The conjugacy and isomorphism problems for combable groups
Martin R. Bridson
存在共轭问题不可解的可梳群。同构问题对于可梳群的有限表示的某些递归序列是不可解的。
There exist combable groups in which the conjugacy problem is unsolvable. The isomorphism problem is unsolvable for certain recursive sequences of finite presentations of combable groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We classify $\mathcal{R}$- and $\mathcal{L}$-cross-sections of wreath products of finite inverse symmetric semigroups $\mathcal{IS}_m \wr_p \mathcal{IS}_n$ up to isomorphism. We show that every isomorphism of $\mathcal{R}$ ($\mathcal{L}$-) cross-sections of $\mathcal{IS}_m \wr_p \mathcal{IS}_n$ is a conjugacy. As an auxiliary result, we get that every isomorphism of $\mathcal{R}$- ($\mathcal{L}$-) cross-sections of $\mathcal{IS}_n$ is also a conjugacy. We also compute the number of non-isomorphic $\mathcal{R}$- ($\mathcal{L}$-) cross-sections of $\mathcal{IS}_m \wr_p \mathcal{IS}_n$.
Landau's Theorem on conjugacy classes for normal subgroups
本文推广Landau定理，证明对任意正整数n和s，具有指数为n且含s个非中心G-共轭类的正规子群的有限群在同构意义下仅有有限多个，并给出阶的上界及GAP分类结果。
Let $G$ be a finite group and $N(G)$ be the set of its conjugacy class sizes. In the 1980's Thompson conjectured that the equality $N(G)=N(S)$, where $Z(G)=1$ and $S$ is simple, implies the isomorphism $G\simeq S$. In a series of papers of different authors Thompson's conjecture was proved. In this paper, we show that in some cases it is possible to omit the conditions $Z(G)=1$ and $S$ is simple and prove a more general result.
On the isomorphism problem for generalized Baumslag-Solitar groups: invariants and flexible configurations
本研究针对具有一个拟共轭类且完全支撑带隙的广义Baumslag-Solitar（GBS）群，引入一族不变量，证明其同构问题可判定，且该不变量可完全刻画此类群的同构性。
On suspensions, and conjugacy of hyperbolic automorphisms (and of a few more)
第一部分：我们注意到一个群（通常是一个自由群）的双曲自同构对的共轭问题是可判定的.我们提出的解决方案使用的同构问题的悬浮液，和他们的自同构群的研究。第二部分：在以前的工作（第1部分）中，我们注意到自由群的环面自同构对的共轭问题可以通过双曲群的同构问题和它们的悬挂自同构群的轨道问题（即它们与Z的半直积）来解决。我们考虑同样的问题，自由群的几个自同构，那些产生相对双曲悬挂，不分裂的抛物子群。
Conjugacy in Garside Groups III: Periodic braids
Artin的辫群B_n中的一个元素称为周期的，如果它的某个幂位于B_n的中心。本文证明了在周期辫的特殊情况下，所有已知的求解B_n中共轭搜索问题的算法在辫指数n下都是指数的。我们克服了这个困难，把工作的几个已知的同构之间的Garside结构的辫群B_n和其他Garside集团。这使我们能够获得一个多项式的解决方案，原来的问题的精神，以前已知的算法。本文是第三次在一系列文件由同一作者关于共轭问题的Garside群。他们有一个统一的目标：对B_n中的共轭判定和搜索问题提出了一个多项式算法，并在可能的情况下推广到其它Garside群。这是我们的希望，这里介绍的方法将允许推广的结果在本文中的所有Artin-山雀群的球形类型。
Analytic properties of bivariate representation and conjugacy class zeta functions of finitely generated nilpotent groups
设$\mathbf{G}$是数域整数环$\mathcal{O}$上的幂零李格所定义的幂幺群概型.我们考虑$\mathbf{G}(\mathcal{O})$编码形式的群的二元zeta函数，分别考虑有限维不可约复表示的同构类的个数和相应群的同余式的共轭类的个数.我们表明，这些zeta函数的群$\mathbf{G}(\mathcal{O})$的收敛域和亚纯延拓域是独立的考虑的数域$\mathcal{O}$，多达100多个局部因子。
