Cardinal arithmetic and Woodin cardinals
Ralf Schindler
假设存在一个可测基数。如果\aleph_ω是一个强极限基数，但\aleph_ω的幂大于\aleph_{ω_1}，则存在一个具有Woodin基数的内模型。模需要的可测基数这回答了一个问题的Gitik和米切尔。
Suppose that there is a measurable cardinal. If \aleph_ωis a strong limit cardinal, but the power of \aleph_ωis bigger than \aleph_{ω_1}, then there is an inner model with a Woodin cardinal. Modulo the need of the measurable cardinal this answers a question of Gitik and Mitchell.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Woodin cardinals and forcing
尽管是一个既定的概念，在大基数层次结构，结果约Woodin枢机是稀疏的文献。在这里，我们收集已知的结果，在某些力迫扩张下的Woodin基数的保存，以及通过强迫保存Woodin基数的模板。使用这个模板，我们形成了一个不可摧毁的结果在某些伊斯顿迭代。
The failure of square at all uncountable cardinals is weaker than a Woodin limit of Woodin cardinals
该研究通过强制选择公理，在满足ZF的最小初始段的Nairian模型中展示所有不可数基数上平方失败，并表明正则基数在HOD中为omega-强可测，从而揭示了HOD假设在ZFC中的不可证性。
Woodin for strong compactness cardinals
我们给强紧基数的Woodin的定义，强紧的Woodinised版本，我们证明了一个类似的Magidor的身份危机定理的第一强紧基数。
Core models in the presence of Woodin cardinals
证明了若存在n个Woodin基数以上的可测基数且M_{n+1} ^#不存在则K存在. K不是完全可迭代的，但是，它只对位于Woodin基数之间的某些树的堆栈是可迭代的。然而，如果M是V的一个Ω闭的π，则K^M是K的一个π，这仍然是真的。
Small forcing creates neither strong nor Woodin cardinals
在小的强迫下，几乎每一个强嵌入都是地面模型中一个强嵌入的提升。因此，小的强迫既不能产生强的也不能产生Woodin基数。
Easton's Theorem in the presence of Woodin cardinals
在$δ$是Woodin基数且$\GCH$成立的假设下，证明了如果$F$是从正则基数到基数的任意类函数，使得（1）$κ<\cf(F(κ))$，（2）$κ<λ$蕴涵$F(κ)\leq F(λ)$，（3）$δ$在$F$下闭，则存在保共尾的力迫扩张，其中$2^γ= F(γ)$对每个正则基数$γ<δ$，其中$δ$仍然是Woodin。与超紧基数[Men76]和强基数[FH08]的类似结果不同，不要求函数$F$是局部可定义的。
Lightface mice with finitely many Woodin cardinals from optimal determinacy hypotheses
浅色$Δ^1_{2n+2}$和黑体$\boldsymbolΠ^1_{2n+1}$集合的确定性意味着存在$(ω, ω_1)$ -可迭代的$M_{2n+1}^{\#}$。
Power $Σ_1$ in Card with two Woodin cardinals
本文研究了在Card谓词下，两个Woodin基数与幂集操作$Σ_1$可定义的相容性问题。
The covering lemma up to a Woodin cardinal
基数kappa是可数闭的，如果当mu < kappa时，mu^omega < kappa。假设不存在具有Woodin基数的内部模型，并且每个集合都有一个sharp。设K为核心模型。假设kappa是可数闭基数，alpha是K的后继基数，且kappa < alpha < kappa^+。那么cf（alpha）= kappa。特别地，K正确地计算可数闭奇异基数的后继。(The可数闭包的假设是不必要的;参见“Weak covering without countable closure”，W. J. Mitchell和E. Schimmerling，Math. Res. Lett.，第2卷，第5期，9月1995年）
