Hitting probabilities for non-linear systems of stochastic waves
我们考虑一个$d$维随机场$u = \{u(t,x)\}$，它求解了空间维$k \in \{1,2,3\}$中随机波动方程的非线性系，该系统由时间上为白色的空间均匀高斯噪声驱动。我们主要考虑的情况下，空间协方差是由Riesz内核与指数$β$。使用Malliavin演算，我们建立的概率上界和下界的随机场访问$\IR^d$的确定性子集，在条款，分别为Hausdorff措施和牛顿容量的这一集。Hausdorff测度中出现的维数接近最优，并且表明当$d(2-β) > 2(k+1)$时，点对于$u$是极坐标的。相反，在低维$d$中，点不是极坐标。然而，有一段时间，点的极性问题仍然是开放的。
2013-10-01 math.PR
From almost sure local regularity to almost sure Hausdorff dimension for Gaussian fields
随机过程的精细规律性通常用局部Hölder指数来局部度量，用分形维数来全局度量。根据Adler的工作，我们将这两个概念连接到多参数高斯随机场。更准确地说，我们证明了几乎肯定的Hausdorff维数的范围和图在任何球$B(t_0,ρ)$是有界的，从上面使用本地的Hölder指数在$t_0$。我们定义了高斯过程的确定性局部次指数，它允许获得这些维度的几乎必然下界。此外，开区间上的样本路径的豪斯多夫维数几乎肯定由局部指数的最小值控制。然后，我们将这些一般性结果应用到多参数分数布朗运动、正则函数$H$不规则的多参数分数布朗运动和豪斯多夫维数未知的广义Weierstrass函数的情形.
2012-06-04 math.PR
On a stochastic Hardy-Littlewood-Sobolev inequality with application to Strichartz estimates for the white noise dispersion
本文研究了一个随机Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.由于不等式的随机性质，可积指数之间的关系被修改。这种修改可以被理解为噪声现象的正则化。作为一个直接的应用，我们得到了白噪声色散的Schlichartz估计，这使我们能够解决[3]中的一个猜想。
2017-11-20 math.AP math.PR
The quasi-Assouad dimension for stochastically self-similar sets
随机自相似集类包含了许多著名的随机集例子，如Mandelbrot渗流和一般分形渗流。在一致开集条件和迭代函数系的一些较弱的假设下，证明了自相似随机递归集的拟Assouad维数几乎必然等于其几乎必然的豪斯多夫维数.我们进一步评论随机齐次和$V$变量集和重叠条件的删除。
2017-09-08 math.DS math.MG math.PR
Pathwise solvability of stochastic integral equations with generalized drift and non-smooth dispersion functions
本文研究了具有非光滑色散系数的一维随机积分方程，其漂移分量不受勒贝格测度的绝对连续限制。在兰珀蒂，多斯和Sussmann的精神，我们将这些方程的解决方案，以某些普通的积分方程的解决方案，索引由一个通用元素的基本概率空间。这种关系使我们能够在路径意义下求解随机积分方程。
2016-02-03 math.CA math.PR
The fractional stochastic heat equation on the circle: Time regularity and potential theory
考虑单位圆上由加性无穷维分数布朗噪声驱动的$d$线性随机热方程组$S^1$ .我们得到了解$u=\{u(t, x)\}_{t \in \mathbb{R}_+, x \in S^1}$的路径在时间上的Hölder连续性的精确结果。然后分别根据Hausdorff测度和牛顿容量建立了$u$的命中概率的下界.