Irreducible representations of conjugacy quandles
研究共轭quandle的不可约表示，通过群的特征标与线性表示的乘积来描述，证明其 enveloping group 的嵌入性质及完美群时的同构性。
Algebras of conjugacy classes of partial elements
在2001年Ivanov和Kerov与无限置换群$S_\infty$相关的某些交换结合代数$A_\infty$称为部分元素的共轭类代数。$A_\infty$的标准基由所有阶的Yang图标记。Mironov，Morozov，Natanzon，2012证明了$A_\infty$的完备化同构于群$S_n$的群代数的中心的直积。这种同构在构造对应于渐近Hurwitz数的无限维Cardy-Frobenius代数中得到了探索。在这项工作中，共轭类的部分元素代数定义为更广泛的一类无限群。证明了这类代数的完备化同构于相应子群的群代数的中心的直积。
Enumeration of virtual quandles up to isomorphism
本文通过计算机搜索对虚拟quandle和racks进行到同构的分类，并计算了有限循环群holomorphs的类数。
Uniqueness of roots up to conjugacy in circular and hosohedral-type Garside groups
该研究定义了循环群这一特殊Garside群类，证明其根共轭唯一并完成同构分类，得到秩2复辫群的对应推论，还推广研究了hosohedral型群及Delta-积构造下的根共轭唯一性问题。
We present a new algorithm that, given two matrices in $GL(n,Q)$, decides if they are conjugate in $GL(n,Z)$ and, if so, determines a conjugating matrix. We also give an algorithm to construct a generating set for the centraliser in $GL(n,Z)$ of a matrix in $GL(n,Q)$. We do this by reducing these problems respectively to the isomorphism and automorphism group problems for certain modules over rings of the form $\mathcal O_K[y]/(y^l)$, where $\mathcal O_K$ is the maximal order of an algebraic number field and $l \in N$, and then provide algorithms to solve the latter. The algorithms are practic…
Decision problems for 3-manifolds and their fundamental groups
本文综述了三维流形及其基本群的一些判定问题的研究现状。这包括经典的群的判定问题（字问题，共轭问题，同构问题），也包括3-流形的同胚问题和3-流形群的成员问题。
Given any connected compact orientable surface, a pair of mapping classes are said to be procongruently conjugate if they induce a conjugate pair of outer automophisms on the profinite completion of the fundamental group of the surface. For example, this occurs if they induce conjugate outer automorphisms on every characteristic finite quotient of the fundamental group. In this paper, it is shown that every procongruent conjugacy class of mapping classes, as a subset of the surface mapping class group, is the disjoint union of at most finitely many conjugacy classes of mapping classes. For any…
This is the first of two papers in which we introduce and study two bivariate zeta functions associated to unipotent group schemes over rings of integers of number fields. One of these zeta functions encodes the numbers of isomorphism classes of irreducible complex representations of finite dimensions of congruence quotients of the associated group and the other one encodes the numbers of conjugacy classes of each size of such quotients. In this paper, we show that these zeta functions satisfy Euler factorizations and almost all of their Euler factors are rational and satisfy functional equati…
