Hidden symmetries of weighted lozenge tilings
我们研究菱形镶嵌的加权分拆函数，权重由Morales，Pak和Panova（2019）在阶乘Schur函数的背景下最初定义的多元有理函数给出。我们证明了这个分拆函数是对称的大家庭的区域。我们采用组合和代数证明。
2020-09-09 math.CO
Lozenge Tilings Of the Equilateral Triangle
我们考虑边长为n的等边三角形的不完全镶嵌，该三角形被细分为n^2个正等边较小的单位三角形。共享一条边的单位三角形对可以被转换成菱形，留下单位三角形的一些子集不变。对于边长n <= 6，我们用菱形和单位三角形对这些覆盖进行数值计算：总的和详细的细化是菱形数量的函数。
2020-07-27 math.CO
A simple explanation for the "shuffling phenomenon'' for lozenge tilings of dented hexagons
在最近的一篇论文中，Lai和Rohatgi证明了一个具有“凹痕”的六边形菱形镶嵌的“洗牌定理”（即，缺少三角形）。在这里，我们将指出，这是立即从列举Gelfand-Tsetlin模式与给定的底行。这一观察也包含在Byun最近的预印本中。
2019-12-29 math.CO
A new proof for the number of lozenge tilings of quartered hexagons
本文证明了三角形格上四分六边形的菱形镶嵌可以用一个简单的乘积公式来计数。本文利用郭氏图凝聚给出了平铺公式的一个新的证明。我们的结果推广了普罗克托定理计数的平面分区包含在一个“最大的楼梯”。
2015-04-26 math.CO
Lozenge Tiling Function Ratios for Hexagons with Dents on Two Sides
本文给出了一个计算三角形格上六边形菱形镶嵌数的公式，该三角形格上的单位三角形是从任意位置沿两个不相邻、不对对边移去的。我们的公式意味着，对于此类区域的某些族，其切片数量的比率由简单的乘积公式给出。
2020-02-12 math.CO
Enumeration of Hybrid Domino-Lozenge Tilings II: Quasi-octagonal regions
我们使用子图替换方法来证明一个简单的产品公式的8顶点对应的Propp的准六边形（问题16在几何组合学的新观点，剑桥大学出版社，1999年），称为准八角形的平铺。
2014-09-07 math.CO
Lozenge tilings of a hexagon with a horizontal intrusion
由Fulmek和Krattenthaler提出的一个猜想的动机，我们提供了产品的菱形平铺的半正六边形包含一个水平入侵的数量公式。作为一个直接推论，我们得到了一个在一定限制条件下的装箱平面分拆数的乘积公式。我们还研究了含有水平侵入的半正六边形和不含侵入的半正六边形的菱形镶嵌数之比的渐近行为。
2022-06-30 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with holes on three crossing lines
在过去的三十年里，带孔六边形菱形镶嵌的计数一直受到人们的关注。一个值得注意的特点是，最近的许多发展都涉及郭的图形凝聚。受Ciucu、Lai和Rohatgi关于去掉三元组的六边形镶嵌的工作的启发，本文证明了两个更一般的区域的菱形镶嵌的数目之比可以表示为一个简单的乘积公式。我们的证明不涉及图形凝聚方法。证据简短而直接。我们还提供了一个相应的公式，循环对称菱形镶嵌。从我们的推广可以很容易地推导出以前的几个结果。
2021-07-06 math.CO
A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary
MacMahon证明了一个简单的产品公式的生成函数的平面分区适合在一个给定的盒子。该定理蕴涵了三角格上半正六边形菱形镶嵌的$q$ -计数。本文用$q$ -枚举一类新的六边形族的菱形镶嵌推广了MacMahon的经典定理，其中菱形镶嵌的四个相邻三角形从它们的边界移去.