2007-10-21 math.PR
Collision times of multivariate Bessel processes with their Weyl chambers' boundaries and their Hausdorff dimension
本文利用交错多项式平方将 A 型 Dyson 模型碰撞时间的 Hausdorff 维数结果推广至所有有理型多元 Bessel 过程，证明其仅依赖多重性函数最小值且与空间维数、粒子数无关。
2023-12-09 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Hausdorff and Fourier dimension of graph of continuous additive processes
加性过程是一个具有独立增量的随机过程，并且在概率上是连续的。本文研究了均值为零的连续可加过程图的几乎处处Hausdorff维数和Fourier维数。这样的过程可以表示为$X_t = B_{V(t)}$，其中$B$是布朗运动，而$V$是连续的增函数。我们表明，这些尺寸依赖于当地的统一Hölder指数。特别地，如果$V$是局部一致双Lipschitz的，则图的豪斯多夫维数将是3/2。我们还表明，傅立叶维数几乎肯定是积极的，如果$V$承认至少有一个点具有正的下Hölder正则性。还可以通过$V$的$L^q$谱来估计图的豪斯多夫维数。证明了如果$V$是由${\mathbb R}^{1}$上的一个自相似测度在凸开集条件下生成的，则图的豪斯多夫维数可以由它的$L^q$谱精确计算. Cantor Devil Staircase函数的一个示例，图的豪斯多夫维数是$1+\frac12\cdot\frac{\log 2}{\log 3}$。此外，我们将证明布朗阶梯的图形令人惊讶地具有傅立叶维数为零几乎肯定。
2022-06-30 math.CA math.PR
Stochastic Wasserstein Hamiltonian Flows
本文利用Wong-Zakai近似，研究了Wasserstein流形中的随机Hamilton流.该流形是一个概率密度空间，具有$L^2$ -Wasserstein度量张量.首先，我们证明了随机Euler-Lagrange方程，无论是从变分原理还是从粒子动力学推导出来的，都可以解释为Wasserstein流形上的随机动力学Hamilton流.我们进一步提出了一种新的变分形式来导出更一般的随机Wassersetin Hamilton流，并证明了这种新的形式适用于各种系统，包括随机薛定谔方程，具有随机色散的薛定谔方程，以及具有公共噪声的薛定谔桥问题.
2021-11-30 math.DS math.PR
Hausdorff dimension of collision times in one-dimensional log-gases
我们考虑系统的多个布朗粒子在一个维度上，相互排斥，通过对数势在实数线上，更具体地说，戴森模型。这些系统的特征在于控制相互作用强度的参数$k>0$。尽管是一个一维系统，但由于粒子之间的长程相互作用所产生的性质，该系统是有趣的。众所周知，当$k$足够小时，粒子碰撞几乎肯定会发生，而当$k$很大时，碰撞永远不会发生。然而，除了这一事实之外，到目前为止还没有关于碰撞时间的特征。本文推广了Liu和Xiao研究自相似随机过程返回原点时间的方法，得到了碰撞时间集的分形维数.在我们的例子中，我们考虑返回到至少发生一次碰撞的配置的时间，这是定义无界集的条件，而不是单个点，即原点。我们发现，分形维数表征这些系统的碰撞行为，并建立了一个明确的分界线之间的碰撞和非碰撞区域的方式类似的序参数。
2023-02-21 math.PR
Hitting probabilities for systems of non-linear stochastic heat equations in spatial dimension $k\geq 1$
考虑空间维上的$d$非线性随机热方程组，其解是一个$\R^d$值随机场$u= \{u(t\,,x),\, (t,x) \in \R_+ \times \R^k\}$ . $d$维驱动噪声在时间上是白色的，并且具有定义为具有指数$β$的Riesz核的空间均匀协方差，其中$0<β<(2 \wedge k)$。非线性既表现为加性漂移项，又表现为噪声的乘数。使用Malliavin演算的技术，我们建立了一个上界的两点密度，相对于勒贝格措施，$\R^{2d}$值的随机向量$(u(s,y),u(t,x))$，特别是，量化这个密度如何退化为$(s,y) \to (t,x)$。从这个结果，我们推导出一个下界的过程$u$的命中概率，在牛顿容量。我们还建立了一个上界的命中概率的过程中的Hausdorff措施。这些估计值可以显示点在$d > \frac{4+2k}{2-β}$时为极坐标，在$d < \frac{4+2k}{2-β}$时为非极坐标。%（如果$\frac{4+2k}{2-β}$是整数，则情况$d=\frac{4+2k}{2-β}$是开放的）。在第一种情况下，我们还表明，Hausdorff维数的范围的过程是$\frac{4+2k}{2-β}$ a.s.
