A Series Expansion for Integral Powers of Arctangent
Michael Milgram
给出了函数（arctan（x）/x）^n的一种新的级数展开式，并得到了展开系数的一些性质.
A new series expansion for the function (arctan(x)/x)^n is developed and some properties of the expansion coefficients are obtained.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Asymptotic expansion of a function defined by power series
给出了由Taylor级数定义的函数的负幂级数渐近展开式存在的一个充分条件，并给出了该展开式系数的酉公式.给出了一个反正切函数的计算实例。
Infinite derivative's series expansion of Indefinite and Definite Integral
本文证明了不定积分作为无穷导数的级数展开式的积分的存在性。这也为定积分的积分开辟了一条新的途径。
Asymptotic expansions of integral means and applications to the ratio of gamma functions
积分平均是一类重要的二元平均。本文证明了积分平均值渐近展开中系数的一种非常一般的计算方法。它基于显式求解形式为$B(A(x))=C(x)$的方程，其中$B$和$C$具有已知的渐近展开。通过计算与伽玛函数和双Γ函数有关的几个重要积分平均值，说明了所得结果。
Some curious q-series expansions and beta integral evaluations
通过对基本超几何级数的某些恒等式应用逆关系，推导出了几个奇异的q级数展开式。在重写了其中一些关于q积分的展开式之后，我们在极限q -> 1中得到了一些奇怪的β型积分估计，这些估计似乎是新的。
The asymptotic expansion of Kratzel's integral and an integral related to an extension of the Whittaker function
本文利用最陡下降法研究了Krätzel积分\[F_{p,ν}(x)=\int_0^\infty t^{ν-1} e^{-t^p-x/t}\,dt\qquad (|\arg\,x|<π/2),\]对$p>0$的渐近展开为$|x|\to \infty$在扇区$|\arg\,x|<π/2$中的情形.另一种推导这种扩展使用梅林-巴恩斯积分的方法。还考虑了$p<0$、$\Re (ν)<0$以及$x$和$ν$（$p>0$）均较大的情况。第二部分讨论了涉及修改贝塞尔函数，最近被引入作为惠特克函数的扩展$M_{κ,μ}(z)$的积分的渐近展开。数值例子来说明所获得的各种扩展的准确性。
Complete asymptotic expansions for the relativistic Fermi-Dirac integral
费米-狄拉克积分出现在核天体物理学、固态物理学或半导体建模的基础理论等应用领域的问题中。本文给出了相对论性Fermi-Dirac积分的新的完全渐近展开。这些展开可能有助于获得正确的定性理解费米系统。数值例子说明了扩展的性能。
Two Neumann Series Expansions for the Sine and Cosine Integrals
本文给出了正弦和余弦积分的第一类贝塞尔函数的级数展开式。这些表示不同于许多已知的Neumann型级数展开的正弦和余弦积分，其中包含非整数阶或二次贝塞尔函数项。此外，利用欧拉和理论，我们还得到了涉及贝塞尔函数的积分和正弦、余弦积分的一些封闭形式的估计。
Asymptotic expansion of the modified exponential integral involving the Mittag-Leffler function
我们考虑的渐近展开的广义指数积分涉及Mittag-Leffler函数最近推出的Mainardi和Masina [{ \it分数。计算值应用分析} { \bf 21}（2018）1156--1169]。我们使用两个参数的Mittag-Leffler函数来扩展这个函数的定义。讨论了类似推广的正弦积分和余弦积分的展开式。数值例子来说明每种类型的扩展获得的精度。
Asymptotic expansion of oscillatory integrals with singular phases