2017-04-10 math.CO
Enumeration of Corona for Lozenge Tilings
Capital Normal University（首都师范大学）
本文通过加权邻接矩阵证明了两个六边形镶嵌冠状物的闭合公式，并将其推广到更一般的情形。
2025-04-27 math.CO
Lozenge Tilings of Hexagons with Intrusions II: Shuffling Phenomenon
Amherst College（阿默斯特学院）；University of Nebraska – Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）
本文研究了六边形空洞的铺砌问题，提出新的混合区域并证明其生成函数由简单乘积公式给出，通过洗牌定理建立了相关区域生成函数间的简单关系。
2026-04-05 math.CO
Asymptotics for the number of standard tableaux of skew shape and for weighted lozenge tilings
证明并推广了arXiv：1610.0474（4）中关于$\frac{1}{\sqrt{n!}} f^{λ/μ}$渐近性的一个猜想，其中$f^{λ/μ}$是在$1/\sqrt{n}$标度下具有稳定极限形状的斜形$λ/μ$的标准Young tableaux的个数.证明是基于某些加权菱形镶嵌的分拆函数的变分原理。
2021-01-28 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a maximal staircase and a unit triangle removed
Proctor证明了去掉“最大阶梯”后边长为$a,b,c,a,b,c$的六边形菱形镶嵌数的一个公式。然后，Ciucu提出了Proctor结果的加权版本。在这里，我们提出了一个类似的区域，其中有一个额外的单位三角形删除加权和不加权的公式。我们使用郭的图形凝聚方法来证明结果。利用Ciucu的分解定理，得到了一个关于三个相邻边有三个洞的六边形菱形镶嵌数的公式。
2015-10-15 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of halved hexagons with a boundary defect
我们推广了Proctor定理的一个特殊情况下的菱形平铺的六边形与最大的楼梯删除计数，使用郭的图形凝聚方法。此外，我们证明了一个公式的加权版本的给定区域。这一结果也扩展了Ciucu和Fischer的工作。通过应用Ciucu的分解定理，我们还能够推广MacMahon的装箱平面划分公式的一个特例。
2015-10-15 math.CO
Enumeration of Hybrid Domino-Lozenge Tilings III: Centrally Symmetric Tilings
本文利用子图替换方法研究了画对角线正方形格上区域拼接的新性质。特别是，我们表明，中心对称平铺的推广阿兹特克钻石总是列举了一个简单的产品公式。这个结果推广了Ciucu（1997）和Yang（1992）关于阿兹特克钻石对称镶嵌的工作。我们还使用我们的方法来证明一个封闭形式的产品公式的数量的中心对称平铺的准六边形。
2019-05-17 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with arbitrary dents
Eisenk“Olbl给出了一个计算三角形格上六边形菱形镶嵌数的公式，其中三个单位三角形沿交错边被移除。在早期的工作中，第一作者将其扩展到当任意一组单位三角形从六边形的交替边移除时的情况。在本文中，我们解决的一般情况下，任意一组单位三角形被删除沿边界的六边形。
2014-12-12 math.CO
Enumeration of Hybrid Domino-Lozenge Tilings
我们解决并推广了一个公开的问题，由詹姆斯Propp（问题16在几何组合学的新观点，剑桥大学出版社，1999年）的数量上的平铺准六边形区域的正方形格子与每三个对角线绘制。我们还得到了道格拉斯定理的推广，在一个家庭的区域，每第二对角线画在正方形格的平铺的数量。
2013-09-20 math.CO
The quotient of generating functions of lozenge tilings for certain regions derived from hexagons, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本，赖表明，商的生成函数的加权菱形平铺两个“半六边形与横向凹痕”，这只是不同的宽度，因素很好，同样是真实的商的生成函数的加权菱形平铺两个“四分之一六边形与横向凹痕”。Lai通过使用“图形压缩”（即，应用一定的Pfidean单位的加权枚举匹配）。本说明的目的是展示如何可以做到这一点的林斯特伦-Gessel-Viennot方法为非相交的晶格路径。对于“半六边形”的情况，基本上相同的观察，但仅限于枚举（即，菱形瓷砖的所有重量都等于$1$），包含在康登最近的预印本中。
2020-12-13 math.CO