The Virtual Large Cardinal Hierarchy
该研究分析超强、Woodin、Berkeley基数的虚拟版本，给出虚拟Woodin基数的等价刻画，引入有限语言虚拟Vopenka原理并证明其相关等价性，完善虚拟大基数层级的理论研究。
A synthetic overview on some known characterizations of Woodin cardinals
本文基于研讨会幻灯片，综合介绍了 Woodin 基数的多种已知刻画（含 Ernest Schimmerling 的成果），并力求结构自洽，明确展示通常省略的证明细节并给出准确文献参考。
HOD in inner models with Woodin cardinals
我们分析了遗传序可定义集$\operatorname{HOD}$在$M_n(x)[g]$的图灵锥实数$x$，其中$M_n(x)$是典型的内部模型与$n$的Woodin基数建立在$x$和$g$是通用的$M_n(x)$的Lévy崩溃到其底部不可达的基数。我们证明了，假设$\boldsymbolΠ^1_{n+2}$ -决定性，对于一个图灵锥的真正$x$，$\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]} = M_n(\mathcal{M}_{\infty} | κ_\infty, Λ),$其中$\mathcal{M}_\infty$是一个直接限制的迭代$M_{n+1}$，$δ_\infty$是最小的Woodin基数在$\mathcal{M}_\infty$，$κ_\infty$是最少的不可达基数在$\mathcal{M}_\infty$以上$δ_\infty$，和$Λ$是一个部分迭代策略$\mathcal{M}_{\infty}$。还将表明，在相同的假设下，$\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]}$满足$\operatorname{GCH}$。
Mice with Woodin cardinals from a Reinhardt
本文证明若存在 Reinhardt 基数，则对任意传递集 X 和自然数 n，M_n(X) 存在且完全可迭代，且所有集合力迫扩张中射影决定性成立。
Chang models over derived models with supercompact measures
本文基于第三作者早期工作构造了带超紧测度的张型模型，扩张了特定hod鼠标的导出模型，证明其满足AD_R等性质，补充了Woodin的广义张模型结果。
Determinacy and Large Cardinals
内部模型的研究始于哥德尔对可构造宇宙的分析。后来，研究具有大基数的正则内模型，例如，可测基数，强基数或伍丁基数，是由詹森，米切尔，钢，和其他人开创的。大约在同一时间，马丁从可测基数证明了解析确定性，从ZFC证明了博雷尔确定性，马丁和斯蒂尔从具有可测基数的伍德基数证明了投影确定性的水平，推动了无限二人博弈的研究。首先伍丁和后来尼曼改善结果在投影层次表明，事实上存在一个可数迭代模型，一只老鼠，与伍丁基数和顶部措施足以证明确定性的投影层次。这为最优结果提供了可能性，说明局部确定性假设与投射层次中小鼠的存在之间的等价性。本文概述了确定性假说与具有大基数的老鼠的存在性的主要概念和结果，以及该领域的最新进展。
On the Woodin Construction of Failure of GCH at a Measurable Cardinal
令GCH成立，并令$j:V\longrightarrow M$是可定义的初等嵌入，使得$crit(j)=κ$，$^κM\subseteq M$和$κ^{++}=κ_{M}^{++}$。H. Woodin证明了存在一个保共尾的泛型扩展，其中$κ$是可测的，而GCH在这一点上失败了。这是通过使用科恩强迫的伊斯顿支持迭代将每个不可访问的$α\leqκ$的幂吹到$α^{++}$，然后在此之上添加另一个强迫来完成的。我们表明，它是足够的使用迭代强迫，后者强迫是不需要的。我们将不仅展示$κ^{++}=κ_{M}^{++}$的情况，而且展示每个后继序数$γ$，其中$0< γ< κ$，我们将展示当假设为$κ^{+γ}=κ_{M}^{+γ}$时的情况。
Strongly compact cardinals and ordinal definability