本文研究相位具有奇异性的一维振荡积分，给出其奇异性的渐近展开描述，并将类似结果推广到拉普拉斯积分。
Uniform asymptotic expansions for generalised trigonometric integrals and their zeros
本文提出广义三角积分及其实零点的均匀渐近展开，适用于大参数和无界复值，基于不完全伽马函数的Liouville-Green展开。
Lusin area integrals related to Jacobi expansions
研究了与Jacobi三角多项式展开式相关的混合Lusin面积积分。我们证明了这些算子在齐型相伴空间的意义下可以看作是向量值Calderón-Zygmund算子。因此，它们的各种映射性质，特别是在加权$L^p$空间上的映射性质，都遵循一般理论。
Upper bounds and asymptotic expansion for Macdonald's function and the summability of the Kontorovich-Lebedev integrals
建立了Macdonald函数$K_{iτ}(x)$的一致上界和带显式余项的渐近展开.结果可以应用于，例如，研究的可和性的分歧Kontorovich-Lebedev积分的意义下的琼斯。也就是说，我们肯定地回答一个问题（参见。[6])这些积分是否收敛甚至整个功能的指数型在一个弱的意义。
Resolution of singularities, asymptotic expansions of oscillatory integrals, and related phenomena
进一步发展了作者的早期论文（math.CA/0609217）中的奇点的基本奇点的分解算法，用矩形乘以光滑函数的特征函数代替了爆炸坐标中的准凸函数。作为应用，给出了振荡积分及相关对象的渐近展开的存在性的初等证明。此外，给出了关于这些扩展的一些更详细的信息。
Existence of positive solutions of a Hammerstein integral equation using the layered compression-expansion fixed point theorem
本文证明了一类Hammerstein型积分方程在核上满足一定条件时正解的存在性。我们应用最近的分层压缩-膨胀不动点定理。最后，我们提供了推论，以帮助应用的主要结果，并提出了一个例子。
Series Expansion of Generalized Fresnel Integrals
这两个菲涅耳积分是复值exp（ix ^2）上积分的实部和虚部，作为上极限的函数。它们是x^m*exp（i*x^n）上整数次幂m和n的积分的特殊情形，本质上是不完全Γ函数.我们进一步推广并专注于具有核p（x）*exp[i*phi（x）]和多项式p和phi的积分的计算。系列反转的phi似乎没有多大帮助，但重复的部分积分导致一个辅助振荡函数的一阶微分方程，它允许融合的积分和它们的互补积分。
Gevrey expansions of hypergeometric integrals II
在一定的假设条件下，研究了非正则超几何系统的Gevrey级数解的整表示.我们证明了，对于这样的系统，任何Gevrey级数解，沿其奇异支撑的坐标超平面，是一个仔细选择的整表示给出的全纯解的渐近展开。
Higher-order asymptotic expansions for Laplace's integral and their error estimates
本文研究Laplace积分的渐近分析，推导了带有误差估计的高阶渐近展开公式以推广前人结果，并比较了这些公式与数值积分的近似效果。
Series expansions for the third incomplete elliptic integral via partial fraction decompositions
我们发现勒让德第三不完全椭圆积分的收敛二重级数展开式在单位正方形的重叠子域中是有效的。截断展开式在对数奇点$(1,1)$附近提供渐近近似，如果其中一个变量比另一个更快地接近该点。每个近似值都有一个误差界。对于在$(1,1)$处具有任意斜率的曲线，我们的展开式可以根据曲线上的一点重新排列为渐近展开。为了读者的方便，我们给出了一些数值例子和低阶近似的显式表达式。
Vector-valued extensions for fractional integrals of Laguerre expansions
证明了定义在两个不同的拉盖尔函数规范正交系上的分数次积分的向量值不等式。我们的研究结果是基于相应的内核与精确控制的参数估计。作为应用，得到了与谐振子有关的分数次积分的混合模估计。