The generating function of lozenge tilings for a "quarter" of a hexagon, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本中，Lai和Rohatgi应用“图解凝聚”方法计算了“带凹痕的四分六边形”菱形镶嵌的生成函数。本文的目的是展示如何（推广）定理2.1和2.2在赖和Rohatgi的预印本可以实现的Lindström-Gessel-Viennot方法的非交叉格路径和一定的行列式评估。
2021-01-17 math.CO
Lozenge tilings of a halved hexagon with an array of triangles removed from the boundary, part II
普罗克托的工作楼梯平面分区产生一个枚举菱形平铺的一半六边形的三角形晶格。Rohatgi后来将这种平铺枚举扩展到从边界切下一个三角形的半六边形。在以前的文件中，作者证明了一个共同的推广Proctor的和Rohatgi的结果，列举菱形平铺的情况下，一个任意数量的三角形的数组已被删除的情况下，从一个非楼梯边的一半六边形。在本文中，我们考虑的另一种情况下，三角形阵列已被删除的楼梯边的减半六边形。我们的结果也暗示了一个明确的公式的数量平铺的六边形与三角形阵列的对称轴上失踪。
2017-09-07 math.CO
Simple Relationships Between Lozenge Tiling Functions of Related Regions
给出了单位三角形沿两条不相邻的非对边从任意位置移去的三角形格上六边形对称镶嵌数的计算公式。我们表明，对于某些家庭这样的地区，他们的对称平铺的数量的比率是由简单的产品公式。我们还证明，对于某些加权区域时出现的Ciucu的因式分解定理，公式的加权和未加权计数的平铺有一个简单的明确的关系。
2021-12-18 math.CO
Lozenge Tilings of Hexagons with Intrusions I: Generalized Intrusion
本文通过从六边形区域移除广义侵入结构构造新区域，证明其菱形铺砌数量及带权生成函数具有简单乘积公式，从而推广 MacMahon 定理并给出 $q$-模拟。
2024-09-01 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a shamrock missing on the symmetry axis
在他们的论文中关于一个双麦克马洪的经典定理的平面分区，Ciucu和Krattenthaler证明了一个封闭形式的产品公式的平铺数的六边形与“三叶草”，一个联盟的四个相邻的三角形，删除在中心（Proc. Acad. Sci. USA 2013）。赖后来提出了一个$q$ -枚举菱形瓷砖的六边形与三叶草删除从边界（欧洲J。2017年）的报告。看起来，上面是三叶草洞中仅有的两个位置，可以产生很好的平铺枚举。在本文中，我们表明，在对称六边形的情况下，我们总是有一个简单的产品公式时，删除三叶草在任何位置沿对称轴的平铺的数量。我们的结果也推广了Eisenkölbl的相关工作菱形平铺的六边形与两个单位三角形失踪的对称轴（电子。1999年）。
2018-07-31 math.CO
An algorithm to generate exactly once every tiling with lozenges of a domain
我们首先表明，tilings的一般域形成一个格，然后我们进行分解和生成没有任何redundancy。为此，我们广泛地研究了相对简单的情况下，六边形及其变形。我们表明，一般域可以分解成六边形的部分。最后，我们给出了一个算法，以产生一次的每一个元素在格的平铺的一般域。
2001-10-21 math.CO
Signed lozenge tilings
众所周知，六边形的平面划分、菱形镶嵌、蜂窝图上的完美匹配以及六边形中的不相交格路族都是双射。在这项工作中，我们考虑的区域比六边形更一般。它们是通过进一步去除指向上的三角形而获得的。我们称之为三角形区域。我们建立签署后三个双射三角区域的版本。我们首先研究三角形区域的菱形可分性。然后，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。使用一种新的方法，我们称之为解决穿刺，我们表明，这两个符号实际上是等价的。因此，我们得到的平等的决定因素，直到签署，枚举签署完美匹配和签署家庭的格路径的三角形区域，分别。我们还描述了三角形区域，其中有符号枚举同意与无符号枚举。
2015-07-06 math.CO
Proof of two conjectures of Ciucu and Krattenthaler on the enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
在他们2002年的论文中，Ciucu和Krattenthaler证明了从三角形格子上的中心对称六边形通过从两个不相邻的角移除最大阶梯区域而获得的各种区域的菱形镶嵌的数量的几个乘积公式。对于这种情况下，当楼梯被删除从相邻的角落的六边形，他们提出了两个几何公式，其证明，因为他们说，似乎在当时“一项艰巨的任务”。本文证明了这两个定理。我们的证明进行第一次推广的命题，然后证明他们的归纳，使用郭的图形缩合方法。
2013-09-18 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
出于对Proctor研究的一类平面划分的枚举和对平面划分的对称类的考虑，我们考虑了从六边形的一些顶点移除“最大楼梯”的菱形拼接的枚举问题。一个顶点的情况对应于Proctor问题。对于两个顶点，有几种情况需要考虑，其中大多数导致很好的枚举公式。对于三个或更多的顶点，似乎不存在一般的好的产品公式，但在一个特殊的情况下，发生了很多的因式分解，我们提出的问题，找到一个公式的数量在这种情况下的平铺。
