Computable structures of rank omega_1^{CK}
Julia Knight, Jessica Millar
我们得到了Scott秩为ω_1 ^{CK}的可计算结构（称之为ock），并给出了将任意超算术结构A变换为可计算结构A'的一般编码过程，使得A的秩为ock，ock+1或< ock当且仅当A'也是如此.
We obtain a computable structure of Scott rank omega_1^{CK} (call this ock), and give a general coding procedure that transforms any hyperarithmetical structure A into a computable structure A' such that the rank of A is ock, ock+1, or < ock iff the same is true of A'.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some new computable structures of high rank
我们给出了几个新的例子，高斯科特秩的可计算结构。对于早期已知的Scott秩$ω_1^{CK}$的可计算结构，可计算无穷理论是$\aleph_0$ -范畴的。米勒和萨克斯问是否总是如此。我们通过构造一个例子来回答这个问题，这个例子的可计算无穷大理论具有非同构的可数模型。Scott秩$ω_1^{CK}+1$的标准已知可计算结构具有无限不可分辨序列。我们给出了两个没有不可辨别有序三元组的构造。
On omega-powers of infinite difference rank
证明存在语言 $L$，其 $\omega$-幂在开集及 $\Pi^0_2$ 集合的差分层级中均具有无穷秩。
Separating Principles Below WKL0
在本文中，我们研究拉姆齐型Konig引理，书面RWKL，使用的技术介绍了Lerman，所罗门，和第二作者。该技术使用迭代强迫来构造满足一个原则T_1但不满足另一个原则T_2的omega模型。该技术通常允许将“一步”构造（构建T_2的实例以及T_1的每个可计算实例的解的集合）转换为Ω模型分离（构建T_2的可计算实例以及T_1成立的图灵理想）。我们通过将DNR与DNR分离来说明这种翻译（重新证明Ambos-Spies，Kjos-Hanssen，Lempp和Slaman的结果），然后应用这种技术将RWKL$与DNR分离（Bienvenu，Patey和Schafer分别显示）。
Computable Scott Sentences for Quasi-Hopfian Finitely Presented Structures
证明了每一个拟Hopfian表示结构$A$都有一个$d$ - $Σ_2$ Scott语句，并且如果$A$是可计算的，并且$Aut(A)$满足一个自然的可计算条件，则$A$有一个可计算的$d$ - $Σ_2$ Scott语句.这统一了几个已知的结果上的Scott句子的结构，它是用来证明，其他以前没有考虑的代数结构的利益有可计算的$d$ - $Σ_2$斯科特句子。特别地，我们证明了每个有限秩的直角Coxeter群都有一个可计算的$d$ - $Σ_2$ Scott语句，以及任何有限秩的强刚性Coxeter群。最后，我们证明了秩为$4$的自由射影平面有一个可计算的$d$ - $Σ_2$ Scott语句，从而展示了一个自然的例子，其中使用了准霍普夫性的假设（因为这种结构不是霍普夫的）。
Structures in Familiar Classes Which Have Scott Rank $ω_1^{CK}$
