Enumeration of Domino Tilings of an Aztec Rectangle with boundary defects
Helfgott和Gessel给出了一个阿兹特克矩形的多米诺骨牌的数量，其中一个矩形的边界上有一个大小为1的缺陷。在本文中，我们扩展到的情况下，多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形缺陷的所有边界两侧。
2016-05-30 math.CO
Enumeration of tilings of quartered Aztec rectangles
推广了W. Jockusch和J. Propp通过列举四分之一阿兹特克矩形的镶嵌来研究四分之一阿兹特克钻石。利用子图替换法将Aztec矩形的对偶图转化为菱形六边形的对偶图，然后利用Lindström-Gessel-Viennot方法求菱形六边形的分块个数.
2014-04-14 math.CO
Enumeration of Corona for Lozenge Tilings
Capital Normal University（首都师范大学）
本文通过加权邻接矩阵证明了两个六边形镶嵌冠状物的闭合公式，并将其推广到更一般的情形。
2025-04-27 math.CO
Enumeration of Hybrid Domino-Lozenge Tilings
我们解决并推广了一个公开的问题，由詹姆斯Propp（问题16在几何组合学的新观点，剑桥大学出版社，1999年）的数量上的平铺准六边形区域的正方形格子与每三个对角线绘制。我们还得到了道格拉斯定理的推广，在一个家庭的区域，每第二对角线画在正方形格的平铺的数量。
2013-09-20 math.CO
Enumeration of rhombus tilings of a hexagon which contain a fixed rhombus on its symmetry axis
我们计算一个六边形的菱形镶嵌的数量与边$N,M,N,N,M,N$，其中包含一个固定的菱形的对称轴。一个特例解决了Jim Propp提出的一个问题。
1997-11-26 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of halved hexagons with a boundary defect
我们推广了Proctor定理的一个特殊情况下的菱形平铺的六边形与最大的楼梯删除计数，使用郭的图形凝聚方法。此外，我们证明了一个公式的加权版本的给定区域。这一结果也扩展了Ciucu和Fischer的工作。通过应用Ciucu的分解定理，我们还能够推广MacMahon的装箱平面划分公式的一个特例。
2015-10-15 math.CO
Problems in the Enumeration of Tilings
平铺计数是关于区域被没有间隙或重叠的相似块覆盖的总数的数学研究。平铺计数已经成为组合数学中一个充满活力的子领域，它与不同的数学领域有着联系和应用。1999年，詹姆斯·普罗普（James Propp）发表了他著名的32个开放问题列表。这份名单引起了世界各地专家的广泛关注。二十年过去了，清单上的大部分问题都得到了解决和推广。在本文中，我们提出了一组新的平铺问题。这篇调查论文有助于在明尼苏达大学的代数组合学2022年会议（OPAC 2022）的开放问题。
2021-09-03 math.CO
A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary
MacMahon证明了一个简单的产品公式的生成函数的平面分区适合在一个给定的盒子。该定理蕴涵了三角格上半正六边形菱形镶嵌的$q$ -计数。本文用$q$ -枚举一类新的六边形族的菱形镶嵌推广了MacMahon的经典定理，其中菱形镶嵌的四个相邻三角形从它们的边界移去.
