Enumeration of alternating sign triangles using a constant term approach
最近Ayyer、Behrend和作者提出了交替符号三角形（ASTs），并证明了n行交替符号三角形的个数与n × n交替符号矩阵的个数相等。我们证明了一个猜想Behrend上的一个精致的计数的AST相对于一个统计，显示出具有相同的分布列的唯一的1在顶行的ASM。该猜想的证明是基于AST的某个多元生成函数，该生成函数考虑了总和为1的列（1-列）的位置。我们还证明了一个奇怪的身份上的1列的AST的循环旋转。此外，我们讨论了我们的多元生成函数的关系，迪弗朗切斯科和Zinn-Justin的公式的数量与一个给定的链接模式相关联的完全包装的循环配置。我们的结果的证明采用了作者的算子公式的单调三角形的数目与规定的底行。这与Ayyer、Behrend和作者所使用的六顶点模型方法相反，并且由于精化的枚举隐含着未精化的枚举，本文还提供了一种可供选择的AST枚举的证明.
2018-04-10 math-ph math.CO math.MP
On the refined 3-enumeration of alternating sign matrices
给出了描述交替符号矩阵精化3-计数的数$A(n,r;3)$的显式表达式。推导是基于最近的结果Stroganov相应的生成函数。结果，$A(n,r;3)$被表示为1倍和，其也可以根据自变量1/4的终止${}_4F_3$系列来写。
2004-11-25 hep-th math-ph math.CO
Enumeration of quarter-turn symmetric alternating-sign matrices of odd order
Kuperberg证明了与偶数阶四分之一圈对称交替符号矩阵有关的方冰模型的配分函数是两个相似因子的乘积。本文提出了一个状态与奇阶四分之一圈对称交替符号矩阵成双射的方冰模型，并证明了该模型的配分函数也可以用类似的方法表示.这允许证明，特别是，由罗宾斯有关枚举的四分之一圈对称交替符号矩阵的命题。
2006-04-21 math-ph math.MP
The Rotor Model and Combinatorics
我们研究了不同边界条件下转子模型的基态波函数。本文对交替符号矩阵的数的出现作了三个说明。除了那些发生在O（$n=1$）模型中，我们发现了数$A_{\rm V}(2m+1;3)$，其中3-枚举垂直对称交替符号矩阵。
2002-04-02 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Multiply-refined enumeration of alternating sign matrices
考虑了交替符号矩阵的四种自然边界统计量和两种自然体统计量。具体来说，这些统计数据是ASM中第一行和最后一行和列中1的位置，以及ASM中广义反演和-1的数量。详细讨论了已知的和相关的结果与规定的值，其中一些统计的精确枚举的ASM。一个二次关系，递归地确定与所有六个统计量的生成函数，然后获得。这种关系也导致了各种新的身份满足生成函数与少于六个的统计。关系的推导涉及结合Desnanot-Jacobi行列式恒等式与Izergin-Korepin公式的分拆函数的六顶点模型与畴壁边界条件。
2013-10-30 math-ph math.CO math.MP
New enumeration formulas for alternating sign matrices and square ice partition functions
给定阶的交替符号矩阵（ASM）在其一个或多个边界边缘附近具有指定行为的精化计数一直是广泛研究的主题，从Mills-Robbins-Rumsey的精化交替符号矩阵猜想开始，由Zeilberger证明，以及最近几位作者对双重精化和三重精化计数的工作。在本文中，我们扩展了以前已知的结果在这个问题上推导出明确的枚举公式的“左上下”（三重精制）和“左上下右”（四重精制）枚举。后一种情况解决了计算ASM的全边界相关函数的问题。通过导出具有畴壁边界条件的方形冰模型在2π/3“组合点”处的分拆函数的新表示，证明了计数公式。
2012-10-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
On refined enumerations of some symmetry classes of ASMs
利用相应方形冰模型的配分函数的行列式表示和作者最近提出的方法，研究了垂直对称交替符号矩阵、非对角对称交替符号矩阵和具有掉头边界的交替符号矩阵的精确计数。对于所有这些情形，都找到了精化计数的显式公式，特别是证明了Kutin-Yuen猜想。
2003-12-29 hep-th math-ph math.CO
The Combinatorics of Alternating Tangles: from theory to computerized enumeration