2012-06-29 math.PR
Systems of stochastic Poisson equations: hitting probabilities
考虑$d$维随机场$u=(u(x), x\in D)$，它求解有界区域$D\subset \mathbb{R}^k$上的椭圆型随机方程组，该方程组具有加性白噪声和空间维数$k=1,2,3$ .证明了$u$的性质及其概率规律。对于高斯解，使用[Dalang and Sanz-Solé，2009]的结果，我们分别根据Hausdorff测度和Bessel-Riesz容量建立了命中概率的上界和下界。这依赖于对过程的正则距离的精确估计，或者等价地，依赖于拉普拉斯方程的格林函数的增量的$L^2$估计。
2017-08-22 math.PR
On the large-scale structure of the tall peaks for stochastic heat equations with fractional Laplacian
在$\mathbb{R}^d$上考虑具有分数拉普拉斯算子的随机热方程.这里，驱动噪声是广义高斯，其在时间上是白色的，但在空间上是均匀的，并且空间协方差由里斯核给出。我们研究了线性随机热方程和抛物型Anderson模型的高峰的大尺度结构。我们得到了高峰的最大阶数，并计算了（i）和（ii）高峰的宏观豪斯多夫维数。这些结果表明，（i）和（ii）都表现出多重分形行为在宏观尺度上，即使（i）是不间歇的，（ii）是间歇的。这是Khoshnevisan等人最近的一个结果推广到更广泛的一类随机热方程。
2015-10-10 math.PR
Existence of martingale solutions to a stochastic kinetic model of chemotaxis
本文基于合适假设，利用色散和随机Strichartz估计，证明了随机趋化动力学模型的局部和全局弱鞅解存在性，提出新的随机动力学传输Strichartz估计方法。
2025-04-01 math.AP math.PR
Optimal lower bounds on hitting probabilities for non-linear systems of stochastic fractional heat equations
研究了在乘性$d$维时空白噪声驱动下的空间维$1$非线性随机分数阶热方程组.我们在$(u(s, y), u (t, x))$的两点概率密度函数上建立了一个尖锐的高斯型上界。从这个结果，我们推导出最佳下界的命中概率的过程$\{u(t, x): (t, x) \in [0, \infty[ \times \mathbb{R}\}$在非高斯的情况下，在牛顿容量，这是尖锐的高斯情况下。这也改进了Dalang，Khoshnevisan和Nualart [ \textit{Probab. Theory Related Fields} \textbf{144}（2009）371- 424]中经典随机热方程系统的结果。我们还根据豪斯多夫测度建立了解的命中概率的上界。
2018-10-12 math.PR
Level sets of the stochastic wave equation driven by a symmetric Lévy noise
本文研究了由$d$维对称时空Lévy噪声驱动的$d$线性随机波动方程组的解$\{u(t,x);t\geq0,x\in\mathbf{R}\}$.给出了Lévy噪声的特征指数的一个充要条件，该条件精确地描述了$u$的零点集非空的情况.我们还计算了零集非空时的豪斯多夫维数。这些结果将遵循更一般的潜在理论定理的水平集的Lévy单。
2008-11-14 math.PR
Dispersion as a survival strategy
我们考虑随机增长模型来表示人口受到灾难。我们分析了从不同的设置考虑或不考虑空间限制，分散是否是一个很好的策略，以提高人口的生存能力的主题。我们发现，这在很大程度上取决于灾难性事件的影响、环境的空间限制以及每个暴露个体在灾难发生时的生存概率。
2016-10-07 math.PR
Macroscopic multi-fractality of Gaussian random fields and linear SPDEs with colored noise
本文考虑带广义高斯噪声的线性随机热波动方程，噪声在时间上是白噪声，在空间上是相关的。在齐次空间相关性$f$满足一定条件的前提下，我们证明了线性随机热波动方程的解在宏观尺度上具有高峰值，即宏观多重分形.我们计算了高斯随机场的宏观豪斯多夫维数的峰值与消失的相关性，然后将此结果的线性随机热和波动方程的解决方案。我们还研究了线性随机热波动方程的时空多重分形性。我们的结果是Khoshnevisan，Kim和Xiao \cite{KKX,KKX2}和Kim \cite{K}的推广，推广到更一般的一类线性随机偏微分方程和高斯随机场。