Generalized Fresnel integrals as oscillatory integrals with positive real power phase functions and applications to asymptotic expansions
本文在利用柯西积分定理证明菲涅耳积分时，首先通过变换积分路径来推广菲涅耳积分。其次，根据振荡积分，得到了广义菲涅耳积分的进一步推广。利用这个结果，我们还得到了具有正实参数的振荡积分，对于退化临界点用正实幂表示的相函数，包括中等振荡，以及对于适当的振幅函数的渐近展开式.这一结果给出了一个更好的扩展的一个变量，这是已知的一个方法的一个渐近展开的振荡积分的相位函数与非退化临界点的固定相方法。
Computation of the coefficients appearing in the uniform asymptotic expansions of integrals
出现在积分的一致渐近展开中的系数通常非常复杂。在现有的文献中，大多数工作只给出了前两个系数。在有限数量的论文中，给出了更多的系数，对聚结点附近的系数的评估通常是高度数值不稳定的。在本文中，我们说明了如何著名的柯西型整表示可以用来计算系数在一个非常稳定和有效的方式。我们讨论这些案例：（i）两个聚结鞍，（ii）两个鞍与两个分支点聚结，（iii）积分区间端点附近的鞍点。作为（ii）的一个特殊情况，我们给出了一个新的一致渐近展开的雅可比多项式$P_n^{(α,β)}(z)$的拉盖尔多项式$L_n^{(α)}(x)$作为$n\to\infty$，保持一致的$z$附近的$1$。包括几个数字插图。
On Direct Integral Expansion for Periodic Block-Operator Jacobi Matrices and Applications
我们构造了一个函数模型（直接积分展开），研究了某些周期块算子Jacobi矩阵，特别是一般二维二阶部分差分算子的谱.我们得到的上界，在某种意义上，最佳的勒贝格测度的光谱。给出了谱中存在多个间隙的算子的例子。
On asymptotic expansions of oscillatory integrals with phase functions expressed by a product of positive real power function and real analytic function in one variable
本文利用一元正实幂相函数振荡积分的渐近展开，得到了一元正实幂函数与实解析函数乘积表示的振荡积分的渐近展开.并给出一个具体计算渐近展开中各项系数的例子。
Higher-order asymptotic expansion with error estimate for the multidimensional Laplace-type integral under perturbations
本文提出了一种在扰动相函数下多维拉普拉斯型积分的高阶渐近展开方法，并给出了误差估计，扩展了拉普拉斯方法的结果。
Exact expansions of Hankel transforms and related integrals
研究了整数n>=-1和q为正参数时的Hankel变换H_n[f（x）]（q）= int_0 ^infinity xf（x）J_n（qx）dx.证明了只要对函数f（x）及其导数施加特殊条件，汉克尔变换就由q的倒数幂的一致且绝对收敛的级数给出。有必要强调的是，以前得到的类似公式实际上是渐近展开，只有当q趋于无穷大时才有效。如果其中一个条件被违反，我们的级数就成为渐近级数。算例表明了公式的有效性。
Oscillatory integrals with phase functions of positive real powers and asymptotic expansions
关于将振荡积分展开为关于参数的渐近级数的方法，已知的有用于非退化相的稳定相位法和用于退化相的使用奇点的奇点的分解的方法。本文的目的是将前者推广到具有正实幂的退化相，而不需要使用奇点的奇点的分解。为此，我们首先将菲涅耳积分推广为相位函数为正实幂的振荡积分。其次，利用这个结果，我们有渐近展开的振荡积分退化阶段的正实功率，包括温和的振荡和更广泛的振幅类在一个变量。此外，我们还得到了退化相的振荡积分的渐近展开，退化相由每个变量的单项式和组成，包括多元中的类型$A_{k}$，$E_6$，$E_8$。
Uniform Asymptotic Methods for Integrals