本文探讨了与Woodin的HOD猜想有关的几个问题。本文将Woodin的HOD二分定理的大基数假设从可扩基数改进为强紧基数。我们证明了，假设有一个强紧基数和HOD假设成立，有没有初等嵌入从HOD到HOD，解决了一个问题的Woodin。我们表明，HOD假设是等价的累积层次结构的水平的初等嵌入的唯一性。证明了HOD假设成立的充要条件是第一强紧基数以上的正则基数都有一个序数可定义的Omega-Jonsson代数。证明了如果HOD假设成立且HOD满足超幂公理，则每个超紧基数在HOD中是超紧的。
Mice with finitely many Woodin cardinals from optimal determinacy hypotheses
我们证明了第三作者的结果。令$n \geq 1$。如果$\boldsymbolΠ^1_n$确定性和$Π^1_{n+1}$确定性都为真，并且不存在两两不同实数的$\boldsymbolΣ^1_{n+2}$ -可定义的$ω_1$ -序列，则$M_n^\#$存在并且是$ω_1$ -可迭代的。证明了$\boldsymbolΠ^1_{n+1}$确定性意味着$M_n^\#(x)$存在，并且对所有实数$x$是$ω_1$ -可迭代的.一个结果是任意$n \geq 1$的确定性转移定理，即$\boldsymbolΠ^1_{n+1}$确定性隐含$\Game^{(n)}(<ω^2 - \boldsymbolΠ^1_1)$确定性的陈述。
Power set at $\aleph_ω$: On a theorem of Woodin
我们给出了Woodin的原始证明：如果存在$(κ+2)-$强基数$κ,$，则存在一个泛属扩张的论域，其中$κ=\aleph_ω,$ $GCH$在$\aleph_ω$和$2^{\aleph_ω}=\aleph_{ω+2}.$之下成立
Jonsson Cardinals, Erdős Cardinals, and the Core Model
我们表明，每个琼森基数是拉姆齐在钢核心模型，只要这个模型存在，并没有模型与一个Woodin基数。这个基本结果在两个方向上得到了改进。首先，我们证明了相同的结果delta-Jonsson和delta-Erdos基数，其中delta是任何正则基数小于kappa。这些概念对应于Jonsson和Erdos基数，除了子模型或不变量集只需要有序型delta。三角洲-琼森红雀出现在固定塔强迫。其次，我们削弱了Steel core模型存在的假设，证明了如果宇宙是L[ \vec E]的泛型扩张，并且不存在具有Woodin基数的模型，那么模型L[E]可以取代Steel core模型。由此推论，如果L[ \vec E]是Woodin基数的极小模型，则L[ \vec E]中的每个delta-Jonsson基数都是delta-Erdos。
Partial Tower Sealing
本文研究了部分塔密封的性质，证明其在特定模型中成立，并指出其一致性强度低于ZFC加上Woodin极限的存在。
Determinacy in the Chang model
假设存在一个具有Woodin基数的hod对，该基数是Woodin基数的极限，我们证明了Chang模型在任何类属扩张下都满足$\mathsf{AD}^+$。
The large cardinals between supercompact and almost-huge
我分析了大基数在超紧基数和几乎巨大基数之间的层次结构。这些基数中的许多是通过修改跳高基数的定义来定义的。高跳基数被定义为初等嵌入$j: V \to M$的临界点，使得$M$在长度为$\sup\set{j(f)(κ) \st f: κ\to κ}$的序列下是封闭的。其他一些分析的基数包括超高跳基数、几乎超高跳基数、Shelah-超紧基数、Woodin-超紧基数、\Vopenka \基数、超紧基数和增强超紧基数。我根据一致性强度和隐含强度来组织这些基数。我还分析了超强基数，它比超紧基数弱，但与跳高基数有关。我的两个最重要的结果如下。\begin{itemize} \item \Vopenka\ cardinals are the same as Woodin-for-supercompactness cardinals. \item There are no excessively hypercompact cardinals. \end{itemize}此外，我证明了一些结果有关的高跳基数的强制，以及分析超高跳基数的Laver函数。\keywords{high-jump cardinals \and \Vopenka\ cardinals \and Woodin-for-supercompactness cardinals \and hypercompact cardinals \a…