2021-01-23 math.PR
Dimensions of fractional Brownian images
本文涉及的中间尺寸，频谱的尺寸之间的Hausdorff和盒维数插值。势理论方法被用来产生Hölder映射和某些随机过程下的集的图像的维数界。利用容量定义的维数轮廓，计算了指数- $α$分数布朗运动下Borel集维数的几乎确定值.作为一个推论，这建立了连续性的轮廓博雷尔集，并允许我们获得一个明确的条件，显示如何豪斯多夫维数的一组可能会影响典型的盒维数的霍德尔图像，如投影。所使用的方法提出了一个一般性的战略相关的问题，关于一个集合的维度信息可以从分析特定的分数布朗图像的集合。最后，我们得到的例外集的豪斯多夫维数的界限，相对于中间尺寸，在设置的投影。
2021-10-02 math.MG math.PR
Influences of Numerical Discretizations on Hitting Probabilities for Linear Stochastic Parabolic System
研究了标准数值离散化对时空白噪声驱动的线性随机抛物方程组命中概率的影响。我们建立了相应的数值解的时间和空间半离散的Bessel-Riesz容量和Hausdorff测度的命中概率的上界。此外，时间和空间的半离散化的临界尺寸原来是那些的精确解的一半。这揭示了对于一大类Borel集$A$，数值解的路径到达$A$的事件的概率不能收敛到精确解的概率。
2021-04-12 cs.NA math.NA math.PR
Stochastic differential equations with singular (form-bounded) drift
本文考虑了在漂移中具有临界阶奇异性和在色散矩阵中具有临界阶不连续性的伊藤方程和Stratonovich随机微分方程的弱解的构造问题。
2019-04-02 math.AP math.PR
Criteria for hitting probabilities with applications to systems of stochastic wave equations
我们开发了几个结果击中概率的随机场，突出的作用，尺寸的参数空间。这就分别产生了Hausdorff测度和Bessel-Riesz容量的上界和下界。我们将这些结果应用到一个系统的随机波动方程在空间维度$k\ge1$驱动的$d$维空间均匀的加性高斯噪声是白色的时间和空间的颜色。
2010-11-29 math.PR math.ST stat.TH
A linear stochastic biharmonic heat equation: hitting probabilities
考虑$d$维环面上的线性随机双调和热方程（$d=1,2,3$），由时空白噪声驱动，具有周期边界条件：\begin{equation} \label{0} \left(\frac{\partial}{\partial t}+(-Δ)^2\right) v(t,x)= σ\dot W(t,x),\ (t,x)\in(0,T]\times \mathbb{T}^d,\ v(0,x)=v_0(x). \end{equation}我们找到了对应于随机场解的正则伪距离，从而精确描述了过程的各向异性。我们看到，对于$d=2$，它们包括一个$z(\log \tfrac{c}{z})^{1/2}$术语。考虑SPDE的随机场解的$D$独立副本。应用文[4]中证明的准则，我们建立了路径过程到达有界Borel集的概率的上界和下界。这就产生了关于集合的极性和路径过程的豪斯多夫维数的结果。
2021-07-22 math.PR
Stochastic invariance in infinite dimension beyond Lipschitz coefficients
École Polytechnique（巴黎综合理工学院）；Albert Ludwig University of Freiburg（弗赖堡大学）
本文研究了无穷维随机微分方程中闭子集的随机不变性条件，提出基于散射算子的修正漂移和正最大原理的两种特征化方法，并通过不变流形案例进行验证。
2026-08-25 math.PR
Evaluating dispersion strategies in growth models subject to geometric catastrophes