2017-04-10 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a shamrock missing on the symmetry axis
在他们的论文中关于一个双麦克马洪的经典定理的平面分区，Ciucu和Krattenthaler证明了一个封闭形式的产品公式的平铺数的六边形与“三叶草”，一个联盟的四个相邻的三角形，删除在中心（Proc. Acad. Sci. USA 2013）。赖后来提出了一个$q$ -枚举菱形瓷砖的六边形与三叶草删除从边界（欧洲J。2017年）的报告。看起来，上面是三叶草洞中仅有的两个位置，可以产生很好的平铺枚举。在本文中，我们表明，在对称六边形的情况下，我们总是有一个简单的产品公式时，删除三叶草在任何位置沿对称轴的平铺的数量。我们的结果也推广了Eisenkölbl的相关工作菱形平铺的六边形与两个单位三角形失踪的对称轴（电子。1999年）。
2018-07-31 math.CO
Tiling enumeration of doubly-intruded halved hexagons
受Propp的入侵阿兹特克钻石地区的启发，我们考虑半六边形，其中两个排列的三角形孔阵列已从其边界删除。与侵入式阿兹特克钻石（其多米诺骨牌的数量在其因子分解中包含一些大的素因子）不同，我们的双侵入式半六边形的菱形镶嵌的数量由简单的乘积公式给出，其中所有因子在参数中是线性的。在本文中，我们提出了一个广泛的列表的确切平铺计数十六种不同类型的双侵入半六边形。我们还证明了菱形镶嵌的对称六边形与三个阵列的三角形删除总是枚举的封闭形式的产品公式。我们的结果推广了以前的几个作品，包括普罗克托枚举的转置互补平面分区，Ciucu的相关工作，以及最近的推广Rohatgi和作者。
2019-02-08 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
出于对Proctor研究的一类平面划分的枚举和对平面划分的对称类的考虑，我们考虑了从六边形的一些顶点移除“最大楼梯”的菱形拼接的枚举问题。一个顶点的情况对应于Proctor问题。对于两个顶点，有几种情况需要考虑，其中大多数导致很好的枚举公式。对于三个或更多的顶点，似乎不存在一般的好的产品公式，但在一个特殊的情况下，发生了很多的因式分解，我们提出的问题，找到一个公式的数量在这种情况下的平铺。
2001-04-04 math.CO
Enumeration of symmetric centered rhombus tilings of a hexagon
一个六边形的菱形镶嵌被称为居中，如果它包含中心菱形。我们计算了边长为$a, b, a, a, b, a$且居中的六边形的垂直对称菱形镶嵌的个数。当$a$为奇数而$b$为偶数时，这表明$a, b, a, a, b, a$六边形的随机垂直对称菱形平铺居中的概率与$a, b, a, a, b, a$六边形的随机菱形平铺居中的概率完全相同。这也导致了一个因式分解定理的数量的所有菱形镶嵌的六边形是中心。
2013-06-06 math.CO
A Shuffling Theorem for Centrally Symmetric Tilings
Rohatgi和作者最近证明了“双凹六边形”菱形镶嵌的洗牌定理（arXiv：1905.08311）。该定理可以看作是镶嵌计数中两个经典定理的混合：关于中心对称六边形的MacMahon定理和关于有凹点的半六边形的Cohn-Larsen-Prop定理。在本文中，我们考虑一个类似的洗牌定理的中心对称镶嵌的双凹六边形。我们的定理还暗示了作者在arXiv：1803.02792中提出的一个猜想，关于具有三个三角形孔阵列的六边形的中心对称平铺的计数。这种枚举，反过来，可以被认为是一个共同的推广（平铺等效版本）斯坦利的枚举自互补平面分区和Ciucu的工作对称性的三叶草结构。此外，我们的枚举也证实了Ciucu在arXiv：1906.02951中提出的一个猜想。
2019-07-06 math.CO
Selberg integrals, Askey-Wilson polynomials and lozenge tilings of a hexagon with a triangular hole
我们得到了一个显式公式的某种加权计数菱形镶嵌的六边形与任意三角形孔。我们的表达式的复杂性取决于从洞到六边形中心的距离。这证明并概括了Ciucu等人的观点，他考虑了当三角形位于中心或非常接近中心时的简单枚举的情况。我们的证明使用Askey-Wilson多项式作为工具，将离散和连续Selberg型积分联系起来。
2015-03-12 math.CA math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with a central triangular hole