存在具有各种可计算斯科特秩的可计算结构的熟悉示例。也有一些熟悉的结构，如哈里森排序，它有斯科特秩$ω_1^{CK}+1$。Makkai提出了一个结构的斯科特秩$ω_1^{CK}$，它可以计算，并简化，使它只是一个树。在本文中，我们表明，有进一步的计算结构的斯科特秩$ω_1^{CK}$在以下类别：无向图，字段的任何特征，和线性排序。新的例子与哈里森排序和刚才提到的树共享一个强的可逼近性。
Scott sentences for certain groups
我们为某些可计算的组给出了Scott语句，并且我们使用索引集计算作为检查我们的Scott语句尽可能简单的一种方式。我们考虑有限秩的有限生成群和无挠阿贝尔群。对于这两类群，可计算群都有可计算$Σ_3$ Scott语句。有时我们可以做得更好。事实上，我们所研究的可计算的可有限生成群都具有“可计算的$d$ - $Σ_2$“（可计算的$Σ_2$语句和可计算的$Π_2$语句的合取）的Scott语句。这已经显示了对于Windows生成的自由群。在这里，我们证明了它对所有的n-生成的阿贝尔群，并为无限二面体群。在有限秩的可计算无挠阿贝尔群中，我们重点研究了秩为$1$的可计算无挠阿贝尔群。这些恰好是$\mathbb{Q}$的加法子群。我们发现，对于这些群体中的一些，可计算的$Σ_3$斯科特句子是最好的可能，而对于其他人，有一个可计算的$d$ - $Σ_2$斯科特句子。
An omega-Power of a Finitary Language Which is a Borel Set of Infinite Rank
有限语言的Ω幂是V^Ω形式的Ω语言，其中V是有限字母表X上的有限语言。由于X上的无限词的集合可以配备通常的康托拓扑，Ω幂的拓扑复杂性问题自然出现，并已提出了由Niwinski，由Simonnet，和由Staiger。最近证明了：对于任意整数n > 0，存在一些上下文无关语言的Ω-幂，它们是Pi^0_n-完备Borel集，并且存在一个上下文无关语言L，使得L^Ω是解析的而不是Borel集。但问题仍然是开放的，是否存在一个有限语言V，使V^omega是一个无限秩的波莱尔集。本文回答了这个问题，给出了一个有限语言的例子，其Ω幂是无限秩的Borel。
Model Theoretic Complexity of Automatic Structures
我们通过逻辑和模型论的成熟概念来研究自动结构的复杂性，包括有序高度（良基关系），结构的Scott秩和Cantor-Bendixson秩（树）。我们证明了以下结果：1）任意自动良基偏序的序高都有界于ω^ω; 2）自动良基关系的序高在第一个不可计算序之下是无界的; 3）对于任意可计算序，至少存在该序的Scott秩的自动结构. 4）对于任意可计算序数，都存在Cantor-Bendixson排序该序数的自动后继树。
On Omega Context Free Languages which are Borel Sets of Infinite Rank
本文是Ω上下文无关语言（Ω CFL）拓扑性质研究的继续。我们证明了ω-CFL类穷尽了有限秩Borel集的族，并且存在一些解析的但非Borel集的ω-CFL。我们在这里证明，存在一些欧米茄上下文自由的语言，它们是Borel集的无限（但不是有限）秩，给额外的答案问题的Lescow和托马斯[无限计算的逻辑规范，在：“十年的并发性”，施普林格LNCS 803（1994），583-621]。
NIP omega-categorical structures: the rank 1 case
我们分类原始的，秩1，欧米茄范畴结构多项式许多类型的有限集。对于一个固定数量的4型，我们表明，只有1000多个这样的结构，所有的都是建立在1000多个线性订单相互作用的方式有限。作为应用的例子，我们推导出了在由n个线性序组成的语言中同构的本原结构的分类以及这种结构的所有约简。
Rank and randomness
我们证明了对于每个可计算序数$α>0$，在每个马丁-洛夫随机$Δ^0_2$度中，都有可能找到Cantor-Bendixson秩$α$的序列$R$，同时确保归纳证明$R$秩的序列对于单个可数支持的可计算测度都是马丁-洛夫随机的。这是对Downey、Wu和Yang最近的一个结果的随机度的加强，可以理解为它的随机版本。