我们研究枚举交替链接和缠结，被认为是拓扑（flype）等价。为每个连接分量赋予权重$n$，特别是限制$n\to 0$会产生有关（交替）节点的信息。使用有限的重整化方案相关联的矩阵模型，我们首先减少的任务，枚举平面四价图与两种类型的顶点（自交和相切），现在微妙的问题，拓扑等价已被消除。具有$p$顶点的此类图的数量按$p\to\infty$的$12^p$进行缩放。接下来我们将展示如何使用传递矩阵方法有效地枚举这些图（在时间$\sim 2.7^p$中）。我们给出了各种生成函数的结果多达22个交叉点。然后，我们评论他们的高阶渐近行为。
2001-11-06 math-ph math.MP
Frozen-corner enumeration of Alternating Sign Matrices
INFN, Sezione di Firenze（意大利国家核物理研究所佛罗伦萨分部）；Steklov Mathematical Institute（斯捷克洛夫数学研究所）
研究交错符号矩阵的冻结角枚举问题，给出基于特定s×s矩阵行列式的推测公式，通过数值支持该推测，并阐述其与大型交错符号矩阵极限形状、涨落及Tracy - Widom分布的关联。
2026-07-09 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
An Izergin-Korepin-type identity for the 8VSOS model, with applications to alternating sign matrices
我们得到了具有畴壁边界条件的8VSOS模型的分拆函数的一个新的表达式，我们认为它是六顶点模型Izergin-Korepin公式的自然扩张.作为应用，我们找到了交替符号矩阵的计数和2-计数的动力学（在动力学杨-巴克斯特方程的意义下）推广。动力学计数有一个很好的解释方面的三色的正方形晶格。
2008-05-07 math-ph math.CO math.MP
Bethe roots and refined enumeration of alternating-sign matrices
研究了各向异性参数为-1/2且原子数为奇数的XXZ自旋链的最可几基态的性质。所考虑的状态的分量的一些线性组合，除以最大分量，与相应的Bethe根中的初等对称多项式一致。证明了对于长度为2 M +1的链，这些多项式等于提供M+1阶交替符号矩阵的精细计数的数除以M阶交替符号矩阵的总数。
2006-05-12 cond-mat.other math-ph math.MP
On the weighted enumeration of alternating sign matrices and descending plane partitions
我们证明了一个猜想米尔斯，罗宾斯和拉姆齐[交替符号矩阵和下降平面分区，J。Theory Ser.A34（1983），340-359]，对于任何n、k、m和p，n × n交替符号矩阵（ASM）的数目等于降序平面划分（DPPs）的数目，其中第一行的1在列k+1中，并且恰好有m-1和m+p个逆其中每个部分至多为n，并且恰好有k个部分等于n，m个特殊部分和p个非特殊部分。证明涉及到表达相关的生成函数的ASM和DPP与固定的n作为nxn矩阵的行列式，并使用初等变换，以显示这些行列式是相等的。行列式本身是通过标准方法获得的：对于ASM，这涉及到使用Izergin-Korepin公式计算具有畴壁边界条件的六顶点模型的分拆函数，以及ASM和该模型的构型之间的双射;对于DPP，它涉及到使用Lindstrom-Gessel-Viennot定理，以及DPP和某些不相交的晶格路径之间的双射。
2011-11-28 math-ph math.CO math.MP
A Transfer Matrix approach to the Enumeration of Knots
我们提出了一种新的方法来枚举交替节点使用的传递矩阵方法。我们应用它来计算数字上的各种对象，包括素交替缠结与两个连接的组件，为了18- 22，和评论的大秩序的行为与作者的猜想之一。
2002-01-30 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Enumeration of general planar hypermaps with an alternating boundary
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；CEA（法国原子能和替代能源委员会）；Institut de physique théorique（理论物理研究所）；Institut de Mathématiques d’Orsay（奥赛数学研究所）；Fakultät für Mathematik, Universität Wien（维也纳大学数学系）；CRM, Centre de recherches mathématiques de Montréal（蒙特利尔数学研究中心）
本文扩展了之前工作中关于具有交替边界的平面超图的枚举研究，通过经典的一对多对应关系，提出了一种新的策略来获得一般情况下的代数方程，包括装饰有伊辛模型的图，并通过同时消除两个催化变量的主要步骤，展示了伊辛四边形化情况下的显式有理参数化，从而证明了一些显著性质在一般情况下不再成立。
2026-03-30 hep-th math-ph math.CO
Square ice, alternating sign matrices and classical orthogonal polynomials
