_{n\in F}V_n, \bi…
2015-08-23 math.CO math.GN math.LO
Hindrance from a wasteful partial linkage
本文研究无限有向图中阻碍出现的条件，证明若存在浪费型部分连接，即互不相交的 $AB$ 路径使 $B$ 中未用顶点少于 $A$，则必存在阻碍。
2025-06-07 math.CO
Counterexample to the conjectured coarse grid theorem
Leipzig University（莱比锡大学）
本文通过构造一个特定图，推翻了粗网格定理和弱肥细小猜想，并展示了不具有粗Erdős-Pósa性质的平面图存在。
2026-02-24 math.CO math.MG
Graph minors and metric spaces
本文研究图子式与粗几何的交叉问题，证明若干小图 H 情形下无粗 H 子式的测地空间拟等距于无 H 子式图，并给出或猜想多个经典图论定理的度量版本。
2025-03-15 math.CO math.GT math.MG
A Cantor-Bernstein theorem for infinite matroids
本文给出了Diestel和Jassen的“图中路的Cantor-Bernstein型定理”和我们自己的“无限图中生成树的Cantor-Bernstein型定理”的一个一般拟阵推广。
2022-05-09 math.CO
Combinatorial proofs of Infinite versions of the Hales-Jewett theorem
我们提供了新的和纯粹的组合证明的两个无限扩张的Hales-Jewett定理。第一个是由于T. Carlson和S.辛普森和第二个是由于T。卡尔森两者都涉及有限字母表的无限递增序列。
2012-11-08 math.CO
A Combinatorial proof of an Infinite version of the Hales-Jewett theorem
本文给出了T.卡尔森和独立由于H. Furstenberg和Y.卡兹纳尔逊
2014-02-17 math.CO
A coarse block-cut tree theorem
University of Oxford（牛津大学）；University of Warsaw（华沙大学）
研究图沿着割点分解为2 - 连通分量的粗类似物，核心方法是证明图\(G\)存在特定树分解，主要贡献是给出该分解粘连集直径限制及相关对偶表述。
2026-07-09 cs.DM math.CO
On the Two Paths Theorem and the Two Disjoint Paths Problem
本文提出两条路径定理的新证明，通过推广至任意元组并利用并行组合归纳刻画，进而设计出构造性的O(nm)递归算法解决两条顶点不相交路径问题。
2025-08-14 cs.DS math.CO
An introduction to graph theory
本文是研究生层次的图论课程导论，系统介绍图的基本类型、经典定理、网络流与匹配，并配有约百道无解答习题。
2025-06-08 math.CO math.HO
A tree-of-tangles theorem for infinite tangles
Carmesin将Robertson和Seymour的缠结树定理推广到了局部有限无限图的无限缠结。我们进一步推广到所有无限图的无限缠结。我们的结果对于无限图的拓扑结构，例如它们的端空间和它们的紧化有许多应用。
2021-01-19 math.CO math.GN
A Riemann-Roch theorem on a weighted infinite graph
关于图的Riemann-Roch定理是由M. Baker和S.诺琳在文[2]中，建立了具有一致点权和一致边权的有限图的Riemann-Roch定理，并指出了无限图的Riemann-Roch定理是可行的。在这篇文章中，我们采取的边加权无限图和重点的重要性，拉普拉斯算子的谱间隙定义在其有限子图自然地给出了Q值的正权重的边缘。我们建立了一个潜在的理论方案证明边加权无限图的Riemann-Roch定理。
2022-01-19 math.CO math.PR
An infinite-dimensional version of Gowers' $\mathrm{FIN}_{\pm k}$ theorem
我们证明了一个无限维版本的近似Ramsey定理的Gowers，最初用于表明，每一个Lipschitz功能的单位球的$c_0$是振荡稳定的。为此，我们使用Todorcevic开发的超Ramsey空间理论，以获得$\mathrm{FIN}_{\pm k}$中所有无限块序列空间的Ellentuck型定理。
2019-05-22 math.CO math.LO
Infinite monochromatic paths and a theorem of Erdos-Hajnal-Rado
我们证明了如果$μ>{\rm cf}(μ)=ω$和$2^μ=μ^+$则$\binom{μ^+}μ\nrightarrow\binom{μ^+\ \aleph_2}{μ μ}$ .
2020-03-29 math.CO math.LO
Elementary submodels in infinite combinatorics
使用初等子模型是证明定理或简化无穷组合学证明的一种简单而有力的方法。首先我们介绍逻辑学的所有必要概念，然后我们用初等子模型证明经典定理。本文还对Nash-Williams关于图的圈分解定理给出了一个新的证明，并改进了Laviolette关于图的键忠实分解的一个分解定理。
2010-12-06 math.CO math.LO
New infinite hierarchies of polynomial identities related to the Capparelli partition theorems
我们证明了一个新的多项式加细的Capparelli的身份。使用贝利引理的特殊情况下，我们证明了许多无限家庭的和产品的身份，根从我们的有限类似的卡帕雷利的身份。我们还讨论了基恒等式的$q\mapsto 1/q$对偶变换和一些相关的划分理论关系。
2021-06-26 math.CO math.NT
A generalized infinite quantum Ramsey theorem for operator systems
California State University Los Angeles（加州州立大学洛杉矶分校）
本文证明了无限量子拉姆齐定理的推广，展示其源于无限维希尔伯特空间中某些投影家族的典型'选择性'模式。
2026-04-29 math.CO math.FA math.OA
A notion of graph likelihood and an infinite monkey theorem
我们玩的是一个类似于民间传说中的无限猴子定理的图论。我们定义一个概念的图形可能性的概率，一个给定的图是由一只猴子在一些时间步长等于顶点的数量。我们提出了一个算法来计算这个图的不变量和封闭公式的一些无限类。我们必须把似然的计算复杂性作为一个开放的问题。
2013-04-12 cs.DM math.CO physics.soc-ph
An infinite quantum Ramsey theorem
证明了作用在无限维希尔伯特空间上的线性算子的有单位元的自伴子空间的非交换图的无限Ramsey定理。具体地说，我们证明了，如果V是这样一个子空间，那么提供了没有明显的障碍，有一个无限秩投影P的性质，压缩PVP是最大或最小的在一定的自然意义。
2017-11-27 math-ph math.CO math.FA
