李群上离散拉格朗日力学的对称约化
Symmetry reduction of discrete Lagrangian mechanics on Lie groups
AI总结：
本文针对李群上的离散力学系统，通过勒让德变换拉回李-泊松结构定义泊松结构，证明其与离散拉格朗日2-形式的对称约化一致，辛叶成为动态不变流形，并联系广群、代数胚及约化哈密顿-雅可比方程，以刚体为例验证。
摘要：
对于由（约化的）拉格朗日量 $\ell$ 确定的李群 $G$ 上的离散力学系统，我们通过相应的勒让德变换将李代数对偶空间 ${\mathfrak g}^*$ 上的李-泊松结构拉回，从而定义一个泊松结构。本文证明的主要结果是：该结构与在对称群 $G$ 作用下 $G \times G$ 上典范离散拉格朗日 2-形式 $\omega_\mathbb{L}$ 的约化一致。其辛叶随后成为约化离散系统的动态不变流形。我们还建立了我们的方法与广群和代数胚方法以及约化的哈密顿-雅可比方程之间的联系。最后以刚体为例进行讨论。
英文摘要：
For a discrete mechanical system on a Lie group $G$ determined by a (reduced) Lagrangian $\ell$ we define a Poisson structure via the pull-back of the Lie-Poisson structure on the dual of the Lie algebra ${\mathfrak g}^*$ by the corresponding Legendre transform. The main result shown in this paper is that this structure coincides with the reduction under the symmetry group $G$ of the canonical discrete Lagrange 2-form $ω_\mathbb{L}$ on $G \times G$. Its symplectic leaves then become dynamically invariant manifolds for the reduced discrete system. Links between our approach and that of groupoids and algebroids as well as the reduced Hamilton-Jacobi equation are made. The rigid body is discussed as an example.
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