Symmetric measures of pseudorandomness for binary sequences
Research Center for Number Theory and Its Applications, School of Mathematics, Northwest University（西北大学数学学院数论及其应用研究中心）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉德纳计算与应用数学研究所）
本文比较了二进制序列中传统和对称形式的伪随机性度量，如2-进制复杂度和线性复杂度。在周期性设定中，非回文素数的二进制周期序列的对称2-进制复杂度可能小于传统复杂度。在非周期性设定中，作者提供了具有更小对称复杂度的有限二进制序列，并展示了对称化对指数线性复杂度的影响。
2026-03-24 math.CO math.NT
On prime factors of terms of binary recurrence sequences
我们从下面给出了二元递归序列的第n项的最大素因子的估计。
2022-06-02 math.NT
Algorithmic classification of noncorrelated binary pattern sequences
我们表明，它是可能的算法验证，如果一个给定的模式序列是不相关的。作为应用，我们计算出了长度为$\leq 4$的$2272$不相关二元模式序列。如果我们把我们的注意力限制在不以$\mathtt{0}$结尾的模式上，我们给出了一个模式序列不相关的充分条件。我们猜想这个条件也是必要的，并验证了长度$\leq 5$的猜想。
2021-08-22 math.CO math.DS math.NT
A fancy way to obtain the binary digits of $759250125\sqrt{2}$
R. L. Graham和H. O.波拉克观察到序列$$u_1=1,\qquad u_{n+1}=\lfloor \sqrt{2} (u_n+1/2)\rfloor, \quad n\geq 1,$$有一个奇怪的性质，即数字序列$(u_{2n+1}-2u_{2n-1})_{n\geq 1}$表示$\sqrt{2}$的二进制数字。我们提出了一个扩展的格雷厄姆-波拉克的序列，它允许-在一个奇特的方式-二进制数字的$759250125\sqrt{2}$和其他数字。
2009-11-01 math.CO math.NT
The cross-correlation measure of families of finite binary sequences: limiting distributions and minimal values
Gyarmati、Mauduit和Sárközy引入了$k$阶的互相关度量$Φ_k(G)$来衡量有限二进制序列族的伪随机属性的水平。在以前的论文中，我们估计了一个随机族的二进制序列的互相关测度。在本文中，我们锐化这些早期的结果表明，对于随机家庭，互相关措施收敛强，所以有限制的分布。我们也给尖锐的界限的最小值的互相关措施，解决了一个问题的Gyarmati，Mauduit和Sárközy几乎完全。
2016-08-09 math.CO math.NT math.PR
On the limit distribution of the normality measure of random binary sequences
证明了随机二元序列$E_N$的正规化正态测度$\mathcal{N}(E_N)/\sqrt{N}$（as $N \to \infty$）的极限分布的存在性，从而证实了Alon，Kohayakawa，Mauduit，Moreira和R{<$}dl的一个猜想.证明的关键是用多维Wiener过程离开某个多面体的概率来近似正态性测度的分布。
2014-04-03 cs.DM math.CO math.NT
Trace representation and linear complexity of binary sequences derived from Fermat quotients
通过确定陪集的所有二元特征序列的定义对，刻画了由Fermat商模奇素数$p$导出的两类二元序列（一类是二元阈值序列，另一类是Legendre-Fermat商序列）的迹表示，其中陪集的所有二元特征序列的定义对与Fermat商的每个固定值的模$p^2$的原像集一致.在$2^{p-1}\not\equiv 1 \bmod {p^2}$的假设下，由定义对得到了二元门限序列线性复杂度的一个较早的结果和Legendre-Fermat商序列线性复杂度的一个新结果.
