巴拿赫空间值随机变量和的Laplace逼近的渐近展开

独立巴拿赫空间值随机变量和的一个概率不等式

A probability inequality for sums of independent Banach space valued random variables

设$(\mathbf{B}, \|\cdot\|)$是实可分巴拿赫空间.令$φ(\cdot)$和$ψ(\cdot)$是定义在$[0, \infty)$上的两个连续递增函数，使得$φ(0) = ψ(0) = 0$、$\lim_{t \rightarrow \infty} φ(t) = \infty$和$\frac{ψ(\cdot)}{φ(\cdot)}$是$[0, \infty)$上的非递减函数。设$\{V_{n};~n \geq 1 \}$是一列独立对称的{ \bf B}值随机变量.在本说明中，我们建立了独立{ \bf B}值随机变量之和的概率不等式，证明对于每个$n \geq 1$和所有$t \geq 0$，\[ \mathbb{P}\left(\left\|\sum_{i=1}^{n} V_{i} \right\| > t b_{n} \right) \leq 4 \mathbb{P} \left(\left\|\sum_{i=1}^{n} φ\left(ψ^{-1}(\|V_{i}\|)\right) \frac{V_{i}}{\|V_{i}\|} \right\| > t a_{n} \right) + \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}\left(\|V_{i}\| > b_{n} \right), \]，其中$a_{n} = φ(n)$和$b_{n} = …

独立随机变量和的一个比较不等式

A comparison inequality for sums of independent random variables

本文给出了一个比较不等式，它可以用独立同分布随机变量的尾概率来估计独立巴拿赫空间值随机变量和的尾概率.更准确地说，设X_1，.，X_n是独立的Banach值随机变量。设I为独立于X_1的随机变量，.，X_n且均匀分布于{1，…，n}。设Z_1 = X_I，设Z_2，.，Z_n是Z_1的独立同分布拷贝。，则P（||X_1+...+ X_n||> t）< c P（||Z_1+...+ Z_n||> t/c），其中c是绝对常数。

Stein方法用于非对称拉普拉斯近似

Stein's method for asymmetric Laplace approximation

本文发展了Stein方法用于非对称拉普拉斯分布近似，推导了在Kolmogorov、Wasserstein和光滑Wasserstein距离下的一般界，并应用于几何随机和确定性随机变量之和的非对称拉普拉斯近似。

巴拿赫空间中鞅分布的最佳界

Optimum bounds for the distributions of martingales in Banach spaces

在2-光滑巴拿赫空间中，提出了一种将独立实值随机变量和的指数不等式推广到鞅的一般方法.利用这一方法，得到了2-光滑巴拿赫空间中鞅矩的Rosenthal-Burkholder型和Chung型的最优界.反过来，它导致最佳顺序的任何可分的巴拿赫空间中的独立随机向量的和的时刻的界。虽然重点放在无穷维鞅上，但大多数结果似乎是新的，即使是一维的。此外，Rosenthal-Burkholder型矩的界似乎在一定程度上是新的，甚至对于独立实值随机变量的和也是如此。给出了（一维）上鞅的类似不等式。

巴拿赫空间值随机微分方程的一致大偏差原理

Uniform large deviation principles for Banach space valued stochastic differential equations

本文证明了一类Banach空间值随机微分方程的大偏差原理（LDP），它在巴拿赫空间的有界子集上关于初始条件是一致的.证明中的一个关键步骤是证明紧集上的一致大偏差原理是紧集上的一致Laplace原理所隐含的。由于无穷维Banach空间的有界子集在范数拓扑中一般不是相对紧的，我们将巴拿赫空间嵌入到它的双对偶空间中，利用双对偶空间中闭有界集的弱- $\star $紧性.我们证明了我们的随机微分方程的一个修改版本满足弱$\star $紧集上的一致Laplace原理，从而满足有界集上的一致大偏差原理。然后，我们使用压缩原理将这个结果转换回原始方程。这个统一LDP的主要动机是推广Freidlin和Wentzell关于有限维随机微分方程的结果。本文应用一致LDP方法研究了巴拿赫空间值小噪声微分方程的有界解，包括带乘性噪声的反应扩散方程和带乘性噪声的$2$维随机Navier-斯托克斯方程.