Injectivity on the set of conjugacy classes of some monomorphisms between Artin groups
有限型$\arA_n$、$\arB_n=\arC_n$与仿射型$\tilde \arA_{n-1}$、$\tilde\arC_{n-1}$的Artin群之间存在着著名的单态。Artin群$A(\arA_n)$同构于$(n+1)$ -股辫群$B_{n+1}$，另外三个Artin群同构于$B_{n+1}$的某些子群.这些子群之间的包含产生单态性$A(\arB_n)\to A(\arA_n)$、$A(\tilde \arA_{n-1})\to A(\arB_n)$和$A(\tilde \arC_{n-1})\to A(\arB_n)$。还有另一种类型的单态$A(\arB_d)\to A(\arA_{md-1})$、$A(\arB_d)\to A(\arB_{md})$和$A(\arB_d)\to A(\arA_{md})$，它们是由$\arB$型的Artin群与周期辫的中心化子之间的同构所诱导的。本文证明了单态映射$A(\arB_d)\to A(\arA_{md-1})$，$A(\arB_d)\to A(\arB_{md})$和$A(\arB_d)\to A(\arA_{md})$在共轭类集合上诱导内射函数，而单态映射$A(\arB_n)\to A(\arA_n)$，$A(\tilde \arA_{n-1})\to A(\arB_n)$和$A(\tilde \arC_{n-1})\to …
Centralizers of irreducible subgroups in the projective special linear group
本文利用交替模分类了$PSL(n,\mathbb{C})$中不可约子群的中心化子的共轭类。具有交替双线性型的有限阿贝尔群。当$n$是无平方的时，我们证明了这些共轭类是由它们的同构类分类的.更一般地说，我们定义了一个有限的图形相关的分类，其组合特性，预计将帮助我们描述的奇异（orbifold）轨迹的分层在一些字符品种。
Cayley automatic groups are not Cayley biautomatic
我们表明，有凯莱自动群，不是凯莱双自动。另外，我们还证明了存在共轭问题不可判定的Cayley自动群，并且在Cayley自动群类中同构问题是不可判定的。
We construct and study finitely presented groups with quadratic Dehn function (QD-groups) and present the following applications of the method developed in our recent papers. (1) The isomorphism problem is undecidable in the class of QD-groups. (2) For every recursive function $f$, there is a QD-group $G$ containing a finitely presented subgroup $H$ whose Dehn function grows faster than $f$. (3) There exists a group with undecidable conjugacy problem but decidable power conjugacy problem; this group is QD.
Isomorphism in expanding families of indistinguishable groups
对每一个奇素数$p$和每一个整数$n\geq 12$，存在一个$p^{5n/4+O(1)}$阶的海森堡群，它具有$p^{n}$阶的$p^{n^2/24+O(n)}$两两非同构群。然而，这两个因素实际上是难以区分的。它们具有同构的特征标表，每个非中心元的共轭类具有相同的大小，且每个元的阶至多为$p$。它们也是直接和集中不可分解的，并且属于同一不可分解类型。它们的自同构群的公认部分是同构的，在它们的阿贝尔化上同构地表示，并且在它们的全自同构群中具有小的指数。然而，有一个多项式时间算法来测试这些组之间的同构。
Variations of Landau's theorem for p-regular and p-singular conjugacy classes
著名的朗道定理指出，对于任何正整数$k$，有许多有限群的同构类恰好与$k$（共轭）类。我们研究这个定理的变化$p$ -正规类以及$p$ -奇异类。证明了有限群的结构受群的$p$ -正则类数或$p$ -奇异类数的强限制.特别地，如果$G$是具有$O_p(G)=1$的有限群，则$|G/F(G)|_{p'}$根据$G$的$p$ -正则类的数目有界。然而，如果不解决一些极其困难的数论问题（例如，我们需要证明费马素数的个数是有限的），就不可能证明有许多群不具有非平凡的正规$p$ -子群和$k$ $p$ -正则类。
Random generation of subgroups of the modular group with a fixed isomorphism type
该研究提出了高效计数与均匀随机生成模群$\textsf{PSL}(2,\u2124)$中给定同构类型有限生成子群的方法，借助关联子群轮廓图的自然映射实现，该映射本身也具有独立研究价值。
On the Subgroups of Right Angled Artin Groups and Mapping Class Groups
存在直角Artin群$A$，使得$A$的非表示子群的同构问题是不可解的，并且对于某些非表示子群的共轭和隶属问题是不可解的.如果$S$是有限型曲面，且$S$的亏格足够大，则映射类群$Mod(S)$的相应判定问题是不可解的。每一个虚特殊群都嵌入到无穷多个闭曲面的映射类群中。给出了具有无穷多个共轭类的扭元的映射类群的共轭子群的例子。
Limits of Baumslag-Solitar groups and dimension estimates in the space of marked groups
