Towards Massively Parallel Computations in Algebraic Geometry
引入并行性并探索其使用仍然是计算机代数社区的一个基本挑战。另一方面，在高性能数值模拟中，遵循协调与计算分离原则的分布式计算透明环境多年来一直是成功的。在本文中，我们将探讨在计算机代数的背景下使用这一原则的潜力。更准确地说，我们结合了两个完善的系统：我们感兴趣的数学在计算机代数系统Singular中实现，其重点是多项式计算，而协调则留给工作流管理系统GPI-Space，它依赖于Petri网作为其数学建模语言，并且已经成功地用于协调学术代码的并行执行（自动并行化）以及用于诸如地震数据处理的应用领域中的商业软件。我们的努力的结果是一个大规模并行计算的框架在奇异的应用领域，特别是在交换代数和代数几何的一个重要步骤。作为这个框架的第一个测试案例，我们已经建模并实现了混合光滑测试代数簇，它结合了Hironaka著名的desingularization证明与经典的雅可比标准的想法。将我们的实现应用于两个源自当前代数几何研究的示例，其中一个无法通过其他方式处理，我们说明了我们框架内平滑度测试的行为，并研究了计算如何扩展到256个核心。
2018-08-29 math.AG
Algorithmic Computation of Local Cohomology Modules and the Cohomological Dimension of Algebraic Varieties
在本文中，我们提出的算法，计算某些局部上同调模相关的一个环的多项式包含有理数。特别地，我们能够计算特征零的代数簇的局部上同调维数。我们的方法是基于D-模的理论。
1997-12-09 alg-geom math.AG
A Step towards Computational Derived Algebraic Geometry: The RepHomology Package For Macaulay2
本文推出 Macaulay2 的 RepHomology 软件包，提供曲面（群、代数及李代数系数）与链环补集表示同调的计算功能，推动计算导出代数几何发展。
2024-10-24 math.AC math.AG
Efficient computation of the branching structure of an algebraic curve
给出了一种计算由代数曲线定义的紧致黎曼曲面分支结构的有效算法。通过判别点的最小生成树构造了在曲线判别点处打孔的分歧覆盖的基的基本群的生成元。这导致点之间的最小长度的路径，这对于稍后的阶段是重要的，其中这些路径被用作积分轮廓来计算表面的周期。曲面的分支结构是通过解析地沿着基本群的生成元连续定义代数曲线的方程的根而得到的。
2011-08-09 cs.CG math.AG
Prime factorization using quantum annealing and computational algebraic geometry
我们从两个角度研究素因子分解：量子退火和计算代数几何，特别是Gröbner基地。我们提出了一种新的可扩展的算法，它结合了这两种方法，并导致因式分解的所有双素数刚刚超过$200 \, 000$，最大的数字因式分解到目前为止，使用量子处理器。
2016-06-16 cs.CR math.AC math.AG
The critical curvature degree of an algebraic variety
在这篇文章中，我们研究的复杂性，在计算的范围内，特别是计算的临界球面曲率点的任意维代数簇。我们提出了临界球面曲率点的性质以及计算它的算法。
2023-02-12 math.AG math.OC
Bad Primes in Computational Algebraic Geometry
对有理数的计算经常会遇到中间系数膨胀的问题。这个问题的一个解决方案是应用给定的算法模一些素数，然后提升模结果的有理数。如果我们使用足够大的好素数集，这种方法就能保证有效。然而，在许多应用中，没有有效的方法来排除坏素数。在这篇文章中，我们描述了一种有理重构的技术，只要所选素数集中的好素数的数量足够大，它仍然会返回正确的结果。我们给出了一些使用计算机代数系统奇异和编程语言Julia实现的示例。我们讨论我们的技术在计算代数几何中的应用。
2017-02-22 cs.SC math.AG
Numerical Algebraic Geometry for Macaulay2
数值代数几何使用数值数据来描述代数簇。它是基于数值多项式同伦连续的方法，一种替代经典的计算代数几何符号方法。我们提出了一个软件包，背后的驱动思想是相互联系的现有符号的方法Macaulay 2和强大的引擎的数值近似计算。该软件包的核心程序具有与其他同伦延拓软件相媲美的性能。
2011-05-22 cs.MS math.AG
An improvement upon unmixed decomposition of an algebraic variety
将代数簇分解为不可约或等维分量是经典代数几何的基本任务，在现代几何工程中有着广泛的应用。一些研究人员研究了这个问题，并使用$Gr$ $bner$基方法开发了有效的算法。本文在改进$Zero(sat(\mathbb{T}))$计算的基础上，对代数簇的非混合分解的计算进行了改进，其中$\mathbb{T}$是$\textbf{K[X]}$中的一个三角集.
