A Basis Theorem for Rings with Commuting Operators in Characteristic Zero
本文受Kolchin与Cohn相关基定理启发，提出特征零且带有交换广义Hasse-Schmidt算子的多项式环的基定理，将Kolchin和Cohn的结果作为特例恢复。
2025-02-14 math.AC math.RA
On combinatorial algebras generated by three commuting matrices
本文研究了由三个可交换矩阵生成的组合代数，证明了在特定条件下其维度上限。
2025-11-27 math.AC math.CO
Commuting matrices, and modules over Artinian local rings
Gerstenhaber在1961年表明，任何交换对n × n矩阵在一个领域k产生一个k-代数A的k-维\leq n。一个著名的例子表明，4个矩阵的相应语句是假的。3矩阵的问题是开放的。Gerstenhaber的结果可以看作是关于2-生成元有限维交换k-代数A的长度与忠实A-模的长度之间关系的一个陈述。Wadsworth将这个结果推广到比域上两个元素生成的环更大的一类交换环。我们恢复他的概括，使用稍微改进的论点。然后，我们探讨一些例子，提出进一步的问题，并在回答其中一些问题方面取得了一些进展。附录给出了不一定交换的Artin环上模的生成和次直分解的一些结果，推广了本文中使用的一种特殊情况。我最初认为我的主要结果原来已经预期沃兹沃思，所以我可能不会提交出版，除非我找到进一步的强有力的结果添加。然而，其他人可能会发现有趣的观察，部分结果，并指出的问题，并可能取得一些进展。
2013-08-31 math.AC
On the algebra generated by three commuting matrices: combinatorial cases
本文研究三个两两交换矩阵生成代数的维数上界问题，针对由组合数据产生的特殊三元矩阵组类，回答了Gerstenhaber关于矩阵对结论能否推广到三元组的公开问题。
2024-02-26 math.AC math.CO math.OA
Jordan types for pairs of commuting nilpotent matrices: A survey
University of Ljubljana, Faculty of Mathematics and Physics（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、力学和物理研究所）
本文综述了交换幂零矩阵对的Jordan类型的研究结果，并回顾了关于幂零交换子中具有相同稠密轨道的Jordan类型的Box猜想的最新证明。
2026-06-01 math.AC math.AG math.CO
Almost commuting matrices with respect to the rank metric
我们证明了如果A_1，A_2，.，A_n是方阵，它们都是酉或自伴矩阵，且它们关于秩度量几乎可交换，则可以求出可交换矩阵B_1，B_2，.，B_n的矩阵A_i的秩度量。
2021-04-01 math.AC math.FA math.OA
Symmetric products, linear representations and the commuting scheme
证明了交换环上的多对称函数环同构于交换一般矩阵中多项式的特征多项式的系数所生成的环。作为结果，我们给出了从多个矩阵的不变量环到多对称函数环的满射，推广了H.Weyl和F.Junker的一个经典结果。我们还发现了一个满射环的不变量的交换计划的环的多对称函数。这种满射是特征零域上的同构，并且在正特征的无限域上的约化结构的水平上诱导同构。
2007-06-08 math.AC math.AG math.RT
On pairs of commuting derivations of the polynomial ring in two variables
设$k$是特征为零的任意域，$k[x, y]$是多项式环，$D$是环$k[x, y]$的$k$ -导子.回想一下，如果$D(F)=λF$对于某个多项式$λ\in k[x, y]$是$D$的导数，则称非常数多项式$F\in k[x, y]$是$D$的达布多项式。证明了在域$k$上任意两个线性无关的交换环$k[x, y]$的$k$ -导子$D_{1}$和$D_{2}$要么有公共的达布多项式，要么$D_{1}=D_{u_{1}}, D_{2}=D_{u_{2}}$是雅可比导子，即，$D_{i}(f)=\det J(u_{i}, f)$对于每个$f\in k[x, y], i=1, 2,$其中多项式$u_{1}, u_{2}$满足条件$\det J(u_{1}, u_{2})=c\in k^{\star}.$这个关于导子的陈述是来自线性代数的关于交换线性算子对的公共特征向量的已知事实的模拟。