2013-06-20 cs.CR math.NT
On monoids of weighted zero-sum sequences and applications to norm monoids in Galois number fields and binary quadratic forms
设$G$是一个加法有限阿贝尔群，$Γ\subset \operatorname{End} (G)$是$G$的自同态群的子集.如果存在$γ_1, \ldots, γ_{\ell} \in Γ$使得$γ_1 (g_1) + \ldots + γ_{\ell} (g_{\ell})=0$，则$G$上的序列$S = g_1 \cdot \ldots \cdot g_{\ell}$是（$Γ$ -）加权零和序列。我们从赋范幺半群（具有Galois群$Γ$的Galois代数数域的幺半群）和正整数幺半群（用二元二次型表示）到加权零和序列幺半群构造了转移同态.然后研究了加权零和序列幺半群的代数和算术性质。
2022-08-23 math.AC math.CO math.NT
Power multiples in binary recurrence sequences: an approach by congruences
本文介绍了一种基于初等同余的方法来寻找任意二进制递归序列（q>2）中的q次幂倍数。该程序允许证明在许多情况下不存在这样的倍数。
2010-09-26 math.NT
The linear complexity of new binary cyclotomic sequences of period $p^n$
本文确定了由Z. Xiao等人（Des.密码DOI 10.1007/s10623-017-0408-7），并证明了他们关于这些序列的高线性复杂度的猜想。
2017-12-11 cs.CR math.NT
On Finite Pseudorandom Binary Sequences: Generalized polynomials
本文提出用包含取整函数的广义多项式生成二进制伪随机序列，并通过观察算术级数随机性估计其均匀分布测度，为伪随机序列研究提供新方法。
2025-09-24 math.NT
Linear combinations of factorials in binary recurrence sequences
设$\{u_{n}\}_{n \geq 0}$是具有正判别式的非退化二元递归序列。本文考虑丢番图方程$u_m + u_n = a_1 n_1! + \cdots + a_k n_k!$，证明了只有1000个有效可计算项可以表示为因子之和。此外，我们发现的平衡序列的条款，可以写为两个因子的总和。
2017-07-03 math.NT
Pseudorandom binary sequences: quality measures and number-theoretic constructions
本综述总结了一些数论序列的伪随机性，分析了Legendre序列、双素数生成器、Thue-Morse序列等在平衡性、线性复杂度、$k$阶相关测度等度量下的行为结果。
2023-05-19 math.NT
Integers represented by binary recursive sequences
本文研究满足二元递归关系的整数序列所表示的整数，针对非退化序列，仅用两个初始值给出零项最高指标与项绝对值增长阶的界，部分界在常数因子意义下最优。
2024-08-09 math.NT
Binary Signed-Digit Integers, the Stern Diatomic Sequence and Stern Polynomials
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制符号位（BSD）表示在高效计算、编码理论和其它应用中得到广泛应用。我们链接这两个对象，表明整数$n<2^i$的$i$位二进制符号数字表示的数量是斯特恩的双原子序列中的$(2^i-n)^\text{th}$元素。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数位整数，反之亦然。本文讨论的这种关系的应用包括BSD表示的权重分布定理，将这些表示与Stern多项式联系起来，整数的最佳BSD表示的数量及其汉明权重的递归，源于Stern多项式的首项系数和次数的简单递归，以及具有最大数量的此类表示的所有整数的识别。
2021-08-30 cs.DM math.CO math.NT
Note about the linear complexity of new generalized cyclotomic binary sequences of period $2p^n$
本文研究了Yi Ouang等人最近提出的周期为$2p^n$的新广义分圆二元序列的线性复杂度（arXiv：1808.08019v1 [cs.IT] 2018年8月24日）。我们推广了他们的结果，并讨论了作者的猜想。
2019-03-01 cs.CR math.NT
On error linear complexity of new generalized cyclotomic binary sequences of period $p^2$
本文研究了Z. Xiao等人，他计算了序列的线性复杂度（Designs，Codes and Cryptography，2017，https：//doi.org/10.1007/s10623-017-0408-7）。更确切地说，我们根据费马行列式理论，确定了几乎$k>0$的$\mathbb{F}_2$上的$k$ -误差线性复杂度的值。结果表明，该序列具有良好的稳定性。