Pcf theory and Woodin cardinals
我们证明了以下两个结果。定理A：设α是一个极限序数。假设2^{ |alpha| }<aleph_alpha且2^{ |alpha| ^+}< aleph_{|alpha|^+}，而aleph_alpha^{ |alpha| }> aleph_{|alpha|^+}。则对所有n<Ω且对所有有界X子集aleph_{|alpha|^+}，M_n^#（X）存在.定理B：设kappa是一个不可数共尾的奇异基数。如果{alpha<kappa| 2 ^alpha =alpha^+}是平稳的，也是共平稳的，那么对于所有n< omega和所有有界X子集kappa，M_n^#（X）存在。定理A回答了Gitik和Mitchell的问题，定理B给出了Gitik，M.，Prikry型力迫概念介绍，在：集合论手册，Foreman，Kanamori，Magidor（见问题4）。这些定理的证明结合了pcf理论和核心模型论。一路上，我们建立了一些ZFC结果的基数算术，由银定理的动机，我们得到的核心模型论的结果，由任务的动机，建立一个"稳定的核心模型。“这两组结果都是独立的。
More Derived Models in PFA
本文研究了在PFA下，Woodin基数极限处的衍生模型的性质，展示了其在不同条件下的行为，包括θ值的严格小于和AD_{ℝ}的满足情况。
Recognizable sets and Woodin cardinals: Computation beyond the constructible universe
本文研究了在构造宇宙外通过序数时间 Turing 机进行计算的可识别集，证明了可计算集属于 L，而无限时间计算的可识别对象可达 Woodin 数字的层次。
Some results on large cardinals and the continuum function
给定一个Woodin基数$δ$，我表明，如果$F$是任何伊斯顿功能与$F"δ\subseteqδ$和$\GCH$举行，然后有一个保共尾强制扩展，其中$2^γ= F(γ)$为每个经常基数$γ<δ$，其中$δ$仍然是Woodin。我还提出了一个新的例子，其中迫使一定的行为的连续函数的经常基数，同时保持一个给定的大基数，需要大基数的力量超过了原来的大基数考虑。具体地说，我证明了存在一个$λ$ -超紧基数$κ$，使$\GCH$失败在$λ$是equiconsistent与存在的基数$κ$是$λ$ -超紧和$λ^{++}$ -高。我推广了一个定理的可测基数由于莱温斯基，它说，给定一个可测的基数，有一个强制延长保持可测性的$κ$，其中$κ$是最不正规的基数在$\GCH$举行。事实上，我表明，Levinski的结果可以扩展到许多其他大型基数的情况下。这项工作铺平了道路，许多额外的结果，类似于上述结果的Woodin基数和部分超紧基数。
Measures in Nairian models, I
在AD⁺ + V = L(P(ℝ))假设下，该研究证明超幂公理在HOD_s中成立，分析奈里安模型含大量可测基数，解决Henle等人的问题，还构造出ZF中每个不可数基数均为奇异的模型。
Long games just beyond fixed countable length
本文提出了一种变长可数长度的游戏，并证明其分析确定性与特定Woodin基数的内模型存在性等价。
Some mutually inconsistent generic large cardinals
改进了Woodin的一个结果，我们确定了几类单独相容但相互不相容的一般大基数公理。
A model of the Axiom of Determinacy in which every set of reals is universally Baire
本文基于导出模型构造，结合泛型迭代方法，证明了满足“每个实数集都是泛Baire集”的确定性公理模型的一致性强度对应存在武丁基数与强基数的极限基数的ZFC系统。
The sharp for the Chang model is small
吴丁已经证明，如果有一个可测量的吴丁基数，那么在适当的意义上，张模型有一个尖锐的。我们生产，在较弱的意义上，一个尖锐的Chang模型只使用存在的基数$κ$有一个扩展的长度$κ^{+ω_1}$。
$Σ_1(κ)$-definable subsets of $\mathrm{H}(κ^+)$