本文研究边长为$a,b+m,c,a+m,b,c+m$的六边形菱形镶嵌的未加权和加权枚举问题，其中边长为$m$的等边三角形已从中心移去.我们给出了封闭的公式为平原枚举和一定的$(-1)$ -枚举这些菱形平铺。在这种情况下，$a=b=c$，我们还提供了封闭的公式，某些加权枚举的菱形镶嵌是循环对称的。对于$m=0$，后面的公式专用于关于循环对称平面划分的加权枚举的语句。一个这样的专业化提供了一个证明的猜想Stembridge对一定的加权计数的循环对称平面分区。在我们的证明中采用的工具是不相交格路径和行列式评价理论的非标准应用。特别是，我们评估的决定因素$\det_{0\le i,j\le n-1}\big(\om δ_{ij}+\binom {m+i+j}j\big)$，其中$\om$是任何6次根的单位。这些行列式的评价是一个著名的结果，由于安德鲁斯（发明。53（1979），193- 225），其对应于$\om=1$。
1999-12-07 math.CO
Tiling Enumeration of Hexagons with Off-central Holes
在论文的前传（arXiv：1803.02792）中，我们考虑了双侵入六边形的核心版本的精确枚举。结果推广了Ciucu关于$F$ -核心六边形的工作（Adv. Math. 2017）。在本文中，我们提供了一个广泛的列表30平铺枚举的六边形与三个共线链的三角形孔交替方向。除了连接到六边形边界的两个孔链之外，我们还删除了稍微偏离六边形中心的一个三角形链。我们的两个枚举意味着两个由Ciucu，Eisenkölbl，Krattenthaler和Zare（J. Combin. 2001年）作为两个非常特殊的情况。
2019-05-17 math.CO
Automatic Enumeration of Tilings by Polyominoes
Department of Mathematics, Rutgers University（罗格斯大学数学系）
该研究基于Zeilberger的计算框架，复现L-四格骨牌铺砌的生成函数，还得到宽度5-9的显式生成函数及OEIS未收录的新序列，拓展了多联骨牌铺砌的枚举研究。
2026-08-19 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a maximal staircase and a unit triangle removed
Proctor证明了去掉“最大阶梯”后边长为$a,b,c,a,b,c$的六边形菱形镶嵌数的一个公式。然后，Ciucu提出了Proctor结果的加权版本。在这里，我们提出了一个类似的区域，其中有一个额外的单位三角形删除加权和不加权的公式。我们使用郭的图形凝聚方法来证明结果。利用Ciucu的分解定理，得到了一个关于三个相邻边有三个洞的六边形菱形镶嵌数的公式。
2015-10-15 math.CO
Enumeration of labeled trees and Dyck tilings
本文利用Dyck铺砌研究平面带标号有根树的偏序集，证明其生成函数在特定条件下可因式分解，并通过两种分解方式建立有理Dyck铺砌的权重关系与偏序结构。
2024-08-10 math.CO
Proof of two conjectures of Ciucu and Krattenthaler on the enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
在他们2002年的论文中，Ciucu和Krattenthaler证明了从三角形格子上的中心对称六边形通过从两个不相邻的角移除最大阶梯区域而获得的各种区域的菱形镶嵌的数量的几个乘积公式。对于这种情况下，当楼梯被删除从相邻的角落的六边形，他们提出了两个几何公式，其证明，因为他们说，似乎在当时“一项艰巨的任务”。本文证明了这两个定理。我们的证明进行第一次推广的命题，然后证明他们的归纳，使用郭的图形缩合方法。
2013-09-18 math.CO
Enumeration of octagonal tilings
随机镶嵌作为准晶原子模型的理想化以及它们与组合学和算法中的问题的联系是有趣的。特别感兴趣的是平铺熵密度，其测量不同平铺的数量与组成平铺的数量的关系。正方形和45度菱形的倾斜得到了特别的关注，因为它可能是最简单的模型，但在热力学极限下还没有得到精确的解决。然而，一个精确的枚举公式可以评估有限区域中的平铺与固定的边界。我们实现这种算法在一个有效的方式，使调查更大的区域的参数空间比以前是可能的。我们的新结果似乎产生单调增加和减少的下限和上界的固定边界熵密度收敛到S = 0.36021（3）。
2015-03-16 cs.DM math-ph math.CO
Enumeration of Colored Tilings on Graphs via Generating Functions
本文针对图划分为连通着色块的问题，利用二元生成函数与组合技术计算特定图族中块的期望数量，并推广了着色多联骨牌网格铺砌枚举。
2025-01-10 math.CO
A shuffling theorem for lozenge tilings of doubly-dented hexagons