2018-04-22 cs.CR math.NT
Largest values of the Stern sequence, alternating binary expansions and continuants
本文研究了Stern双原子阵列的第$r$行的最大值。特别地，我们证明了Lansing的一些定理.我们的主要工具是斯特恩序列之间的联系，交替二进制扩展和连续。这使得我们可以将Stern序列元素的排序问题简化为连续序列的排序问题。我们描述了一个操作，增加了连续的值，使我们能够减少最大连续的问题，订购非常特殊形状的连续。最后，我们使用一些涉及斐波那契数的恒等式和不等式对这些特殊的连续序列进行了排序。
2016-08-30 math.NT
Properties of the cumulated deficient binary digit sum
本文研究了On-LineEncyclopediaofSequences中的序列A268289，即连续整数二进制展开式中1位数与0位数之差的累积.该序列恰好匹配某些特定集合的基数序列。此外，它也可以通过使用Takagi函数来表示。这三种不同的定义各有其性质，将它们结合在一起会产生一些新的恒等式。
2019-11-10 math.NT
Determination of 2-Adic Complexity of Generalized Binary Sequences of Order 2
二阶广义二元序列已被用来构造好的二元循环码[4]。这些序列的线性复杂度已在[2]中计算过。这种序列的自相关值已在[1]和[3]中确定。在[5]和[7]中已经给出了这类序列的2-adic复杂度的一些下界。在本文中，我们确定的2-adic复杂度的确切值，这样的序列。特别地，我们改进了[5]和[7]中给出的下界和2-adic复杂度达到最大值的条件。
2020-07-30 cs.IT math.IT math.NT
On Finite Pseudorandom Binary Sequences: Functions from a Hardy field
本研究基于Hardy域构造二元伪随机序列，给出了良分布测度与相关测度的上界，并证明s阶相关测度的大小与Hardy域增长指数和s的相对大小相关。
2023-12-13 math.NT
Multiplicities of Character Values of Binary Sidel'nikov-Lempel-Cohn-Eastman Sequences
F2上的二元Sidel'nikov-Lempel-Cohn-Eastman序列（或SLCE序列）具有偶数周期和几乎完美的自相关性。然而，这些序列的线性复杂度的评估是非常困难的。本文是文[1]的继续研究。首先将SLCE序列特征多项式的重根表示为某些类型的Jacobi和。然后在“半本原”情形下利用Gauss和和Jacobi和，得到了SLCE序列的新的整除性结果。
2017-02-20 cs.IT math.IT math.NT
Counterexamples to Theorem 1 of Turyn's and Storer's Paper "On Binary Sequences"
定理1的显式反例。Turyn和J. Storer经常被引用的论文“On Binary Sequences”[Proc. Amer. Math. Soc.，第12卷，第3期，第394-399，1961）。他们的论文中的定理2是众所周知的;它指出奇数长度n>13的巴克序列不存在。由于定理2的证明依赖于不正确的定理1，因此经常引用的定理2的证明是不正确的。为了得到著名定理2的正确证明，定理1及其证明必须如何修改，这一点一点也不清楚。
2014-07-05 math.NT
Order in Binary Sequences and the Routes to Chaos
二进制序列空间中的自然顺序允许恢复$U$ -序列。还解释了倍周期级联的标度律和在该有序集中定义的通向混沌的不稳定性路径。这些作为这个有序集的内在属性出现，并且独立于关于动力系统的任何考虑。
2005-04-12 cond-mat.stat-mech math.DS math.NT
Binary Sequences Derived from Differences of Consecutive Primitive Roots
设$1<g_1<\ldots<g_{φ(p-1)}<p-1$是模~ $p$的有序原根。研究了由$s_n\equiv g_{n+1}+g_{n+2}\bmod 2$、$n=0,1,\ldots$定义的二元序列$(s_n)$的伪随机性。特别地，我们研究了$(s_n)$的平衡性、线性复杂度和$2$ -adic复杂度.我们表明，对于一个典型的$p$的序列$(s_n)$是相当不平衡的。然而，仍然存在无限多个$p$，使得$(s_n)$非常平衡。我们也证明了类似的结果分布较长的模式。给出了~ $(s_n)$的线性复杂度和$2$复杂度的一般下界，并给出了它们达到最大值的充分条件.因此，对于仔细选择的$p$，这些序列是密码应用的有吸引力的候选者。
2021-05-17 math.NT
Diophantine Equation with Arithmetic functions and Binary recurrent sequences