2001-04-04 math.CO
A shuffling theorem for lozenge tilings of doubly-dented hexagons
MacMahon关于平面划分的定理给出了一个简单的六边形镶嵌数的乘积公式，Cohn，Larsen和Propp定理给出了凹半六边形通过半严格Gelfand-Tsetlin模式的镶嵌数的显式计数.本文证明了任意一组单位三角形沿水平轴移动的六边形的两个定理的自然混合。特别是，我们表明，“洗牌”删除单位三角形只改变一个简单的乘法因子的区域的平铺数。我们的主要结果推广了一些已知的计数和渐近计数的平铺。我们还揭示了主要结果的研究对称函数和$q$ -系列的连接。
2019-07-01 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with a central triangular hole
本文研究边长为$a,b+m,c,a+m,b,c+m$的六边形菱形镶嵌的未加权和加权枚举问题，其中边长为$m$的等边三角形已从中心移去.我们给出了封闭的公式为平原枚举和一定的$(-1)$ -枚举这些菱形平铺。在这种情况下，$a=b=c$，我们还提供了封闭的公式，某些加权枚举的菱形镶嵌是循环对称的。对于$m=0$，后面的公式专用于关于循环对称平面划分的加权枚举的语句。一个这样的专业化提供了一个证明的猜想Stembridge对一定的加权计数的循环对称平面分区。在我们的证明中采用的工具是不相交格路径和行列式评价理论的非标准应用。特别是，我们评估的决定因素$\det_{0\le i,j\le n-1}\big(\om δ_{ij}+\binom {m+i+j}j\big)$，其中$\om$是任何6次根的单位。这些行列式的评价是一个著名的结果，由于安德鲁斯（发明。53（1979），193- 225），其对应于$\om=1$。
1999-12-07 math.CO
Lozenge tilings of doubly-intruded hexagons
受普罗普的阿兹特克钻石区入侵的部分影响，我们考虑六边形区域，其中两个水平链的三角形孔（称为蕨类植物）被删除，使链在相同的高度，并连接到边界。与侵入的阿兹特克钻石（其多米诺骨牌的数量在其因子分解中包含一些大的素因子）相比，我们的双侵入六边形的菱形镶嵌的数量由简单的乘积公式给出，其中所有因子在参数中是线性的。事实上，我们提出了这些公式的$q$ -版本，它枚举了相应的平面分区样结构的体积。我们还提出了一些自然的统计力学的问题，建议我们的设置，这应该是可以解决使用我们的公式。
2019-05-17 math.CO
Block diagonally symmetric lozenge tilings
Amherst College（阿默斯特学院）；National Cheng Kung University（国立成功大学）
该论文引入$\boldsymbol{r}$-块对角对称的平面分拆与菱形铺砌类，证明其铺砌生成函数为简单乘积公式，推导体积生成函数，还研究$(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r^{\text{'}}})$-块对角对称类，用两种方法开展相关分析。
2026-08-04 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with central holes and dents
Ciucu表明，六边形的菱形镶嵌的数量，其中交替方向的等边三角形链，称为“\emph{fern}”，已在中心被删除，由一个简单的乘积公式给出（Adv. Math. 2017）。在本文中，我们提出了一个多参数的推广这项工作，给出了一个明确的平铺枚举的六边形与三个蕨类植物删除，除了中间的蕨类植物位于中心的Ciucu的区域，我们删除两个额外的蕨类植物从两边的六边形。我们的结果也意味着对应的MacMahon的经典公式装箱平面分区，相应的\emph{exterior}的union的三个不相交的凹多边形的每边画后旋转120度。
2019-05-20 math.CO
Exact enumeration of lozenge tilings of a triangular region
研究三角形区域\(\mathcal{T}_n\)菱形平铺数量，通过将问题转化为求对偶图二分邻接矩阵\(M_n\)的行列式并对角化来求解，给出精确公式并解释其有许多质因数的原因。
2026-08-04 math.CO
Moments of inertia associated with the lozenge tilings of a hexagon
考虑任意选择边长为a，b，c，a，b，c的六边形菱形镶嵌包含最低顶点为（x，y）的水平菱形的概率，就好像它描述了平面上的质量分布。我们计算相对于该分布的水平和垂直惯性矩。这解决了Propp [1，Problem 7]中的一个问题。
2000-12-15 math.CO math.PR
Enumeration of tilings of quartered Aztec rectangles
推广了W. Jockusch和J. Propp通过列举四分之一阿兹特克矩形的镶嵌来研究四分之一阿兹特克钻石。利用子图替换法将Aztec矩形的对偶图转化为菱形六边形的对偶图，然后利用Lindström-Gessel-Viennot方法求菱形六边形的分块个数.