我们研究了在大基数存在下的$Σ_1(ω_1)$ -可定义集（即满足某个含参数$ω_1$的$Σ_1$ -公式的集合）.我们的结果表明，Woodin基数和其上的可测基数的存在意味着没有实数的良序是$Σ_1(ω_1)$ -可定义的，$ω_1$的所有平稳子集的集合不是$Σ_1(ω_1)$ -可定义的，${}^{ω_1}ω_1$的每个$Σ_1(ω_1)$ -可定义的Bernstein子集的补集不是$Σ_1(ω_1)$ -可定义的.与此相反，我们表明，存在一个Woodin基数是兼容的存在一个$Σ_1(ω_1)$ -可定义的良好秩序的$\mathrm{H}({ω_2})$和存在一个$Δ_1(ω_1)$ -可定义的伯恩斯坦子集的${}^{ω_1}ω_1$。我们还表明，如果有无限多个Woodin基数和一个可测量的基数以上，那么就没有$Σ_1(ω_1)$定义的俱乐部过滤器的$ω_1$的均匀化。此外，我们证明了一个完美集定理的$Σ_1(ω_1)$可定义的子集${}^{ω_1}ω_1$，假设有一个可测基数和$ω_1$上的非平稳理想是饱和的。这些结果的证明使用迭代的一般超幂和Woodin的$\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ -强迫。最后，我们还证明了这些结果的一些变种的$Σ_1(κ)$ -可定义的子集的${}^κκ$，在这种情况下，$κ$本身具有一定的大基数属性。
New inner models from second order logics
本文定义由二阶逻辑可数子集片段产生的新内模型 C2(omega)，比较其与 C(aa) 的大基数强度，并研究 C2(omega, aa) 及 HOD1 与 HOD 同一性的独立性。
Nairian Models
本文引入了决定性公理的Nairian模型层级，通过施力构造出满足特定ZFC组合及超紧基数性质的模型，并据此证明了迭代性猜想的失败及回答了等一致性等关键问题，揭示了内模型理论方法的扩展障碍。
The consistency strength of long projective determinacy
我们确定了长度为$ω^2$的投射对策的决定性的一致性强度。我们的主要定理是，$\boldsymbolΠ^1_{n+1}$ -决定性的游戏长度$ω^2$意味着存在一个模型的集合论与$ω+ n$ Woodin基数。在第一步中，我们表明，这一假设意味着，有一个可数集的真正$A$，$M_n(A)$，规范内模型$n$ Woodin基数构建$A$，满足$A = \mathbb{R}$和公理的决定性。然后我们讨论了如何从这一点得到一个模型与$ω+ n$ Woodin基数。我们还展示了如何证明可以适应调查的一致性强度的确定性的游戏长度$ω^2$的回报在$\Game^\mathbb{R} \boldsymbolΠ^1_1$或$σ$ -投射的回报。
The exact strength of generic absoluteness for the universally Baire sets
本文研究了泛Baire集的泛绝对性条件$\sf{Sealing}$的精确一致性强度，利用Woodin的$\sf{Core\\ Model\\ Induction}$技术证明其与$\sf{LSA-over-uB}$等一致，并分离出对应的精确大基数理论。
Tall cardinals in extender models
假设没有内部模型的Woodin基数，我们得到的$λ$ -高基数的扩展模型，可迭代的一个特征。特别是，我们证明了在这样的扩展模型，一个基数$κ$是一个高基数当且仅当它是一个强基数或可测极限强基数。
A universal weasel without large cardinals in V
我们证明了在ZFC +理论中不存在具有Woodin基数的内模型，存在一个普遍的黄鼠狼。这特别表明，人们不必假设V中存在大基数来证明存在这样的黄鼠狼。
The generalized continuum hypothesis above a strongly compact cardinal
本文证明若κ为强紧基数且GCH在κ之下成立，则GCH整体成立，解答了Woodin的长期开放问题。
Translation procedures in descriptive inner model theory
我们开发了一个基本的翻译过程，将hod鼠标转换为等效鼠标。与Steel和Zhu使用的翻译过程不同，我们的过程在粗略的设置中工作，而不假设AD。然而，该程序类似于Steel开发的程序。我们使用翻译程序来回答Trevor Wilson的一个问题。也就是说，我们表明，如果有一个固定类的lambda，使lambda是一个限制的Woodin基数和衍生的模型在lambda满足AD的Solovay序列的第一个成员是小于θ然后有一个传递模型M，使M包含的序数和满足有一个适当的类的Woodin基数和一个强基数。
On forcing projective generic absoluteness from strong cardinals