我们考虑随机增长模型来表示几何灾变下的种群动态。我们分析了灾难发生后不同的分散方案，研究这些方案如何影响种群生存能力，并将它们与没有分散的方案进行比较。在离散方案中，我们考虑每个群体在灾难事件发生后，都有$d$新的位置来安置它的幸存者。我们发现，当$d = 2$没有类型的分散考虑提高生存的机会，在最好的情况下，它匹配的计划，没有分散。当$d = 3$，基于生存概率，我们得出结论，分散可能是一个优势或没有，这取决于它的类型，集落生长的速度和概率，一个人将生存时，暴露于灾难。
2020-12-22 math.PR
Fractional Brownian flows
考虑n维欧几里得空间上Hurst参数H大于一半的分数布朗运动驱动的随机流，并研究了切流和周围n维欧几里得空间子流形的Hausdorff测度的增长性.主要结果是一个约束的（全球）增长率的（本地）持有人规范的流量。
2008-08-05 math.PR
On the wellposedness for periodic nonlinear Schrödinger equations with white noise dispersion
本文研究了具白噪声色散的周期非线性Schrödinger方程，通过证明随机Strichartz估计和推广Fourier限制空间，证明了特定非线性条件下的几乎必然全局适定性，并与已有解的一致性及五次方程的解析不适定性进行了探讨。
2022-08-05 math.AP math.PR
Small time asymptotics for stochastic evolution equations
得到了描述带乘性噪声的随机发展方程解的小时间渐近性的大偏差原理。我们的假设是一个条件的线性漂移算子，满足生成元的分析半群和Lipschitz连续的非线性漂移和色散系数。Szymon Peszat最初使用的小噪声渐近问题的方法适用于解决小时间渐近问题。
2010-12-03 math.PR
Nonlinear PDEs with modulated dispersion III: multiplicative noises
CNRS, Laboratoire de mathématiques de Versailles, UVSQ, Université Paris-Saclay（法国国家科学研究中心、凡尔赛数学实验室、巴黎西岱大学、巴黎萨克雷大学）；School of Mathematics, Monash University（蒙纳士大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；The Maxwell Institute for the Mathematical Sciences（麦克斯韦数学科学研究所）
研究圆上带乘性噪声的随机调制KdV方程路径适定性，在Young情形通过新噪声正则化现象证明其路径局部适定，在粗糙情形通过正则化乘性噪声项证明路径局部适定，结合非线性Young积分理论拼接引理等方法实现目标。
2026-07-10 math.AP math.PR
Interfacial Phenomena and Natural Local Time
这篇文章讨论了随机过程的当地时间的一种修改，被称为“自然当地时间”。它是由最近的实验和观测的现象，在地球物理和生物科学的数学处理中出现的理论发展引起的，有关分散在分散系数的不连续界面的存在。结果说明了新的方法，在其中使用随机过程的理论来推断宏观尺度参数和行为，从微观尺度的观察，在特定的异质环境。
2012-04-01 math.AP math.PR
Set-Valued Stochastic Differential Equations with Unbounded Coefficients
本文聚焦于凸闭无界集空间上的集值分析，建立理论框架研究具有无界系数的集值随机微分方程，证明特定条件下消去律成立及标准技巧的有效性。
2024-03-23 math.PR
The range of dimensions of microsets
如果存在序列$λ_n\geq 1$和$u_n\in \mathbb{R}^d$使得$(λ_n K + u_n ) \cap [0,1]^d$在Hausdorff度量下收敛于$E$，并且还收敛于$E \cap (0, 1)^d \neq \emptyset$，则称$E$是紧集$K\subset \mathbb{R}^d$的微集.本文的主要结果是：对于非空集$A\subset [0,d]$，存在紧集$K\subset \mathbb{R}^d$，使得由$K$的微集得到的Hausdorff维数集等于$A$当且仅当$A$是解析的且包含其下确界和上确界.这回答了弗雷泽、豪罗伊德、凯恩麦基和于的一个问题。证明了对每个紧集$K\subset \mathbb{R}^d$和非空解析集$A\subset [0,\dim_H K]$，存在一个$K$的紧子集集$\mathcal{C}$，它在Hausdorff度量和$\{\dim_H C: C\in \mathcal{C} \}=A$下是紧的.该证明依赖于随机余维的技术适用于一个适当的耦合的分形维数与世代相关的保留概率。我们还研究了类似的问题，包装和盒尺寸。