2014-04-14 math.CO
A reflection principle for nonintersecting paths and lozenge tilings with free boundaries
本文提出一个补充 Okada–Stembridge Pfaffian 公式的新公式，建立非相交路径的反射原理，将自由边界菱形镶嵌计数归结为无自由边界情形，并给出乘积公式、分解定理及行列式公式等应用。
2025-08-16 math.CO
Selberg integrals, Askey-Wilson polynomials and lozenge tilings of a hexagon with a triangular hole
我们得到了一个显式公式的某种加权计数菱形镶嵌的六边形与任意三角形孔。我们的表达式的复杂性取决于从洞到六边形中心的距离。这证明并概括了Ciucu等人的观点，他考虑了当三角形位于中心或非常接近中心时的简单枚举的情况。我们的证明使用Askey-Wilson多项式作为工具，将离散和连续Selberg型积分联系起来。
2015-03-12 math.CA math.CO
Height Fluctuations of Random Lozenge Tilings Through Nonintersecting Random Walks
本文通过不相交的Bernoulli随机游动研究了三角格点上多边形区域的菱形随机镶嵌的高度涨落。对于一类恰好有一个水平上边界边的多边形，我们证明了这些随机高度函数收敛到Kenyon和Okounkov [28]预测的高斯自由场。我们证明的一个关键因素是由Borodin，Guionnet和Gorin [5]引入的离散回路方程的动力学版本，这可能是独立的兴趣。
2020-11-03 math.CO math.PR
Lozenge tilings with free boundaries
研究了具有部分自由边界区域的菱形镶嵌问题。特别是，我们考虑一个梯形域（半六边形），S. T。长边上的水平菱形可以在任何地方与其相交以突出一半。我们发现，附近的相对平坦的垂直边界的水平菱形的位置具有相同的联合分布的特征值从高斯酉包络（的GUE角/未成年人的过程）。我们还证明了高度函数的极限形状的存在性，这也是一个垂直对称的平面划分。这两种行为示出符合相应的双重固定边界六边形域。我们还考虑域的不同方面收敛到$\infty$在不同的速度和恢复再次的GUE角落的过程附近的边界。
2015-08-07 math.CO math.PR
Gaussian Unitary Ensemble in random lozenge tilings
本文建立了大区域均匀随机菱形镶嵌标度极限的一个普适性结果。我们证明了，每当域的边界有三个相邻的直线段倾斜下120度，在中间段附近的平铺渐近描述的随机矩阵理论的GUE-角落过程。在我们的论点中的一个重要步骤是表明，基本上任意的直径$N$的单连通域上的随机平铺的高度函数的波动具有比$N^{1/2}$更小的幅度。
2021-06-14 math-ph math.CO math.MP
Tilings of damaged hexagons
在最近的一篇论文中，Byun提出了计算具有侵入体的某些六边形区域的菱形镶嵌的好公式。本文试图概括一些边的调查。
2023-02-02 math.CO
Lozenge tilings and Hurwitz numbers
我们给出了一个新的证明的事实，即在冻结边界的转折点附近，在一个均匀随机菱形平铺的大的GUE域的垂直瓷砖的分布像一个GUE随机矩阵的特征值。我们的论证没有使用任何可积概率的标准工具。在他们的地方，它使用的Harish-Chandra/Itzykson-Zuber积分的组合解释作为非对称化Hurwitz数的生成函数。
2014-12-27 math-ph math.CO math.MP
Asymptotics of uniformly random lozenge tilings of polygons. Gaussian free field
我们研究了三角形网格上多边形均匀菱形拼接所对应的随机台阶表面的大尺度高度波动。对于一类多边形（允许任意大的边数），我们表明，这些波动是渐近高斯自由（无质量）场。这补充了在Kenyon [Comm.Math.Phys.281（2008）675-709]中获得的关于没有极限形状的冻结小平面的区域的平铺的类似结果。在我们的渐近分析中，我们使用显式双围道积分公式用于先前在Petrov [Asymptotics of random lozenge tilings via Gelfand-Tsetlin schemes（2012）Preprint]中获得的模型的行列式相关核。