本文主要研究含算术函数的二元递归数列的丢番图方程。研究了各种丢番图问题，得到了一些新的结果。首先，我们研究了两类非退化二元递归序列之间的交的几个问题，并尽可能地给出了这类交的最大成员的有效界。本文主要研究$φ(|au_n |)=|bv_m|,$形式的丢番图方程，其中$φ$是欧拉函数，$\{u_n\}_{n\geq 0}$和$\{v_m\}_{m\geq 0}$是两个非退化的二元递归序列，$a,b$是正整数.更确切地说，我们研究的问题涉及成员的经常性序列是代表数字，莱默数，其欧拉函数保持在同一序列。我们特别研究了当$\{u_n\}_{n\geq 0}$是Fibonacci序列$\{F_n\}_{n\geq 0}$、Lucas序列$\{L_n\}_{n\geq 0}$或Pell序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$及其伴随序列$\{Q_n\}_{n\geq 0}$时的情况。其次，我们研究了一些递归序列上的Lehmer猜想.回想一下，如果$φ(N)\mid N-1$，则复合数$N$被称为Lehmer。本文证明了Lucas序列$\{L_n\}_{n\geq 0}$和Pell序列$\{P_n\}_{n\geq 0}$都不存在Lehmer数.本文使用的主要工具是代数数论中线性形式的下界、所谓的Baker-Davenport约化方法、连分式、素数理论的初等估计和筛法。
2017-12-11 math.NT
Linear recurrence sequences and twisted binary forms
令$ \prod_{i=1}^d (X-α_i Y) \in{\mathbb C}[X,Y]$为二进制形式，令$ε_1,\dots,ε_d$为非零复数。我们考虑二元形式族$ \prod_{i=1}^d (X-α_i ε_i^aY)$，$a\in {\mathbb Z}$，记作$$ X^d-U_1(a)X^{d-1}Y+\cdots+(-1)^{d-1} U_{d-1}(a) XY^{d-1}+(-1)^d U_d(a) Y^d.$$。本文研究了这些序列$\bigl(U_h(a)\bigr)_{a\in {\mathbb Z}}$，证明它们是线性递归序列。
2018-02-14 math.NT
Arithmetic crosscorrelation of binary $m$-sequences with coprime periods
本文研究周期互素的二元m序列，证明了其算术互相关绝对值不超过$2^{\min(n_1,n_2)}-1$。
2023-09-20 cs.IT math.IT math.NT
Correlation measures of binary sequences derived from Euler quotients
费马-欧拉定理起源于对费马大定理第一种情形的研究，在数论中有着广泛的应用。近年来，人们从密码学的角度对它们进行了研究，构造了许多伪随机二进制序列，并计算了它们的线性复杂度和迹表示。本文利用Dirichlet特征标、Ramanujan和以及Gauss和的方法进一步研究了它们的相关性测度。我们的结果表明，这些序列的$4$阶相关性的措施是非常大的。因此，它们可能不建议用于密码学。
2021-09-10 cs.CR math.NT
Prime powers in sums of terms of binary recurrence sequences
设$\{u_{n}\}_{n \geq 0}$是具有正的、无平方判别式的非退化二元递归序列，而$p$是固定的素数。本文给出了丢番图方程$u_{n_{1}} + u_{n_{2}} + \cdots + u_{n_{t}} = p^{z}$在$n_i $上满足一定条件时，对所有$1\leq i \leq t$的解的有限性结果.此外，我们明确地找到了所有的3的权力，这是三个平衡数的总和，使用下界的线性型在图。此外，我们在丢番图逼近中使用了Dujella和PethIgn提出的Baker-Davenport约化方法的一个变体。
2017-07-03 math.NT
Linear Complexity of A Family of Binary $pq^2$-periodic Sequences From Euler Quotients
本文首先基于模$pq$的欧拉行列式引入了一类二元$pq^2$ -周期序列，其中$p$和$q$是两个不同的奇素数，$p$整除$q-1$ .在满足$2^{q-1} \not\equiv 1 \mod{q^2}.$的条件下，给出了该序列的最小多项式和线性复杂度。结果表明，该序列具有很高的线性复杂度。
2022-01-07 cs.IT math.IT math.NT
Family complexity and cross-correlation measure for families of binary sequences
本文研究了二进制序列族的两种伪随机性测度：族复杂度和Ahlswede等人提出的互相关测度之间的关系。在2003年和最近由Gyarmati等人，分别更准确地说，我们估计家庭的家庭复杂度的一个家庭$(e_{i,1},\ldots,e_{i,N})\in \{-1,+1\}^N$，$i=1,\ldots,F$，长度$N$的二进制序列的交叉相关措施，其对偶家庭$(e_{1,n},\ldots,e_{F,n})\in \{-1,+1\}^F$，$n=1,\ldots,N$。我们将这一结果应用于家庭的勒让德符号的序列与不可约的二次多项式模$p$与中间系数$0$，即，$e_{i,n}=\left(\frac{n^2-bi^2}{p}\right)_{n=1}^{(p-1)/2}$为$i=1,\ldots,(p-1)/2$，其中$b$是一个二次nonresidue模$p$，表明这个家庭以及它的双重家庭都有一个大的家庭复杂性和一个小的互相关措施，以一个相当大的顺序。
2014-08-21 math.NT