我们给出了一个概述的基本方法，可用于获得渐近展开的积分：沃森引理，拉普拉斯的方法，鞍点法，和固定相的稳定相位法。某些发展领域的渐近分析将比较与德Bruijn的书{ \em渐近方法分析}。经典的方法可以修改，以获得关于额外的参数保持一致的展开式。我们给出了一个概述的例子中，特殊函数，如互补误差函数，艾里函数，贝塞尔函数，被用作近似的均匀渐近展开。
On asymptotical expansions for certain singular integrals: 2-dimensional case
讨论了带边界流形上一般伪微分方程理论中某些算子的渐近性态问题。利用分布理论，人们可以得到这些算子的某些显式表示。这些极限分布是借助于傅里叶变换、狄拉克质量函数及其导数和与柯西型积分有关的著名分布构造的。
Expansion formulas in terms of integer-order derivatives for the Hadamard fractional integral and derivative
本文针对光滑函数，推导了Hadamard分数阶积分和导数的级数展开公式，给出了有限项截断的误差上界，并通过数值模拟验证了近似方法的有效性。
A Recursive Method for Computing Certain Bessel Function Integrals
我们调查家庭的积分涉及修改贝塞尔函数的背景下产生的中微子散射。推导了计算这些积分的递推公式，并计算了它们的渐近展开。我们证明在某些情况下，渐近展开产生的确切结果后，有限数量的条款。在每一种情况下，我们推导出一个公式，该公式限制了扩张终止的顺序。本文提出的计算方法适用于涉及贝塞尔函数或修正贝塞尔函数的类似积分族。
Computation of asymptotic expansions of turning point problems via Cauchy's integral formula: Bessel functions
本文提出利用柯西积分公式高精度计算具有大实参数的二阶微分方程转折点问题的渐近展开，重点在于贝塞尔函数的Airy型展开。
A generalized Kontsevich-Vishik trace for Fourier Integral Operators and the Laurent expansion of $ζ$-functions
基于Guillemin的工作规范拉格朗日分布，我们将介绍一个多$\log$ -齐次分布的概念，作为一种方法$ζ$ -函数的一类傅里叶积分算子，其中包括案件的振幅与渐近展开$\sum_{k\in\mathbb{N}}a_{m_k}$，其中每个$a_{m_k}$是$\log$ -齐次与程度的同质性$m_k$，但违反$\Re(m_k)\to-\infty$。我们将计算$ζ$ -函数的Laurent展开式，并给出相位函数和振幅的系数公式，以及研究推广到Kontsevich-Vishik拟迹。利用定相近似，将明确地陈述罗朗系数和$ζ$函数值的级数表示。此外，我们还介绍了符号在零处有奇点的傅里叶积分算子的$ζ$-函数用符号正则的傅里叶积分算子的$ζ$ -函数逼近的一种方法（软化）.
Analysis on Surreal Numbers
超实数类$\mathbf{No}$是约翰·康威在研究组合博弈时发现的，它拥有丰富的数值结构，并与实数共享许多算术和代数性质。为了对$\mathbf{No}$进行分析，也做了一些工作。在本文中，我们扩展了这项工作的处理功能，限制，衍生物，幂级数，积分。我们提出了超现实的定义的反正切和对数函数使用截断的麦克劳林级数。利用超实的一种新的表示，给出了一个序列极限的公式，并利用这个公式给出了收敛序列的一个完整的特征，以及通过外推计算某些级数和无穷Riemann和.类似的公式允许我们计算函数的极限（以及导数）。通过在$\mathbf{No}$上定义一个新的拓扑，即使$\mathbf{No}$不是Cauchy完备的，我们也得到了中值定理，并证明了如果存在一个一致的积分定义，微积分基本定理对超实也成立.将我们的研究扩展到定义其他解析函数、计算幂级数的一般性、找到积分的一致定义、证明Stokes定理以推广超实积分以及研究微分方程等方面。
On oscillatory integrals associated to phase functions with degenerate singular points
本文利用这一结果，得到了具有{ \bf退化}奇点的多元相函数的振荡积分的渐近展开式.利用这一结果，得到了相位函数为$A_{k}$，$E_6$，$E_8$ -函数芽的振荡积分的渐近展开式.
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