2015-01-08 math-ph math.CO math.MP
A short proof of two shuffling theorems for tilings and a weighted generalization
最近，Lai和Rohatgi发现了双凹六边形菱形镶嵌的洗牌定理，推广了Ciucu的早期工作。后来，赖证明了一个类似的定理中心对称平铺，推广了其他一些以前的工作Ciucu。本文给出了这两个洗牌定理的统一证明，它也包括加权情形。与原来的证明不同，我们的论点不使用图形压缩方法，而是依赖于一个众所周知的平铺枚举公式，由于科恩，拉森和普罗普。Fulmek独立地发现了Lai和Rohatgi最初的洗牌定理的类似证明。我们的证明也给出了一个组合的解释Ciucu最近的猜想有关的总数和数量的中心对称菱形平铺。
2021-10-27 math.CO
GUE corners limit of q-distributed lozenge tilings
本文研究了$q$分布随机菱形镶嵌的渐近性（等价于顶行固定的随机交错整数阵列）.在该分布下，我们认为每个平铺与$q^{\mathsf{vol}}$成比例地加权，其中$\mathsf{vol}$是对应的3D阶梯表面下的体积。我们证明了如下的交错中心极限定理：当$q\rightarrow1$，区域变大，固定的顶行逼近给定的非随机轮廓时，垂直菱形分布为GUE随机矩阵及其连续主角的特征值。我们的结果扩展了GUE角点渐近的有界多边形域的平铺先前已知的统一（即，$q=1$）案例。即使$q$变为$1$，$q$加权的存在也会影响我们的中心极限定理中的非普适常数。
2017-04-05 math-ph math.CO math.MP
Edge Statistics for Lozenge Tilings of Polygons, II: Airy Line Ensemble
本文证明在极限形状技术假设下，单连通多边形随机菱形铺砌在北极边界非奇异点附近的边缘统计收敛于Airy线系综，并利用保持高度函数集中估计的Markov链完成与六边形铺砌的局部比较。
2023-10-09 math-ph math.CO math.MP
A factorization theorem for lozenge tilings of a hexagon with triangular holes
在本文中，我们提出了一个组合推广的事实，即适合在一个$2a\times b\times b$盒的平面分区的数量等于这样的平面分区的数量是对称的，乘以这样的平面分区的数量，其中的转置是相同的补充。我们使用等效的措辞这个身份的对称类菱形平铺的六边形的三角形格子。我们的推广包括允许六边形沿其水平对称轴具有某些对称放置的孔。没有洞的特殊情况可以看作是对称平面划分的枚举的一个新的、更简单的证明。
2016-08-26 math-ph math.CO math.MP
Universality for Lozenge Tiling Local Statistics
本文研究任意逼近光滑单连通区域的均匀随机菱形铺砌，通过与不相交 Bernoulli 随机游走局部耦合并证明高度函数的介观局部定律，确立液相局部统计量的斜率 Gibbs 测度普适性。
2023-09-28 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Tiling enumeration of doubly-intruded halved hexagons
受Propp的入侵阿兹特克钻石地区的启发，我们考虑半六边形，其中两个排列的三角形孔阵列已从其边界删除。与侵入式阿兹特克钻石（其多米诺骨牌的数量在其因子分解中包含一些大的素因子）不同，我们的双侵入式半六边形的菱形镶嵌的数量由简单的乘积公式给出，其中所有因子在参数中是线性的。在本文中，我们提出了一个广泛的列表的确切平铺计数十六种不同类型的双侵入半六边形。我们还证明了菱形镶嵌的对称六边形与三个阵列的三角形删除总是枚举的封闭形式的产品公式。我们的结果推广了以前的几个作品，包括普罗克托枚举的转置互补平面分区，Ciucu的相关工作，以及最近的推广Rohatgi和作者。