MacMahon关于平面划分的定理给出了一个简单的六边形镶嵌数的乘积公式，Cohn，Larsen和Propp定理给出了凹半六边形通过半严格Gelfand-Tsetlin模式的镶嵌数的显式计数.本文证明了任意一组单位三角形沿水平轴移动的六边形的两个定理的自然混合。特别是，我们表明，“洗牌”删除单位三角形只改变一个简单的乘法因子的区域的平铺数。我们的主要结果推广了一些已知的计数和渐近计数的平铺。我们还揭示了主要结果的研究对称函数和$q$ -系列的连接。
2019-07-01 math.CO
Lozenge tilings of a halved hexagon with an array of triangles removed from the boundary
普罗克托的工作楼梯平面分区产生一个枚举菱形平铺的一半六边形的三角形晶格。Rohatgi最近将这种平铺枚举扩展到从边界删除三角形的半六边形。在本文中，我们证明了一个推广的结果Proctor和Rohatgi列举菱形镶嵌的减半六边形，其中一个阵列的相邻三角形已被删除的边界。
2017-09-07 math.CO
Exact enumeration of lozenge tilings of a triangular region
研究三角形区域\(\mathcal{T}_n\)菱形平铺数量，通过将问题转化为求对偶图二分邻接矩阵\(M_n\)的行列式并对角化来求解，给出精确公式并解释其有许多质因数的原因。
2026-08-04 math.CO
A note on a 2-enumeration of antisymmetric monotone triangles
在他们未发表的工作中，Jockusch和Propp证明了反对称单调三角形的2-计数由一个简单的乘积公式给出。另一方面，作者证明了同样的公式计算四分之一阿兹特克矩形的多米诺骨牌。在本文中，我们直接解释了这一现象，通过建立反对称单调三角形和多米诺平铺的四分之一阿兹特克矩形之间的对应关系。
2015-07-18 math.CO
On enumeration and entropy of ribbon tilings
本文研究带状平铺的每块熵，给出一般区域上界，证明矩形区域渐近熵存在并界于对数函数之间，精确计算两类特殊区域的熵。
2023-05-10 math.CO math.PR
Tilings of damaged hexagons
在最近的一篇论文中，Byun提出了计算具有侵入体的某些六边形区域的菱形镶嵌的好公式。本文试图概括一些边的调查。
2023-02-02 math.CO
A certain ratio of generating functions of lozenge tilings, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本中，赖计算出了两个“有侧凹的半六边形”的加权菱形镶嵌的生成函数的商，它们仅在宽度上不同。Lai通过使用“图形压缩”（即，应用一定的Pfidean单位的加权枚举匹配）。本说明的目的是展示如何用Lindström-Gessel-Viennot方法以一种非常简单的方式对不相交的晶格路径进行计算。基本上相同的观察，但仅限于枚举（即，菱形瓷砖的所有重量都等于$1$），包含在康登最近的预印本中。
2020-07-09 math.CO
Ballot tilings and increasing trees
我们研究枚举的戴克和选票平铺，这是平铺的一个区域确定的两个戴克或选票路径。本文通过Hermite历史给出了Dyck镶嵌计数的两个公式的双射证明。我们证明了其中一个公式等于某个Kazhdan-Lusztig多项式。对于选票镶嵌，我们建立的公式是类似的公式戴克镶嵌。特别地，生成函数具有因式分解的表达式。关键的工具是一棵种植的悬铃木和它不断增加的标签。我们还介绍了一个广义完美匹配，这是双射的埃尔米特历史的选票平铺。通过结合这些对象，我们得到了具有固定下路的选票镶嵌生成函数的各种表达式。
2017-05-18 math-ph math.CO math.MP
Lozenge tilings of a halved hexagon with an array of triangles removed from the boundary, part II
普罗克托的工作楼梯平面分区产生一个枚举菱形平铺的一半六边形的三角形晶格。Rohatgi后来将这种平铺枚举扩展到从边界切下一个三角形的半六边形。在以前的文件中，作者证明了一个共同的推广Proctor的和Rohatgi的结果，列举菱形平铺的情况下，一个任意数量的三角形的数组已被删除的情况下，从一个非楼梯边的一半六边形。在本文中，我们考虑的另一种情况下，三角形阵列已被删除的楼梯边的减半六边形。我们的结果也暗示了一个明确的公式的数量平铺的六边形与三角形阵列的对称轴上失踪。
2017-09-07 math.CO