独立随机向量和的中心范数的极大不等式

Maximal inequalities for centered norms of sums of independent random vectors

设$X_1,X_2,\ldots,X_n$为独立随机变量，$S_k=\sum_{i=1}^k X_i$为独立随机变量.我们证明了对任意常数$a_k$，\[ \Pr(\max_{1\leq k\leq n}||S_{k}|-a_{k}|>11t)\leq 30 \max_{1\leq k\leq n}\Pr(||S_{k}|-a_{k}|>t). \]，我们还讨论了Hilbert和巴拿赫空间值随机向量和的类似不等式.

巴拿赫空间中鞅的大偏差不等式

Large deviation inequalities for martingales in Banach spaces

设$(X_i, \mathcal{F}_i)_{i\geq1}$是光滑Banach空间中的一个鞅差序列.令$S_n=\sum_{i=1}^nX_i, n\geq 1,$是$(X_i, \mathcal{F}_i)_{i\geq 1}$的部分和。在两种不同的情况下：当鞅差具有一致有界指数矩时和当增量尾部的衰减为多项式时，给出了数量$\mathbb{P}\left(\max_{1\leq k\leq n}\lVert S_k\rVert>nx\right)$关于$ n\geq 1$和$x>0$的上界.

重尾独立随机变量赋范和的非改进一致尾估计及其应用

Non-Improved Uniform Tail Estimates for Normed Sums of Independent Random Variables with Heavy Tails, with applications

得到了独立随机变量自然赋范和（r. v.）具有规则变化的分布尾部。为了证明所给估计的正确性，我们还给出了许多例子，并讨论了Monte-Carlo方法和统计学中的一些应用，得到了连续函数的巴拿赫空间中中心极限定理和稳定极限定理成立的充分条件。对一类具有超重尾的随机变量和鞅差格式进行了推广。

短记忆线性过程加权和的一致渐近正态性

Uniform asymptotic normality of weighted sums of short-memory linear processes

设$X_1, X_2,\dots$是随机变量的短记忆线性过程。对于$1\leq q<2$，令$\cF$是$[0,1]$上具有有限$q$ -变差的实值函数的有界集合。证明了$\{n^{-1/2}\sum_{i=1}^nX_if(i/n)\colon\,f\in\cF\}$作为$n\to\infty$在$\cF$上有界函数的Banach空间中按外分布收敛.给出了回归模型和多变点模型的几个应用。

中心随机变量序列的随机和在有限三阶矩下的收敛速度与Berry-Esseen界

On rates of convergence and Berry-Esseen bounds for random sums of centered random variables with finite third moments

我们表明，如何经典的Berry-Esseen定理正常的近似可能被用来获得centerd，实值随机变量的随机和的收敛速度相对于某一类的概率距离，包括Kolmogorov和Wasserstein距离。这种技术适用于几个例子，包括拉普拉斯分布的几何和中心的随机变量与有限的三阶矩，其中一个具体的Berry-Esseen界的近似。这个界限简化为i.i.d.中的假定最优阶$\sqrt{p}$的界限。案子

New error bounds for Laplace approximation via Stein's method

We use Stein's method to obtain explicit bounds on the rate of convergence for the Laplace approximation of two different sums of independent random variables; one being a random sum of mean zero random variables and the other being a deterministic sum of mean zero random variables in which the normalisation sequence is random. We make technical advances to the framework of Pike and Ren \cite{pike} for Stein's method for Laplace approximation, which allows us to give bounds in the Kolmogorov and Wasserstein metrics. Under the additional assumption of vanishing third moments, we obtain faster c…