2019-02-08 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with removed core and satellites
我们认为，从120度旋转不变的六边形通过删除核心和三个相等的卫星（所有等边三角形），使所得到的区域是垂直对称和120度旋转不变的区域，并给出简单的产品公式的菱形平铺的数量。我们描述了一种新的方法来证明这些公式，并给出了一个说明性的特殊情况下的全部细节。作为一个副产品，我们也能够在不同的方向推广这种特殊情况，通过找到一个20年前由Ciucu，Eisenkölbl，Krattenthaler和Zare提出的公式的自然对应物，直到现在才被注意到。原问题的一般情况将在以后的论文中讨论。然后，我们得出了孔的相关性，这是本研究的原始动机的后果。
2019-10-30 math-ph math.CO math.MP
Lozenge tilings and the Gaussian free field on a cylinder
我们使用arXiv：math/0601019 v1中介绍的周期性Schur过程，研究了在$q^{\operatorname{vol}}$测度的两个变体下分布的无限圆柱体上菱形平铺（等效地，二聚体）的随机高度函数。根据第一种变体，对应于随机圆柱分区，高度函数收敛到一个确定性的极限形状和波动周围的高斯自由场的共形结构的Kenyon-Okounkov猜想预测。在第二种变体下，对应于圆柱上的无限制二聚体模型，波动由相同的高斯自由场与额外的离散高斯位移分量给出。后一种类型的波动先前已被证明为二聚体模型上的平面域与孔。
2022-08-06 math-ph math.CO math.MP
Height fluctuation for Lozenge Tilings of Polygons
University of Philadelphia, PA（费城大学）
该研究针对3d边单连通多边形区域的均匀随机菱形铺砌，证实其中心化高度函数涨落收敛于高斯自由场，引入铺砌作用函数并构造逆Kasteleyn矩阵近似，验证了Kenyon与Okounkov2007年的预测。
2026-09-07 math-ph math.CO math.MP
Generating function of the tilings of Aztec rectangle with holes
我们考虑一个生成函数的多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形与几个边界单位广场删除。我们的生成函数涉及两个统计：排名的瓷砖和一半数量的垂直多米诺骨牌在阿兹特克钻石定理由Elkies，Kuperberg，Larsen和Propp。此外，我们的工作推导出一个有趣的连接之间的菱形平铺的半六边形和多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形的数量的组合解释。
2015-04-01 math.CO
Enumerations of lozenge tilings, lattice paths, and perfect matchings and the weak Lefschetz property
MacMahon列举了$a \times b \times c$框中的平面分区。这些是在双射菱形平铺的六边形，某些完美的匹配，和家庭的非交叉晶格路径。在这项工作中，我们考虑更一般的区域，称为三角区域，并建立后三个双射的有符号版本。事实上，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。一个组合的论点，涉及一个新的方法，所谓的解决方案的穿刺，然后表明，这些迹象实际上是等价的。这特别提供了这些族的两个不同的行列式枚举。利用这些结果研究了三维多项式环的单项式理想的Artin行列式的弱Lefschetz性质.建立了理想的合丛具有弱Lefschetz性质和半稳定性的充分条件，对具有弱Lefschetz性质的二型代数进行了分类，并深入研究了单项几乎完全交.此外，我们开发了一个通用的方法，往往与代数失败的弱Lefschetz属性复曲面，满足拉普拉斯方程。我们还提出了复曲面品种，满足任意多个拉普拉斯方程的例子。我们的组合方法使我们能够解决依赖于我们的许多结果的基本字段的特性。
2013-05-06 math.AC math.AG math.CO