2009-11-11 math.AC math.RA
Nearly Commuting Matrices
本文证明了当矩阵的大小等于3时，正素特征域上具有对角交换子的矩阵对的代数集，其不可约分量及其交是$F$ -纯的.此外，我们证明了这个代数集是约化的，并且对于任意大小的矩阵对，它的不可约分量的交集在任何特征下都是不可约的。此外，我们还讨论了这些代数集的奇异性和相应的坐标环上的参数系的各种表示。
2017-12-14 math.AC math.AG
On the Irreducibility of Commuting Varieties of Nilpotent Matrices
给定一个代数闭域K上的n × n幂零矩阵，证明了与之可交换的所有n × n幂零矩阵的集合的性质，并证明了当char K = 0或char K不小于n/2时，所有n × n幂零矩阵对（A，B）簇的不可约性.作为结果，我们证明了在K上光滑代数曲面的n个点的局部Hilbert格式在上述条件下是不可约的。
2003-01-20 math.AC math.AG
Commuting Schemes of Upper Triangular Matrices and Representation Homology
本研究建立了与上三角幂幺矩阵群概形$U_n$相关的高亏格广义交换概形$C_g(U_n)$和黎曼曲面的$U_n$系数表示同调的联系，并给出了判定$C(U_n)$是否为完全交的数值准则。
2025-10-22 math.AC math.AG math.AT
A Proof of the Box Conjecture for Commuting Pairs of Matrices
本文利用Burge对应和Shayman关于幂零矩阵不变子空间的结果，在任意域上证明了Iarrobino等人提出的关于交换幂零矩阵对的Box猜想，刻画了幂零交换子中稠密轨道的Jordan型。
2024-04-02 math.AC math.AG math.CO
On pairs of commuting nilpotent matrices
设$B$是幂零矩阵，并假定它的Jordan标准形由一个划分$λ$确定.证明了它的幂零交换子$N_B$是一个不可约簇，且存在唯一的划分$μ$，使得对应于$μ$的幂零矩阵与$N_B$的轨道交在$N_B$中稠密.证明了由$D(λ)=μ$给出的映射$D$是幂等映射.这回答了Basili和Iarrobino的一个问题，并部分回答了Panyushev的一个问题。在证明中，我们利用了这样一个事实：对于一般矩阵$A \in N_B$，由$A$和$B$生成的代数是Gorenstein代数。因此，一般的交换幂零矩阵对生成Gorenstein代数。如果$D(λ)$最多有两个部分，我们也用$λ$来描述$D(λ)$。
2008-05-22 math.AC math.AG
New classes of examples satisfying the three matrix analog of Gerstenhaber's theorem
1961年，Gerstenhaber证明了如下定理：如果k是一个域，X和Y是元素在k中的交换dxd矩阵，则由这些矩阵生成的单位k-代数的维数至多为d。对于四个或更多的交换矩阵，这种说法的类比是错误的。三个矩阵版本仍然开放。我们使用交换代数技术证明了三个矩阵模拟的Gerstenhaber定理是正确的一些新的类的例子。特别地，我们将这三个交换矩阵的陈述转化为一个关于模间映射的等价陈述，并证明了在特殊情况下，这种交换代数的重新表述是正确的。我们结束的想法，旨在处理的三个矩阵模拟Gerstenhaber定理更一般的归纳方法。
2017-11-28 math.AC
Components and singularities of Quot schemes and varieties of commuting matrices
我们研究交换矩阵的多样性。我们将其分量分类为任意数量的大小不超过7的矩阵。我们证明，从四元组的大小为8的矩阵，该计划具有一般非约化组件，而到7度，它是一般减少。我们的方法是重铸的问题作为变形的模块和推广的一系列方法：apolarity，对偶和Biaenynicki-Birula分解到这个设置。我们包括我们的方法进行了彻底的审查，使文件自成一体，代数和线性代数社区访问。我们的结果给出了点的Quot方案的相应说明，特别是我们对$d\leq 7$和所有$r$，$n$的$Quot_d(O_{\mathbb{A}^n}^{\oplus r})$的分量进行了分类.