放松矩条件下随机和分布正态逼近的精度界

Bounds of the accuracy of the normal approximation to the distributions of random sums under relaxed moment conditions

在放松的矩条件下，特别是在没有高于二阶矩的情况下，提高了独立随机变量之和的正态近似分布的精度的界。这些结果被推广到泊松-二项、二项和泊松随机和。在相同的条件下，得到了相应的极限律对混合Poisson随机和分布的逼近精度的界。特别是，这些边界构造的几何分布，负二项分布和泊松逆伽马（Sichel）随机和的拉普拉斯，方差伽马和学生分布，分别近似的精度。所有的绝对常数都是显式写出的。

严格平稳Banach值随机场的弱大数定律和强大数定律

Weak and strong law of large numbers for strictly stationary Banach-valued random fields

本文为严格平稳Banach值随机场建立了弱和强大数定律，通过矩条件和相依性假设，利用多指标鞅和m-相依逼近，证明了部分和的几乎必然及L^p收敛，并应用于Bernoulli位移和i.i.d.泛函。

贝叶斯反问题中的Laplace方法

Laplace's method in Bayesian inverse problems

在贝叶斯逆问题设置中，解决方案由通过结合先验信念、关于前向算子的信息和噪声观测数据获得的后验测量组成。这个测度通常是在高维（或无限维）巴拿赫空间中相对于参考测度的密度。虽然蒙特卡罗抽样方法提供了一种查询后验的方法，但在实践中需要多次评估前向算子（这通常是一个昂贵的PDE求解器）。出于这个原因，许多从业者选择一个合适的高斯近似的后验测量，在一个程序称为拉普拉斯方法。一旦生成，这个高斯测度就更容易采样，并且可以立即获取矩等属性。本文推导出拉普拉斯近似的后验测度归因于反问题的后验测度的二阶近似的数据失配功能，特别是在无限维设置。利用反向的柯西-施瓦茨不等式，我们能够明确地约束后验与其近似之间的Hellinger距离。

巴拿赫空间中law of large numbers的一个比较定理

A comparison theorem for the law of large numbers in Banach spaces

设$(\mathbf{B}, \|\cdot\|)$是一个实可分Banach空间。令$\{X, X_{n}; n \geq 1\}$是i.i.d. { \bf B}值随机变量和集合$S_{n} = \sum_{i=1}^{n}X_{i},~n \geq 1$。设$\{a_{n}; n \geq 1\}$和$\{b_{n}; n \geq 1\}$是正实数的递增序列，使得$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \infty$和$\left\{b_{n}/a_{n};~ n \geq 1 \right\}$是非减序列.在本文中，我们提供了一个比较定理的大数定律i.i.d. { \bf B}值随机变量。也就是说，我们表明，$\displaystyle \frac{S_{n}- n \mathbb{E}\left(XI\{\|X\| \leq b_{n} \} \right)}{b_{n}} \rightarrow 0$几乎肯定（分别）。对于每个{ \bf B}值随机变量$X$，其中$\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(\|X\| > b_{n}) < \infty$（分别为$\lim_{n \rightarrow \infty}n\mathbb{P}(\|X\| > b_{n}) = 0$），如果$S_{n}/a_{n} \ri…

巴拿赫空间中的正则变化时间序列

Regularly varying time series in Banach spaces

当一个空间过程被记录在一段时间内，并且在给定时刻的观测被看作是函数空间中的一个点时，其结果是一个在巴拿赫空间中取值的时间序列。为了研究这样一个时间序列的时空极值动力学，假设后者是联合定期变化。这个假设被证明是等价于依分布收敛分布的重新缩放的时间序列有条件的事件，在一个给定的时刻，它是远离原点。根据重标度的方式，极限被称为尾过程或谱过程。这些过程提供了方便的起点，研究，例如，联合生存函数，尾部相关系数，极值，极值指数，和极端的点过程。该理论适用于由线性变换的独立随机元的无穷和组成的线性过程，这些随机元的公共分布是有规律地变化的。