该研究证明了Baumslag-Solitar群的极限的多项代数性质，给出其表现、同构分类、自同构描述及相关判定问题讨论，并证明其在双生成元带标群空间中具有非零Hausdorff维数。
On finite extensions of lamplighter groups
本文通过构造灯夫群的有限扩张，系统回答了组合群论中关于子群成员资格、字问题、共轭问题等多个开放问题，并研究了余字问题、剩余有限性和同构问题。
On the cycling operation in braid groups
循环运算是一种特殊的共轭运算，可以应用于Artin辫群中的元素，以减少它们的长度。它是辫群中共轭问题的常用解的一个关键成分。在他们关于辫子密码学的开创性论文中，Ko，Lee等人提出了{\it循环问题}作为辫群中的一个难题，这可能对密码学很有意义。在本文中，我们给出了一个多项式的解决方案，主要是通过显示，循环是满射，并使用结果Maffre这表明，在循环下的前像可以快速计算。这一结果也适用于每一个球型的Artin-Tits群。另一方面，辫群中的共轭搜索问题通常是利用辫群的左正规形，通过计算一些称为（左）超顶点集（左USS）的有限集来解决的。但我们同样可以使用右范式和计算右USS。共轭搜索问题的硬实例对应于具有大（左和右）USS的元素。人们可能会认为，即使某个元素有一个大的左USS，它也可能有一个小的右USS。我们表明，这是不是这种情况下，在重要的特殊情况下，刚性辫子。更确切地说，我们表明，左USS和右USS的一个给定的刚性辫子确定同构图，箭头颠倒，同构被定义使用迭代循环。我们猜想，同样是真实的每一个元素，不一定刚性，在辫群和Artin-Tits集团的球形类型。
Chain groups of homeomorphisms of the interval
本文引入并研究了单流形上同胚的链群的概念，它是Thompson群$F$的某种推广。由此产生的一类群体表现出一致性和多样性的结合。一方面，链群要么有一个简单的换位子群，要么群的作用有一个游荡区间。在后一种情况下，链群允许一个标准商，它也是一个链群，并且它有一个简单的换位子群。另一方面，$\operatorname{Homeo}^+(I)$的每个随机生成的子群可以被实现为链群的子群。作为推论，我们证明了链群有无数个同构类型，$\operatorname{Homeo}^+(I)$的可数单群也有无数个同构类型.我们考虑了不同的链的作用对链群的限制，并证明了有无数的同构类型的$3$-链群不能实现的$C^2$同构，以及无数的同构类型的$6$ -链群不能实现的$C^1$同构.作为推论，我们得到了区间上不存在非平凡$C^1$作用的$\operatorname{Homeo}^+(I)$的单群的无数同构类型.最后，我们证明了如果一个链群极小地作用在区间上，那么它在拓扑共轭下是唯一的。
Decision problems and profinite completions of groups
我们考虑一对双的双表示的剩余有限群$P\hookrightarrow\G$，其有限完备化的导出映射$\hat P\to \hat\G$是同构的。我们证明，有没有算法，给定一个任意这样的对，可以确定是否$P$是同构的$\G$。我们构造了共轭问题在$\G$中可以在二次时间内解决，但在$P$中的共轭问题是不可解的对。设$\mathcal J$是具有紧分类空间且没有有限指标真子群的超完美群类。我们证明，不存在一个算法，给定一个有限的介绍组$\G$和保证，$\G\in\mathcal J$，可以确定是否$\G\cong\{1\}$。我们构造了一个无环群$\H$和一个整数$k$，使得没有算法可以确定$\H$的哪些$k$生成子群是完美的.
Triality and Algebraic Groups of Type $^3D_4$
我们确定的简单代数群的类型$^3D_4$在任意领域的特征不同2承认外部自同构的顺序为3，并分类这些自同构共轭。该标准是制定在一个代表性的群的自同构的trialitarian代数：外部自同构的3阶存在当且仅当代数是自同态代数的诱导循环组成;他们的共轭类是在一对一的对应同构类的对称组成的诱导循环组成的根源。
Anti-trees and right-angled Artin subgroups of braid groups
证明了任意直角Artin群$G$允许拟等距群嵌入到由树的对向图定义的直角Artin群中。因此，$G$允许拟等距群嵌入到纯辫群和2-圆盘与2-球面的保面积同构群中，回答了Crisp-Wiest和M.卡波维奇另一个推论是纯辫群包含一个闭双曲流形群作为一个直到8维的拟等距嵌入子群。最后，我们证明了辫群的同构问题、共轭问题和隶属问题在群的n-表现子群类中是不可解的。
We show how to count and randomly generate finitely generated subgroups of the modular group $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$ of a given isomorphism type. We also prove that almost malnormality and non-parabolicity are negligible properties for these subgroups. The combinatorial methods developed to achieve these results bring to light a natural map, which associates with any finitely generated subgroup of $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$ a graph which we call its silhouette, and which can be interpreted as a conjugacy class of free finite index subgroups of $\textsf{PSL}(2,\mathbb{Z})$.