2022-03-08 math.AC math.AG math.RT
On systems of commuting matrices, Frobenius Lie algebras and Gerstenhaber's Theorem
本文的工作涉及三个问题，方阵李代数的极大Abel子代数的分类，二步可解Frobenius李代数的分类和Gerstenhaber定理。设M和N是两个交换的n阶方阵，其元素在一个代数闭域K中.然后他们生成的结合交换K-代数的维数至多为n。这个结果是由Murray Gerstenhaber在1961年证明的。对于三个可交换矩阵的这种性质的类比仍然是一个公开的问题，对于更大数目的可交换矩阵，它的版本一般不成立。本文给出了对任意交换矩阵和任意域K满足这一性质的一个充分条件。这一结果是通过对2-步可解Frobenius李代数的结构的讨论以及对它们的左对称代数结构的完整刻画而得到的.讨论了2-步可解Frobenius李代数的分类，证明了它等价于方阵李代数的n维MASA的分类，并给出了矩阵与向量相乘的逆作用的开轨道.在任何维度中讨论了许多示例，并在低维度中提供了完整的分类列表。此外，在任意有限维上，我们给出了所有对应于非减损矩阵的2步可解Frobenius李代数的完全分类。
2021-07-29 math-ph math.AC math.MP
A commuting derivations theorem on UFDs
设$A$是$k$（特征为零的域）上的多项式环，其变量为$n+1$。交换导子猜想指出$n$交换$A$上的局部幂零导子，在$A$上线性无关，必须满足$A^{D_1,...,D_m}=k[f]$其中$f$是一个坐标.该猜想可以表述为：在$k^{n+1}$上的$(G_m)^n$ -作用必须有不变环$k[f]$，其中$f$是坐标。本文证明了一个命题（定理\ref{CDH2}），其中我们假设$A$（$A$是超越度为$n+1$满足$A^*=k$的$k$上的{ \sc UFD}）上的环数较少，并证明了较少（$A/(f-α)$是除了n个$α$以外的所有$α$的多项式环）.在一定的条件下（$D_i$是线性独立的模$(f-α)$为每个$α\in k$），我们证明了$A$是一个多项式环本身和$f$是一个坐标。通过将“$G_a^n$ -action”替换为“维度$n$的自由幂单作用”，可以更一般地证明这一陈述。我们使链接（Abhyankar-）Sataye猜想，并给出一个新的等价制定的Sataye猜想。
2008-06-12 math.AC math.AG
Pairs of commuting nilpotent matrices, and Hilbert function
设K是无限域，用H（n，K）表示元素在K中的交换幂零n × n矩阵对（A，B）族.最近有大量的研究之间的联系H（n，K）和纤维H[n]的点希尔伯特计划的平面，在一个n重点的对称产品，由V. Basili和A.普雷梅特本文利用Artin环K[A，B]的Hilbert函数研究了H（n，K）的分层性.本文证明了当dim_K K[A，B] = n时，束A+λB的类元λ \in K具有对角长度为K[A，B]的Hilbert函数的最大分划P（H）的Jordan分划.我们用Q（P）表示幂零A与幂零B交换的Jordan划分P的最大Jordan划分。我们证明了那些使得Q（P）=P的稳定划分是那些部分至少相差2的划分。在特征零中，后者是D的一个结果的特例。潘尤舍夫我们对铅笔的结果表明Q（P）有下降部分。在相关工作中，T。Kosir和P.Oblak进一步证明了Q（P）本身是稳定的。
2008-02-09 math.AC math.AG
2-step ideals and commuting matrices
University of Ljubljana, Faculty of mathematics and physics（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of mathematics, physics and mechanics（数学、力学与物理研究所）
本文利用 Hilbert 方案与交换矩阵的对应关系，定义与 2-步理想对应的矩阵轨迹，估计其维数，为 n=3 情形下 2-步理想轨迹维数提供新证明，并省略部分假设。
2026-09-22 math.AC math.AG math.RA