2010-12-06 math.AC math.AG
Efficient computation of a semi-algebraic basis of the first homology group of a semi-algebraic set
设$\mathrm{R}$是实闭域，$\mathrm{C}$是$\mathrm{R}$的代数闭包.本文给出了一个计算由闭公式定义的半代数集合$S \subset \mathrm{R}^k$的第一个同调群$\mathrm{H}_1(S,\mathbb{F})$的半代数基的算法，该同调群的系数在域$\mathbb{F}$中。算法的复杂度是单指数有界的。对于具有单指数复杂度的高阶同调群，如何计算这样的基是未知的。作为算法的中间步骤，我们构造了给定半代数集$S$的半代数子集$Γ$，使得对于$q=0,1$，$\mathrm{H}_q(S,Γ) = 0$。我们涉及到这个建设的一个基本定理在复杂的代数几何说明，任何仿射品种$X$的尺寸$n$，存在Zerenki闭子集\[ Z^{(n-1)} \supset \cdots \supset Z^{(1)} \supset Z^{(0)} \]与$\dim_{\mathrm{C}} Z^{(i)} \leq i$，和$\mathrm{H}_q(X,Z^{(i)}) = 0$为$0 \leq q \leq i$。我们猜想这个结果的定量版本的半代数范畴，$X$和$Z^{(i)}$取代封闭的半代数集。通过证明$Z^{(0)}$和$Z^{(1)}$的存在性，我们在这个猜想上取得了初步的进展，其复杂性是单指数有界的（以前，这样的算法只用于构造$Z_0$）。
2021-07-19 math.AG math.AT
Computation of the component group of an arbitrary real algebraic group
本文利用代数群结构结果与 Galois 上同调方法，显式计算任意连通实代数群对应实李群的连通分支群，并证明其必为初等阿贝尔 2-群。
2023-11-09 math.AG math.DG math.GR
Exact Symbolic-Numeric Computation of Planar Algebraic Curves
提出了一种新的计算实平面代数曲线排列的证明和完备算法。它提供了一个几何拓扑分析的分解的平面引起的有限数量的代数曲线方面的柱形代数分解。从高层次的角度来看，整个方法分为两个主要的子程序，即一个算法表示Bisolve隔离的零维二元系统的真正的解决方案，和一个算法表示GeoTop分析一个单一的代数曲线。与现有的基于消除技术的方法相比，我们大大提高了相应的提升步骤，在这两个子程序。因此，输入系统的通用位置永远不会被假设，因此我们的算法永远不会要求任何坐标的变化。此外，我们大大限制了所涉及的精确运算的类型，也就是说，我们只使用结果和gcd计算作为纯符号运算。后者的结果是通过结合不同领域的技术，如（模块化）符号计算，数值分析和代数几何。我们已经实现了我们的算法作为原型的C++项目CGAL的贡献。他们利用图形硬件来加速符号计算。我们还比较了我们的实现与目前的参考实现，即LGP和Maple的隔离多项式系统的解决方案，和CGAL的二元代数核的分析和安排计算的代数曲线。对于各种具有挑战性的情况下，我们详尽的实验表明，新的实现优于现有的。
2012-01-07 cs.CG cs.MS cs.SC
On the computation of intersection numbers for twisted cocycles
扭上圈的交数是在代数几何领域的数学中出现的。最近，它们出现在物理学中：扭曲上循环的交叉数定义了费曼积分的向量空间上的标量积。随着这一应用，扭曲上圈的交集数的实际和有效的计算成为一个感兴趣的话题。一个现有的算法的扭曲的余圈的交集数的计算需要在中间步骤中引入代数扩展（例如平方根），虽然最终的结果可以表示没有代数扩展。在这篇文章中，我提出了一个改进的算法，它避免了代数扩展。
2021-06-29 hep-ph hep-th math-ph
Computation of $\wp$-functions on plane algebraic curves
本文提出基于低亏格平面代数曲线黎曼面解析模型的$\wp$-函数数值计算方法，利用显式根式解直接计算Abel像，并用Jacobi反演验证，同时给出确定黎曼常数向量对应唯一特征的方法。
2025-01-04 math-ph math.AG math.MP
Arrangement Computation for Planar Algebraic Curves
提出了一种计算实平面代数曲线排列的新的证明和完备算法。我们的算法提供了一个几何拓扑分析的分解的平面引起的有限数量的代数曲线在一个柱形代数分解的平面。与以前的方法相比，我们在两个主要方面进行了改进：首先，我们大大减少了精确运算的数量，即我们的算法只使用结果和gcd作为纯符号运算。其次，我们引入了一个新的混合方法，在我们的算法的提升步骤，结合使用认证的数值复根求解器和所得计算的信息。此外，我们从不考虑任何坐标变换，输出也是相对于初始坐标系给出的。我们实现了我们的算法作为一个原型包的C++库CGAL。我们的实现利用图形硬件来加快结果和gcd计算。我们还比较了我们的实现与目前的参考实现，即CGAL的曲线分析和安排代数曲线。对于各种具有挑战性的情况下，我们的实验表明，新的实现优于现有的。
2011-03-24 cs.CG cs.MS cs.SC
Functional norms, condition numbers and numerical algorithms in algebraic geometry
在数值线性代数中，一个行之有效的做法是选择一个规范，利用手头的问题的结构，以优化精度或计算复杂性。在数值多项式代数中，单一范数（归因于Weyl）主导着文献。这篇文章开始使用$L_p$规范的数值代数几何，重点是$L_{\infty}$。这个经典的想法产生强大的改进，在分析的步骤数进行了许多迭代算法。特别地，我们展示了三种算法，其中，尽管计算$L_{\infty}$ -范数的复杂性，但使用$L_p$ -范数显著降低了计算复杂性：实代数几何中用于计算半代数集的同调的基于细分的算法，计算几何中众所周知的网格化算法，以及复二次多项式系统零点的计算（Smale第17问题的一个特例）。
2022-01-18 cs.CC cs.CG cs.NA