2021-04-20 math.CA math.PR
Ergodicity and invariant measures for a diffusing passive scalar advected by a random channel shear flow and the connection between the Kraichnan-Majda model and Taylor-Aris Dispersion
研究了在无通量边界条件下，平行平板通道中带有随机剪切流的平流-扩散方程的长时间行为，该随机剪切流依赖于定常的Ornstein-Uhlenbeck（O-U）过程.利用\cite{bronski1997scalar}中提出的基态本征值微扰方法，导出了任意$N$点相关器的长时间渐近性的封闭形式公式。进而，借助于Hausdorff矩问题\cite{shohat1943problem}的结论，我们发现了一个具有随机漂移和确定性增强扩散的扩散方程，该扩散方程在长时间内具有完全相同的概率分布函数.这样的方程享有许多遍历性质，立即转化为遍历结果的原始问题。特别是，我们建立的前两个阿里斯矩使用一个单一的实现的随机场可以用来明确地构建所有的合奏平均的时刻。此外，前两个系综平均时刻明确预测任何长时间为中心的阿里斯时刻。我们的公式定量地描述了确定性有效扩散对水流空间结构和随机时间波动之间相互作用的依赖性。这显著地对比了白噪声情况与噪声情况。此外，这种近似提供了许多关于平稳时间过程相关的时间积分的恒等式。对于不同类型的初始条件（如确定性和随机性），我们导出了衰减无源标量的长时间限制概率分布函数（PDF）的显式公式。所有结果都通过Monte-Carlo模拟进行了验证。
2020-12-11 math.AP math.PR physics.flu-dyn
Wick Renormalized Parabolic Stochastic Quantization Equations on Rough Metric Measure Spaces
Aarhus University（奥胡斯大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）
本文在具有亚高斯热核行为的度量测度空间上，给出了求解Wick重整化随机量化方程的充分条件，并构造了全局解的不变测度，适用于分形等粗糙空间。
2026-05-30 math-ph math.AP math.MP
A family of fractional diffusion equations derived from stochastic harmonic chains with long-range interactions
考虑具有随机扰动和长程相互作用的一维无限长谐振子链，其衰减率为多项式$|x|^{-θ}, x \to \infty, θ> 1$，其中$x \in \mathbb{Z}$为相互作用范围.我们证明，如果$2< θ\le 3$，那么宏观热能分布的时间演化是超扩散的，并由一个分数阶扩散方程与指数$\frac{3}{7-θ}$，而如果$θ> 3$，那么指数是$\frac{3}{4}$。阈值是$ θ= 3$，因为当$θ\le 3$时，色散关系的导数发散为$k \to 0$。
2019-12-04 math-ph math.MP math.PR
On new fractal phenomena connected with infinite linear IFS
建立了与无穷线性迭代函数系展开式有关的几个新的分形和数论现象。首先，我们证明了广义Lüroth展开的圆柱系统$Φ$，一般来说，不忠实于豪斯多夫维数的计算。使用尤瓦尔佩雷斯的方法，我们证明了充分条件的非忠实的家庭的缸。另一方面，我们也得到了这类覆盖系统的忠实性的一般充分条件，作为我们主要结果的推论，我们得到了经典Lüroth展开所生成的柱族的不忠实性.确定广义Lüroth展开式的划分的度量关系的随机向量$Q_\infty$的可能的无穷熵、族$Φ(Q_\infty)$的可能的不忠实性以及甚至对于具有广义Lüroth展开式的独立同分布符号的概率测度也不存在用于计算豪斯多夫维数的一般公式，这些都是不允许应用通常的概率方法的事实，以及动力系统研究相应非正规数子集分形性质的方法。尽管有上述困难，我们开发新的方法来研究的子集$Q_\infty$ -本质上是非正常的号码，并证明（没有任何额外的限制随机向量$Q_{\infty}$），这套是超分形。这一结果回答了\cite{AKNT2}中提到的公开问题，并通过广义Lüroth展开式中频率及其位数的渐近行为完成了实数的度量、维数和拓扑分类.
2015-07-20 math.FA math.MG math.NT