There Exist some Omega-Powers of Any Borel Rank
有限语言的Ω幂是以V^Ω形式存在的无限词的语言（Ω语言），其中V是有限字母表X上的有限语言。它们非常自然地出现在正则或上下文无关的omega语言的特征中。由于有限字母表X上的无限词的集合可以配备通常的Cantor拓扑，有限语言的Ω幂的拓扑复杂性问题自然出现，并由Niwinski（1990），Simonnet（1992）和Staiger（1997）提出。最近证明了：对任意整数n > 0，存在若干上下文无关语言的Ω幂，它们是Pi^0_n-完备Borel集;存在上下文无关语言L，使得L^Ω是解析的而不是Borel集;存在有限语言V，使得V^Ω是无限秩的Borel集。但它仍然是未知的可能是无限的波莱尔列欧米伽权力。我们在这里填补了这个空白，证明了下面这个非常令人惊讶的结果，它表明omega-幂表现出很大的拓扑复杂性：对于每个非零可数序数alpha，存在一些Sigma^0_alpha-完全omega-幂，和一些Pi^0_alpha-完全omega-幂。
The geometry of Hrushovski constructions, I. The uncollapsed case
Hrushovski在关系语言L中构建平坦的强最小结构的中间阶段产生秩为omega的omega稳定结构。我们分析了这些结构中的秩Ω的正则型分叉给出的预几何。我们发现，不同的L可以影响（本地）同构类型的预几何，但不是它的有限subpregeometries。续集将比较这些强极小结构的预几何。
On bi-embeddable categoricity of algebraic structures
在几类可数结构中，已知每个超算术结构都具有可计算表示，直到双嵌入性。在这篇文章中，我们研究了两个这样的类，线性序和布尔代数类的双嵌入结构之间的嵌入的复杂性。证明了如果$\mathcal L$是Hausdorff秩$n$的可计算线性序，则对于它的每一个双嵌入拷贝，都存在一个可计算的嵌入，其嵌入在原子图的$2n-1$跳跃中.我们还证明了这是最好的方法：设$\mathcal L$是Hausdorff秩$n\geq 1$的可计算线性序，则$\mathbf 0^{(2n-2)}$不计算它和它的所有可计算双嵌入副本之间的嵌入。证明了对于非超原子的布尔代数，其所有可计算双嵌入副本之间不存在超算术度计算嵌入。另一方面，如果一个可计算布尔代数是超原子的，则存在一个最小可计算序数$α$，使得$\mathbf 0^{(α)}$计算其所有可计算双嵌入副本之间的嵌入。在这个证明中使用的主要技术是一个新的变化阿什和骑士的对结构定理。
Borel Ranks and Wadge Degrees of Context Free Omega Languages
我们表明，从拓扑的角度来看，考虑Borel和Wadge层次，1-计数器Büchi自动机具有相同的接受能力比图灵机配备一个Büchi接受条件。特别地，对于每一个非空递归序数α，都存在1-计数器Büchi自动机所接受的Sigma^0_α-完全和Pi^0_α-完全的上下文无关omega语言，并且上下文无关omega语言的Borel秩集的上确界是严格大于第一个非递归序数的序数γ ^[1_2]。这个令人惊讶的结果回答了H. Lescow和W. Thomas [无限计算的逻辑规范，在：“并发的十年”，LNCS 803，Springer，1994，第583-621页]。
Tree-Automatic Well-Founded Trees
我们调查树自动良基树。使用Delhomme的分解技术的树自动结构，我们表明，（有序）秩的树自动良基树是严格低于Ω ^Ω。此外，我们向证明树自动良基偏序的秩是以Ω ^Ω ^Ω为界迈出了一步：我们证明了我们称之为向上线性偏序的界。作为我们结果的应用，我们证明了树自动良基树的同构问题对于超算术层次的Delta^0_{omega^omega}级关于图灵约简是完全的.