The quotient of generating functions of lozenge tilings for certain regions derived from hexagons, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本，赖表明，商的生成函数的加权菱形平铺两个“半六边形与横向凹痕”，这只是不同的宽度，因素很好，同样是真实的商的生成函数的加权菱形平铺两个“四分之一六边形与横向凹痕”。Lai通过使用“图形压缩”（即，应用一定的Pfidean单位的加权枚举匹配）。本说明的目的是展示如何可以做到这一点的林斯特伦-Gessel-Viennot方法为非相交的晶格路径。对于“半六边形”的情况，基本上相同的观察，但仅限于枚举（即，菱形瓷砖的所有重量都等于$1$），包含在康登最近的预印本中。
2020-12-13 math.CO
Kasteleyn cokernels
我们认为Kasteleyn和Kasteleyn-Percus矩阵，这是在列举匹配的可平面图，矩阵运算的行和列。如果这样的矩阵定义在主理想整环上，这等价于考虑它的Smith标准形或它的上核。枚举方法的许多变化导致等价矩阵。特别地，Gessel-Viennot矩阵等价于Kasteleyn-Percus矩阵。我们将这些想法应用到平面划分和相关的平铺平面。我们列出了一些apturtures，支持实验在枫树，有关形式的矩阵相关联的枚举的平面分区和其他菱形平铺的平面区域及其对称类。我们专注于枚举轮或$q$轮的情况下，我们推测，cokernels保持轮或$q$轮相关的"不可能的枚举“，其中没有平铺。我们的结果为平面分拆的对称类的计数及其推广提供了一个新的视角。特别地，我们猜想，一个$q$ -特殊化的Jacobi-Trudi矩阵有一个史密斯标准形。如果是这样的话，它可能是一个有趣的结构，与$\SL(n,\C)$的相应不可约表示相关联。最后，我们发现，与证明，正规形式的矩阵，出现在列举多米诺骨牌平铺的阿兹特克钻石。
2002-06-25 math.CO
Enumerations of lozenge tilings, lattice paths, and perfect matchings and the weak Lefschetz property
MacMahon列举了$a \times b \times c$框中的平面分区。这些是在双射菱形平铺的六边形，某些完美的匹配，和家庭的非交叉晶格路径。在这项工作中，我们考虑更一般的区域，称为三角区域，并建立后三个双射的有符号版本。事实上，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。一个组合的论点，涉及一个新的方法，所谓的解决方案的穿刺，然后表明，这些迹象实际上是等价的。这特别提供了这些族的两个不同的行列式枚举。利用这些结果研究了三维多项式环的单项式理想的Artin行列式的弱Lefschetz性质.建立了理想的合丛具有弱Lefschetz性质和半稳定性的充分条件，对具有弱Lefschetz性质的二型代数进行了分类，并深入研究了单项几乎完全交.此外，我们开发了一个通用的方法，往往与代数失败的弱Lefschetz属性复曲面，满足拉普拉斯方程。我们还提出了复曲面品种，满足任意多个拉普拉斯方程的例子。我们的组合方法使我们能够解决依赖于我们的许多结果的基本字段的特性。
2013-05-06 math.AC math.AG math.CO
Determinant Formulae for some Tiling Problems and Application to Fully Packed Loops
本文给出了与交替符号矩阵和满填充圈计数有关的各种整环的分块数的行列式公式。
2004-10-01 math-ph math.CO math.MP
A new proof for the number of lozenge tilings of quartered hexagons
本文证明了三角形格上四分六边形的菱形镶嵌可以用一个简单的乘积公式来计数。本文利用郭氏图凝聚给出了平铺公式的一个新的证明。我们的结果推广了普罗克托定理计数的平面分区包含在一个“最大的楼梯”。
2015-04-26 math.CO
Enumeration of crossings in two-step puzzles
本文证明了一个仅依赖边界条件的公式，用于计算两步谜题内部特定标签和局部构型的出现次数，该证明基于对色图的研究。
2024-11-13 math.CO
Tilted Halved Hexagons: Hexagons, Semi-hexagons, and Halved Hexagons Under One Roof
我们研究了一类新的区域族，它是平铺计数领域中三个著名区域族：准正六边形、半六边形和半六边形的普遍推广。我们证明了一个简单的产品公式，这些新的区域的平铺的数量。我们的主要结果还得到了两类特殊的具有限制部分的平面分拆的计数。
2020-06-22 math.CO
Domino tilings of the expanded Aztec diamond
扩展的阿兹特克钻石是阿兹特克钻石的广义版本，中间有任意数量的长列和长行。在本文中，我们统计了扩张的阿兹特克钻石的多米诺骨牌的数量。利用作者最近提出的求解二维正则格模型计数问题的状态矩阵递推算法，由状态矩阵的递推关系给出了多米诺骨牌的确切个数.