关于纯不连续$L_q$值鞅的极大不等式

On maximal inequalities for purely discontinuous $L_q$-valued martingales

证明了关于补偿随机测度的由随机积分得到的$L_q$值鞅的极大不等式. Dirksen（arXiv：1208：3885）首先使用基于独立Banach空间值随机变量之和的不等式、巴拿赫空间的几何性质和解耦不等式的参数得到了关于补偿泊松随机测度的积分的这些估计的一个版本。我们的证明是完全不同的，几乎完全依赖于经典的随机分析真正的半鞅。

On Azuma-type inequalities for Banach space-valued martingales

In this paper, we will study concentration inequalities for Banach space-valued martingales. Firstly, we prove that a Banach space $X$ is linearly isomorphic to a $p$-uniformly smooth space ($1<p\leq 2$) if and only if an Azuma-type inequality holds for $X$-valued martingales. This can be viewed as a generalization of Pinelis' work on Azuma inequality for martingales with values in $2$-uniformly smooth space. Secondly, Azuma-type inequality for self-normalized sums will be presented. Finally, some further inequalities for Banach space-valued martingales, such as moment inequalities for double …

和与差的小球不等式的组合解法

A combinatorial approach to small ball inequalities for sums and differences

小球不等式在高斯过程和相关的Banach或希尔伯特空间中得到了广泛的研究。在本文中，我们专注于研究的小球概率的独立，同分布的随机元的和或差的值在非常一般的集合。根据设置-交换或非交换群，或向量空间，或巴拿赫空间-我们提供了一个集合的不等式有关不同的小球概率，在许多情况下是尖锐的利益。我们证明这些分布免费的概率不等式显示，它们的基础是极值组合性质的不平等，除其他事项外，经典的包装问题，如接吻数的问题。应用矩不等式。

关于Lipschitz函数在向量值随机和上的作用

On the action of Lipschitz functions on vector-valued random sums

设$X$是一个Banach空间，$(ξ_j)_{j\ge 1}$是一个独立同分布的Banach空间.对称随机变量序列，具有所有阶的有限矩。我们证明了下列断言是等价的：（1）。存在一个常数$K$，使得对于满足$f(0)=0$的所有Lipschitz函数$f:X\to X$和$X$中的所有有限序列$x_1,...,x_n$，有$$ \Bigl(\E\Big\|\sum_{j=1}^n ξ_j f(x_j)\Big\|^2\Bigr)^{\frac12} \leq K \n f\n_{\rm Lip} \Bigl(\E\Big\|\sum_{j=1}^n ξ_j x_j\Big\|^2\Bigr)^{\frac12} $$.（二）、$X$同构于希尔伯特空间。

Contraction principle for trajectories of random walks and Cramer's theorem for kernel-weighted sums

In 2013 A.A. Borovkov and A.A. Mogulskii proved a weaker-than-standard "metric" large deviations principle (LDP) for trajectories of random walks in $R^d$ whose increments have the Laplace transform finite in a neighbourhood of zero. We prove that general metric LDPs are preserved under uniformly continuous mappings. This allows us to transform the result of Borovkov and Mogulskii into standard LDPs. We also give an explicit integral representation of the rate function they found. As an application, we extend the classical Cram'er theorem by proving an LPD for kernel-weighted sums of i.i.d. ra…

黎曼流形上随机游走导出的加权张量和函数的尾部界

Tail Bounds for Functions of Weighted Tensor Sums Derived from Random Walks on Riemannian Manifolds

本文利用Mond-Pecaric方法建立新张量不等式，并结合Laplace-Beltrami算子谱信息，为流形上随机游走导出的加权张量和给出新的尾部界及转移矩阵列和估计。