W.H. Woodin证明，如果$κ_1 < \cdots < κ_n$是强基数，那么在将$2^{2^{κ_n}}$压缩为可数之后，两步${\bfΣ}^1_{n+3}$类属绝对性成立。我们表明，这个数字可以减少到$2^{κ_n}$，和$κ_n^+$的情况下$n = 1$，但不能进一步减少到$κ_n$。
The $\mathsf{HOD}$ Hypothesis and a supercompact cardinal
本文在超紧基数与HOD假设的前提下，证明V_κ中存在真类多在HOD中可测的正则基数，推导出Woodin局部普遍性定理，揭示了HOD假设下两类大基数的差异及V中大基数向HOD的局部反映特性。
On the derived models of self iterable universes
证明了如果宇宙是自迭代的，$κ$是Woodin基数的不可达极限，那么在导出的模型中，$AD_R + "Θ$在$κ$处是正则的.证明是无精细结构的，并且只假设迭代树和迭代策略的基本知识。我们的证明可以被看作是众所周知的事实“$AD_R + "Θ$是规则的”的无精细结构版本，在具有Woodin基数不可接近极限的hod小鼠的衍生模型中是真的（例如参见[6]）。然而，证明使用了一组不同的想法，并且更一般。
The consistency strength of determinacy when all sets are universally Baire
本文针对所有实数集合均为普遍 Baire 集时决定性公理的大基数强度，提出混合老鼠的新翻译程序，证明其恰等价于存在 Woodin 基数与强基数的共同极限。
On a Question of Hamkins and Löwe on the modal logic of collapse forcing
本文回应Hamkins与Löwe关于集合论塌缩力迫模态逻辑的疑问，给出该性质两个弱版本的等一致性结果，并证明完整Hamkins-Löwe性质的一致性可由带上方不可达基数的Woodin基数的一致性推出。
NS saturated and $Δ_1$-definable
我们证明了在一个Woodin基数$M_1$的正则内模型存在的假设下，存在一个$\ZFC$模型，其中$\NS$是$\aleph_2$ -饱和的和$Δ_1$ -可定义的，其中$ω_1$是一个参数，这回答了Sy-David Friedman和Liuzhen Wu的一个问题.我们还表明，从一个任意宇宙的Woodin基数，有一个模型与$\NS$饱和和$Δ_1$ -可定义的阶梯系统$\vec{C}$和一个完整的Suslin树$T$作为参数。这两个结果都依赖于一种新的编码技术，其演示是本文的主要目标。
On $(Σ^2_1)^{uB}$ Absoluteness Between V and HOD
本文结合 Woodin 的 Σ²₁ 基定理与 Vopěnka 定理，证明在存在真类多 Woodin 基数时，V 中为真的 (Σ²₁)^uB 命题在 HOD 中也为真，并探讨了反向绝对性及其与 Ultimate L 公理的关系。
Determined Admissible Sets
本文从$ω^2$ Woodin基数区域的假设出发，证明了KP + AD $_\mathbb{R}$存在一个包含所有实数的传递模型.
Perfect Subtree Property for Weakly Compact Cardinals
本文研究了$κ$是弱紧的，且$κ$上不存在恰好有$κ^{+}$多个分支的树的结论的一致性强度。我们表明，这种说法强烈失败（在这个意义上说，有一个密封的树，正好$κ^{+}$许多分支），如果没有内部模型与Woodin基数。此外，我们表明，对于一个弱紧基数$κ$的不存在的树$κ$与$κ^{+}$正好许多分支，特别是，完美的子树性质$κ$，意味着$AD_{\mathbb{R}} + DC$的一致性。
Forcing Axioms and the Definabilty of the Nonstationary Ideal on $ω_1$
该数理逻辑研究探讨力迫公理下$\omega_1$非驻定理想的可定义性，证明$\text{BMM}$加武丁基数、$(*)$-公理下其不可被$\Sigma_1(\omega_1)$定义，同时构造出$\text{BPFA}$、$\text{MA}$等公理下其可定义甚至饱和的集合论宇宙。
Local mantles of $L[x]$
本文在 Woodin 基数与真类多可测基数假设下，利用 Woodin 对 HOD 的分析方法研究 $L[x]$ 的局部 $κ$-mantle，证明其满足 ZFC+GCH 并含 Woodin 基数，且为完全可迭代策略 mouse。