2017-11-01 math.CO
Spotlight Tiling
本文介绍了聚光瓷砖，一种类型的覆盖，这是类似于瓷砖。聚光灯平铺的区别在于“平铺”具有弹性大小，并且放置顺序很重要。聚光灯平铺是分解或覆盖，与典型的静态平铺方法相比，可以将其视为动态平铺。一个彻底的检查聚光灯平铺的矩形，包括这种平铺的分布，根据大小，以及如何聚光灯本身的方向分布。其他几个地区的聚光灯平铺的研究，并建议聚光灯平铺的进一步分析将继续产生优雅的结果和枚举。
2008-06-26 math.CO
A reflection principle for nonintersecting paths and lozenge tilings with free boundaries
本文提出一个补充 Okada–Stembridge Pfaffian 公式的新公式，建立非相交路径的反射原理，将自由边界菱形镶嵌计数归结为无自由边界情形，并给出乘积公式、分解定理及行列式公式等应用。
2025-08-16 math.CO
A Shuffling Theorem for Reflectively Symmetric Tilings
在arXiv：1905.08311中，作者和Rohatgi证明了双凹六边形的洗牌定理。特别是，我们发现，洗牌删除单位三角形沿水平轴在一个六边形只改变了一个简单的乘法因子的平铺数。在本文中，我们考虑了一个类似的现象的对称类的镶嵌，反射对称镶嵌，双凹六边形。我们还证明了半六边形的几个洗牌定理。这些定理推广了半六边形计数中的一些已知结果。
2019-07-05 math.CO
A Schur function identity related to the (-1)-enumeration of self-complementary plane partitions
通过特殊化一个Schur函数恒等式，给出了具有至少一个奇边长的自补平面分拆的（-1）-计数的另一个证明.这个证明类似于斯坦利对普通枚举的证明。此外，我们得到了枚举的180度对称菱形平铺的六边形与障碍的任意长度沿中心线。
2007-05-21 math.CO
Domino tilings, nonintersecting lattice paths and subclasses of Koutschan-Krattenthaler-Schlosser determinants
本文用多米诺平铺和不相交格点路径对Koutschan-Krattenthaler-Schlosser行列式的两个子类给出组合解释，并利用holonomic Ansatz和模归约方法证明了剩余的两个计数猜想。
2025-09-17 cs.SC math.CO math.NT
Quasi-periodic tiling with multiplicity: a lattice enumeration approach
凸多面体$P$的$k$平铺问题是使用平移向量的离散多集$Λ$用$P$的平移覆盖$\mathbb R^d$的问题，使得$\mathbb R^d$中的每个点被精确覆盖$k$次，除了可能的$P$的边界及其平移。在镶嵌问题研究中的一个经典结果是McMullen的一个定理，即一个凸多面体$P$，它用一个离散的多集$Λ$ 1-tile $\mathbb R^d$，实际上可以用一个格$\mathcal L$ 1-tile $\mathbb R^d$。Gravin、Robins和Shiryaev对$k$ -平铺的McMullen定理进行了推广，指出如果$P$ $k$ -用离散多集$Λ$平铺$\mathbb R^d$，则$P$ $m$ -对某些$m$用格$\mathcal L$平铺$\mathbb R^d$。在本文中，我们考虑的情况下，当$P$ $k$ -瓷砖$\mathbb R^d$与一个离散的多集$Λ$，使$Λ$的每个元素包含在一个准周期集$\mathcal Q$（即有限联盟的翻译格）。这是由Gravin、Kolountzakis、Robins和Shiryaev的结果所激发的，该结果表明对于$d \in \{2,3\}$，如果多面体$P$ $k$ -用离散多集$Λ$平铺$\mathbb R^d$，则$P$ $m$ -对于某些$m$用准周期集$\mathcal Q$平铺$\mathbb R^d$。…
2015-06-06 math.CO math.MG
Centrally symmetric tilings of fern-cored hexagons
在本文中，我们列举了一个中心对称菱形平铺的六边形与蕨类植物从其中心删除。证明是基于一个变种郭的图形缩合方法。一个意想不到的连接与总数量的平铺建立~-~当适当规范化，中心对称平铺的数量等于总数量的平铺的平方根。我们给出的结果可以看作是适合于盒子的自补平面划分计数的一个新的推广。
2019-06-07 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Lozenge tilings of hexagons with holes on three crossing lines