Scott ranks of models of a theory
一个可数结构的斯科特秩是来自斯科特同构定理的证明，该结构的复杂性的一个度量。一个理论的斯科特谱（我们指的是$\mathcal{L}_{ω_1 ω}$的一个句子）是该理论的可数模型的斯科特秩的集合。在$ZFC + PD$中，我们给出了一个连续的集合论分类的序数集，这是一个理论的斯科特谱：它们是特殊的$\boldsymbolΣ^1_1$类序数。我们的调查斯科特光谱导致决议（在$ZFC$）的一些开放的问题斯科特职级。我们回答Montalbán的问题，显示，对于每个$α< ω_1$，有一个$Π^{\mathtt{in}}_2$理论，没有模型的斯科特排名低于$α$。我们还回答了一个问题，骑士和卡尔弗特表明，有可计算的模型高斯科特排名是不计算近似模型低斯科特排名。最后，我们回答了一个问题的萨克斯和标记表明，$δ^1_2$是最小的序数$α$，这样，如果模型的可计算理论$T$有斯科特排名有界低于$ω_1$，那么他们的斯科特排名有界低于$α$。
Coding in the automorphism group of a computably categorical structure
使用新的技术来控制结构的范畴谱，我们构建了一个结构的范畴度，但无限的谱维数，回答了一个问题的Bazhenov，Kalimulin和Yamaleev。使用相同的技术，我们构建了一个可计算的范畴结构的不可计算的斯科特排名，和一个结构的可计算的维度2，使两个副本之间没有超算术同构。
Countable Toronto spaces
一个空间X称为α-Toronto空间，如果X是Cantor-Bendixson秩α的散布空间，并且与它的每个相同秩的子空间同胚。我们通过为每个alpha<=omega构造一个可数的alpha-Toronto空间来回答Steprans的一个问题。我们还构造了可数的alpha-Toronto空间的相容例子，每个alpha<omega_1。
Torsion-free abelian groups of finite rank and fields of finite transcendence degree
本文比较有限秩无挠阿贝尔群类与有限超越度域类的描述复杂性，给出函子性图灵可计算嵌入，并证明在可计算可数可归约性下 $\operatorname{TFAb}_1$ 的同构关系处于最顶端。
Structural vs. computational complexity
研究可计算结构理论中Scott秩的高度概念，将其刻画为计算特定Δ^0_β集的能力，并讨论给定Scott秩结构的指标集。
Bounds on Scott Ranks of Some Polish Metric Spaces
如果$\mathcal{N}$是一个真波兰度量空间，而$\mathcal{M}$是$\mathcal{N}$的任何可数稠密次度量空间，则在度量空间的自然一阶语言中$\mathcal{N}$的Scott秩是可数的，并且实际上至多是$ω_1^{\mathcal{M}} + 1$，其中$ω_1^{\mathcal{M}}$是$\mathcal{M}$的Church-Kleene序数（被解释为$ω$的子集），它是$\mathcal{M}$可计算的最小序数。如果$\mathcal{N}$是刚性波兰度量空间，$\mathcal{M}$是任何可数稠密次度量空间，则$\mathcal{N}$的Scott秩是可数的，并且实际上小于$ω_1^{\mathcal{M}}$。
Scott complexity of trees of finite rank via degrees of categoricity
本文通过范畴性度构造了有限秩可计算树，证明了其Scott秩为2m+1，并确定了Scott句复杂度为Π_{2m+2}，建立了树结构与线性序的类比。
Computable structures in generic extensions
在本文中，我们调查的结构之间的连接存在于每一个泛型扩张的宇宙$V$和可计算性理论。我们引入的概念{ \em通用Muchnik reductions}，可以用来比较不可数结构的复杂性，我们建立这种reductions的基本属性，并研究它的上下文中的{ \em通用presentability}，存在的副本的结构在每个扩展由一个给定的强制。我们表明，每一个力迫概念，使$ω_2$可数一般地提出了一些可数的结构，在地面模型中没有副本;和每一个结构一般presentable由一个力迫概念，不使$ω_2$可数有一个副本在地面模型。我们还表明，任何可数结构$\mathcal{A}$，是一般的强制概念不崩溃$ω_1$有一个可数的副本在$V$，因为任何结构$\mathcal{B}$一般Muchnik可还原为结构$\mathcal{A}$的基数$\aleph_1$。前一个肯定结果给出了Harrington关于Vaught猜想的反例具有幂模型$\aleph_1$的一个新的证明，其Scott秩在$ω_2$之下任意高.最后，我们证明了一个刚性结构的副本在所有泛型扩张由一个给定的强制有一个副本已经在地面模型。
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