Binary matrices of order 3 associated with the Pell sequence
研究通过构造 Pell 矩阵分析 Pell 数的代数性质，并分类所有可经共轭生成 Pell 方程的 3×3 二进制矩阵。
2025-10-19 math.NT
The mean and variance of the reciprocal merit factor of four classes of binary sequences
本文针对四类二进制序列（斜对称、对称、反对称及全部序列），用初等方法推导出倒数品质因数的均值与方差精确公式，并证明其品质因数随长度增加依概率收敛于常数。
2024-03-17 cs.IT math.IT math.NT
Correlation, Linear Complexity, Maximum order Complexity on Families of binary Sequences
$k$阶相关测度是二进制序列随机性的一个重要度量。这种方法试图寻找序列的几个移位版本之间的依赖性。研究了$k$阶相关测度与另两个伪随机测度：$N$阶线性复杂度和$N$阶最大复杂度之间的关系.我们简化和改进了几个国家的最先进的下界，这两个措施使用的汉明界以及较弱的界限，从它。
2021-07-25 cs.IT math.IT math.NT
Linear complexity problems of level sequences of Euler quotients and their related binary sequences
欧拉商模一个奇素数幂$p^r~(r>1)$可以被唯一地分解为形式为$$ \frac{u^{(p-1)p^{r-1}} -1}{p^r}\equiv a_0(u)+a_1(u)p+\ldots+a_{r-1}(u)p^{r-1} \pmod {p^r},~ \gcd(u,p)=1, $$的$p$ -进数，其中$0\le a_j(u)<p$为$0\le j\le r-1$，如果$\gcd(u,p)>1$，则我们设置所有的$a_j(u)=0$。通过引入一个新的商，研究了$\mathbb{F}_p$上的水平序列$(a_j(u))_{u\ge 0}$的某些算术性质.然后确定了$(a_j(u))_{u\ge 0}$的线性复杂度和由$(a_j(u))_{u\ge 0}$定义的二元序列的$k$ -错误线性复杂度的精确值。
2014-09-20 cs.CR math.NT
Tables of graphs of binary and ternary sequences differentiation
令$x$是有限域$\mathbb{F}_q$的$n$元素的循环序列（第一个元素紧跟着第$n$个元素）。让我们将操作$Δ$定义为从$x$到来自$x$的相邻元素的差的序列的转变。本文的目的是给出动力系统$Δ$对于$q=2$，$n\le 300$和$q=3$，$n\le 150$的图.这些结果使我们能够更精确地定义阿诺德假设并证明它们。
2007-10-10 math.DS math.NT
A further study on the linear complexity of new binary cyclotomic sequence of length $p^r$
最近，Z. Xiao等人（Des.密码，DOI 10.1007/s10623-017-0408-7）。后来，对于$f$是$2^r$与$r\ge 1$的形式的情况，弗拉基米尔·埃德姆斯基证明了这个猜想（arXiv：1712.03947）。本文在$2^{p-1} \not\equiv 1 \bmod p^2$和$\gcd(\frac{p-1}{\rm {ord}_{p}(2)},f)=1$的假设下，证明了Z. Xiao等利用Euler商证明了一般$f$的解的存在性.本文基于广义割圆法给出了$p^r$ -周期二元序列的一般构造，它允许一个灵活的支撑集，并将肖氏构造作为特例，然后给出了利用一般构造计算序列线性复杂度的有效方法，并在此基础上证明了Z.在上述假设下，Xiao等人可以很容易地证明。
2018-03-15 cs.CR math.NT
On $k$-error linear complexity of pseudorandom binary sequences derived from Euler quotients
本文研究了周期为$p^{\mathfrak{r}}$的伪随机二进制序列的$k$ -错误线性复杂度，该序列是由模$p^{\mathfrak{r}-1}$的欧拉导数导出的，是$\mathfrak{r}\geq 2$的奇素数$p$的幂.当$\mathfrak{r}=2$，这只是情况下的多项式幂次（包括费马幂次）模$p$，这已经研究了在早期的工作陈，牛和吴。在这项工作中，我们建立了一个递归关系的$k$ -错误的线性复杂度的序列的情况下，$\mathfrak{r}\geq 3$。我们还陈述了$\mathfrak{r}=3$的情况下的$k$ -错误线性复杂度的精确值。从结果中，我们可以发现对于$k<p^{\mathfrak{r}-2}(p-1)^2/2$，（周期为$p^{\mathfrak{r}}$的）序列的$k$ -错误线性复杂度没有显著降低。
2018-03-15 cs.CR math.NT
A new family of binary sequences with a low correlation via elliptic curves
本文利用椭圆曲线有理点的循环群结构，设计了一族长度为 $2^n+1+t$ 且具有低相关性和大线性复杂度的新二元序列，为序列构造提供了新方法。
2024-07-26 cs.IT math.IT math.NT