在过去的三十年里，带孔六边形菱形镶嵌的计数一直受到人们的关注。一个值得注意的特点是，最近的许多发展都涉及郭的图形凝聚。受Ciucu、Lai和Rohatgi关于去掉三元组的六边形镶嵌的工作的启发，本文证明了两个更一般的区域的菱形镶嵌的数目之比可以表示为一个简单的乘积公式。我们的证明不涉及图形凝聚方法。证据简短而直接。我们还提供了一个相应的公式，循环对称菱形镶嵌。从我们的推广可以很容易地推导出以前的几个结果。
2021-07-06 math.CO
A short proof of two shuffling theorems for tilings and a weighted generalization
最近，Lai和Rohatgi发现了双凹六边形菱形镶嵌的洗牌定理，推广了Ciucu的早期工作。后来，赖证明了一个类似的定理中心对称平铺，推广了其他一些以前的工作Ciucu。本文给出了这两个洗牌定理的统一证明，它也包括加权情形。与原来的证明不同，我们的论点不使用图形压缩方法，而是依赖于一个众所周知的平铺枚举公式，由于科恩，拉森和普罗普。Fulmek独立地发现了Lai和Rohatgi最初的洗牌定理的类似证明。我们的证明也给出了一个组合的解释Ciucu最近的猜想有关的总数和数量的中心对称菱形平铺。
2021-10-27 math.CO
Lozenge Tilings of Hexagons with Intrusions I: Generalized Intrusion
本文通过从六边形区域移除广义侵入结构构造新区域，证明其菱形铺砌数量及带权生成函数具有简单乘积公式，从而推广 MacMahon 定理并给出 $q$-模拟。
2024-09-01 math.CO
Rhombus Tilings of a Hexagon with Three Fixed Border Tiles
我们计算一个六边形的菱形镶嵌的数量，该六边形的边为$a+2,b+2,c+2,a+2,b+2,c+2$，有三个固定的瓷砖接触边界。特殊情况$a=b=c$解决了Propp提出的问题。我们的结果也可以看作是具有$a+2$行和$b+2$列的平面分区的枚举，具有最大的条目$\le c+2$，在第一行具有给定数目的条目$c+2$，在最后一列具有给定数目的条目0，以及给定的左下条目。
1998-09-08 math.CO
Generalizing the divisibility property of rectangle domino tilings
我们介绍了一类图称为复合图，广义矩形，这是一个平面的二分基图的副本。主要结果是：每一个复合图的完美匹配数都能被它的基图的完美匹配数整除。我们的方法是使用Kasteleyn定理来证明一个关键引理，其中整除定理组合地遵循。这个定理然后被应用于提供Propp的匹配的枚举问题21的证明，矩形的整除性。最后，我们提出了一个新的证明，在同样的精神，Ciucu的因式分解定理。
2016-07-26 math.CO
A new determinant for the $Q$-enumeration of alternating sign matrices
Fischer给出了一种新的二项式行列式，它表示包含单位单位根的交替符号矩阵的个数。本文证明了当用不定$q$代替单位的第三根时，她的公式实际上是交替符号矩阵的$(2+q+q^{-1})$ -计数.通过评估一个概括的这一决定因素，我们能够重新证明一个猜想米尔斯，罗宾斯和拉姆齐指出，$Q$ -枚举是一个产品的两个多项式在$Q$。进一步给出了广义行列式在0-、1 - 2-和3-计数情形下的闭积公式，从而给出了交替符号矩阵的$1$ -、$2$ -和$3$ -计数的新证明，以及在$4$ -计数情形下的因式分解.最后，我们涉及的$1$ -枚举我们的广义行列式的决定性评估Ciucu，Eisenkölbl，Krattenthaler和Zare，它计数加权循环对称菱形平铺的六边形与三角形孔，是一个推广的一个著名的结果安德鲁斯。
2021-01-27 math.CO
Monte Carlo estimation of the number of tatami tilings
出于日本榻榻米垫放在地板上的方式，我们认为多米诺骨牌平铺的限制，并估计这种平铺的平面区域的数量。我们映射到一个新的局部相互作用的对偶晶格上的单体-二聚体模型的系统。我们使用一个变种的哈密尔顿副本交换蒙特卡罗方法和多参数重新加权技术来研究模型。数量的性质的研究超越了精确计数和组合方法。对于所有研究的区域，平铺数的对数在区域的边界长度上是线性的。
2016-03-08 cond-mat.stat-mech math.CO physics.comp-ph
Proof of a refinement of Blum's conjecture on hexagonal dungeons
Matt Blum解释说边长为$a,2a,b,a,2a,b$（对于$b\geq2a$）的六边形地牢的平铺数等于$13^{2a^2}14^{\lfloor a^2/2\rfloor}$。Ciucu和本文作者用Kuo的图解凝聚法证明了这个猜想。在本文中，我们研究了一个3-参数的猜想和它的应用计数的几种新类型的六边形地牢的平铺。
2015-04-01 math.CO