In comparison to graphs, combinatorial methods for the isomorphism problem of finite groups are less developed than algebraic ones. To be able to investigate the descriptive complexity of finite groups and the group isomorphism problem, we define the Weisfeiler-Leman algorithm for groups. In fact we define three versions of the algorithm. In contrast to graphs, where the three analogous versions readily agree, for groups the situation is more intricate. For groups, we show that their expressive power is linearly related. We also give descriptions in terms of counting logics and bijective pebbl…
Oligomorphic groups, their automorphism groups, and the complexity of their isomorphism
本文研究Roelcke预紧的置换群子群，证明其内自同构群在自同构群中闭，且在外自同构群完全不连通局部紧；并给出方法证明两类寡态群的同构关系光滑，且其自同构群拓扑同构于寡态群，外自同构群为profinite。
Representing in Low Rank I: conjugacy, topological and homological aspects
本文研究了有限群的低秩表示性质，探讨了同调良好性质、共轭类以及同余核等关键问题。
Irreducibly represented groups
一个群是不可约表示的，如果它有一个忠实的不可约酉表示。对于有限群群，给出了不可约表示的一个判别准则，推广了W. 1954年的加舒茨。特别地，挠自由群和无限共轭类群是不可约表示的。我们指出了这对算子代数的一些结果。特别地，我们刻画了可分无限维希尔伯特空间$\Cal H$的酉群的可数子群$Δ$的同构，其中$Δ''$（在冯诺依曼代数理论的意义上）与$\Cal H$上的所有有界线性算子的代数一致.
Families preserving isomorphisms via techniques in anabelian geometry: with an application to a generalized Neukirch-Uchida theorem
本文从算术代数几何视角推广保持自同构的族的概念，证明一大类profinit群的相关同构族源自内自同构，并将其应用得到ℓ-拟数域的广义Neukirch-Uchida定理。
$\mathbb{F}_p$-expressible subalgebras and orbits of $\mathbb{E}(r,\mathfrak{g})$
对于大特征的代数闭域$k$上的连通约化群$G$，利用$\mathfrak{g}:=\mathrm{Lie}(G)$的幂零簇与$G$的幂单簇之间的规范Springer同构，研究秩为$r$的初等子代数的投射簇，记为$\mathbb{E}(r,\mathfrak{g})$ .当$G$定义在$\mathbb{F}_p$上时，定义了$\mathfrak{g}$的$\mathbb{F}_p$ -可表示子代数范畴，并证明了该范畴同构于有限Chevalley群$G(\mathbb{F}_p)$的初等交换子群Quillen范畴.这种同构的范畴导致$G$ -轨道的$\mathbb{E}(r,\mathfrak{g})$定义在$\mathbb{F}_p$和$G$ -共轭类的基本阿贝尔子群的秩$r$在$G(\mathbb{F}_p)$。我们使用Magma来计算$G=\mathrm{GL}_n$、$n\le 5$的例子。
The Status of Polycyclic Group-Based Cryptography: A Survey and Open Problems
多循环群是循环群的自然推广，但具有更复杂的算法性质。它们是可解的，并且字、共轭和同构判定问题都在这些群中可解。此外，非虚幂零的表现出指数增长率。这些性质使它们适合用于Eick和Kahrobaei在2004年提出的基于组的密码学。从那时起，许多密码系统已经创建，采用多环群。这些包括密钥交换，如非交换ElGamal，基于扭曲共轭问题的认证方案，以及通过字问题的秘密共享。作为回应，启发式和确定性的密码分析方法已经发展，包括基于长度和线性分解攻击。尽管有这些努力，仍有一类无限多环群仍然适用于密码学。多环组中搜索和决策问题的算法分析也得到了发展。除了上述问题的结果，我们提出了那些关于多环表示，群态射，轨道可判定性。虽然已经取得了很大的进展，许多算法和复杂性问题仍然没有解决，我们总结了其中的一些。特别感兴趣的是表明使用无限多环群的密码系统对量子计算机上的密码分析具有抵抗力。
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