A long pseudo-comparison of premice in $L[x]$
我们描述了分析$\mathrm{HOD}^{L[x]}$作为核心模型的一个障碍：假设有足够大的基数，对于一个图灵锥的真正$x$有premice $M,N$在$\mathrm{HC}^{L[x]}$，这样的伪比较$L[M]$与$L[N]$成功，在$L[x]$中计算，并持续通过$ω_1^{L[x]}$阶段。此外，我们可以取$M=M_1|(δ^+)^{M_1}$，其中$M_1$是具有Woodin基数的最小可迭代真类内部模型，$δ$是该Woodin。我们可以取$N$，使得$L[N]$是类似于$M_1$的，并且是短树可迭代的。
Ideals and Strong Axioms of Determinacy
我们证明了以下两个理论是等相容的：（T）ZFC，CH和“在第一不可数基数上有一个稠密理想，使得如果j是与它相关联的类属嵌入，则它对序数的限制与类属对象无关”. (S)ZF，ADR和“Theta是一个正则基数。“本文的主要结果是T蕴涵S的极小模型存在。Woodin在未发表的著作中指出，S的一致性意味着T的一致性。我们也将给出这个结果的一个证明，它与我们的主要定理一起建立了T和S的等同性。我们的主要结果部分地解决了Woodin的一个著名猜想，并完全解决了一个可以追溯到90年代的主要核心模型归纳问题。
On the optimality of the HOD dichotomy
本文研究HOD假设下大基数性质的最优性，证明可扩展基数在HOD中的紧致性与超紧性，并探讨弱覆盖失败及HOD正则基数等一致性结果。
Blowing up the power of a singular cardinal of uncountable cofinality with collapses
{ \em奇异基数假设}（SCH）是集合论中最经典的组合原理之一。证明了如果$κ$是奇异强极限，则有$2^κ=κ^+$ .我们证明，给定一个奇异基数$κ$的{ \em共尾性} $η$在地面模型，这是一个限制适当的大基数，和$η^+=\aleph_γ$，那么有一个强制扩展，保持基数和共尾性，并包括$η$，使$κ$成为$\aleph_{γ+η}$，和SCH失败在$κ$。此外，如果$η$不是$\aleph$ -不动点，则在我们的模型中，SCH在$\aleph_η$处失效。我们的大基数假设低于存在一个伍丁基数。在我们的模型中，我们也得到了一个很好的规模。
Varsovian models $ω$
本文将Varsovian模型构造从有限Woodin与strong基数情形推广到N_ω；在星翻译可与P构造常规整合的假设下，证明其存在含ω个Woodin基数的可迭代策略鼠标内模型，并刻画其eventual generic HOD、mantle及核心模型K。
On supercompactness and the continuum function
给定一个基数$κ$，对于某个正则基数$λ\geqκ$，它是$λ$ -超紧的，并假设$\GCH$，我们证明了可以强迫连续函数与满足$\forallα,β\in\dom(F)$ $α<\cf(F(α))$和$α<β$ $\implies$ $F(α)\leq F(β)$的任何函数$F:[κ,λ]\cap\REG\to\CARD$一致，同时保持$κ$的$λ$ -超紧性不受一个可能最弱一致性强度的假设的影响，即，从假设存在具有临界点$κ$的初等嵌入$j:V\to M$使得$M^λ\subseteq M$和$j(κ)>F(λ)$。我们的论点将Woodin的手术修改通用过滤器的技术扩展到一个新的情况：当修改在$j$范围内进行时，Woodin的关键引理适用，而我们的论点使用一个新的关键引理来处理在鬼坐标上$j$范围外进行的修改。这项工作回答了Friedman和Honzik [FH 2012]的一个问题。我们还讨论了几个相关的开放问题。
Dense ideals and cardinal arithmetic
从大基数，我们证明了正常的，罚款，$κ$ -完全$λ$ -稠密理想$\mathcal{P}_κ(λ)$的继任者$κ$的一致性。我们探讨了稠密的理想，基数算术和广场之间的相互作用，回答了一些开放的问题福尔曼。
Analytical Guide and updates for "Cardinal Arithmetic"
A部分：“基数算术“（[Sh：g]）中指南的修订版，有更正，并扩展到包括后来的作品。B部分：对[Sh：g]的更正。C部分：包含一些修正的证明和改进的定理。D部分：载有相关参考资料清单。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。