六顶点模型与域壁边界条件，或方形冰，被认为是其参数的特定值，对应于1-，2-和3-枚举的交替符号矩阵（ASM）。使用Hankel行列式表示的配分函数和边界相关的均匀方形冰，它示出了如何普通和精细枚举可以导出在一个非常简单和直接的方式。推导是基于汉克尔行列式和正交多项式之间的标准关系。对于对应于ASM的1-、2-和3-枚举的特定参数集，汉克尔行列式可以分别自然地与连续哈恩多项式、Meixner-Pollaczek多项式和连续对偶哈恩多项式相关。这一观察允许统一和简化处理ASM枚举。特别是，沿着所提出的方法的路线，我们提供了一个完整的解决方案，长期存在的问题，完善的3枚举的AMS。
2004-12-22 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Enumeration of planar constellations with an alternating boundary
带边界的平面超映射定义为具有边界的平面映射，赋予其内面适当的双色。如果入射内表面的颜色沿其轮廓交替，则边界被称为交替。本文考虑了具有交替边界的平面超映射的计数问题，根据周长和每种颜色内面的度分布。该问题被转化为一个函数方程与催化变量确定相应的生成函数。在星座的情况下-超映射，其所有内面的一个给定的颜色有度$m\geq 2$，其所有其他内面有度倍数的$m$ -我们完全解决了函数方程，并表明，生成函数是代数的，并承认一个明确的合理的参数化。最后，我们专门的情况下，欧拉三角-超映射的所有内面度$3$ -和计算渐近所需的另一项工作的第二作者，证明收敛的重缩放平面欧拉三角布朗映射。
2021-07-20 math-ph math.CO math.MP
A doubly-refined enumeration of alternating sign matrices and descending plane partitions
作者最近证明，对于任何n，在nxn交替符号矩阵（ASM）和下降平面划分（DPP）上的某些统计三元组的分布之间是相等的，其中每个部分至多为n。ASM A的统计量是A中广义逆的数量、A中-1的数量和A第一行中1左边的0的数量，DPP D的相应统计量是D中非特殊部分的数量、D中特殊部分的数量和D中n的数量。在这里，结果被概括为包括每种类型的对象的第四统计量，其中这是ASM的最后一行中1右边的0的数量，以及DPP中的（n-1）的数量加上长度为n-1的行数。这种推广证明了使用已知的三个统计量的生成函数的等式，以及表示每个四个统计量的生成函数在其三个统计量对应的关系。这些关系是通过应用Desnanot-雅可比恒等式的生成函数，其中的行列式产生的标准方法，涉及六顶点模型与域壁边界条件的ASM，和不相交的晶格路径的DPP行列式表达式。
2012-10-15 math-ph math.CO math.MP
Diagonally symmetric alternating sign matrices
Cardiff University（卡迪夫大学）；University of Vienna（维也纳大学）；Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)（约翰·拉德纳计算与应用数学研究所）
本文研究对角对称交替符号矩阵（DSASMs）的计数，得到其数量及相关统计量生成函数的Pfaffian公式，引入与DSASM一一对应的六顶点模型变体并研究相关主题。
2026-10-02 math-ph math.CO math.MP
A transfer matrix approach to the enumeration of colored links
我们提出了一个转移矩阵算法枚举交替链接图与外部腿，给一个权重$n$，以每个连接组件。考虑更一般的具有自相交和相切的四价图，使我们能够处理拓扑（flype）等价。这是通过一个相关的矩阵模型的有限重整化方案。我们给出的结果，表示为多项式在$n$，各种生成函数的顺序为19（链接图），15（总理交替缠结）和11（6腿链接）的交叉。极限$n\to\infty$被显式求解。然后，我们分析的生成函数的高阶渐近。对于$0\le n \le 2$良好的协议被发现与猜想的临界指数，基于KPZ关系。
2001-09-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Diagonally and antidiagonally symmetric alternating sign matrices of odd order
通过引入一个六顶点模型的情形，研究了固定奇阶对角和反对角对称交替符号矩阵（DASASM）的计数问题，该模型的构形与这类矩阵是双射的.该模型涉及一个三角形上的网格图，体积和边界的重量满足杨巴克斯特和反射方程。我们得到了这个模型的分拆函数的一般表达式作为两个行列式项之和，并表明，在一定的点，这些条款减少到一个舒尔函数。然后，我们能够证明Robbins在20世纪80年代中期提出的一个猜想，即$(2n+1)\times(2n+1)$ DASASM的总数是$\prod_{i=0}^n\frac{(3i)!}{(n+i)!}$，以及Stroganov在2008年提出的一个猜想，即具有中心条目$-1$和$1$的$(2n+1)\times(2n+1)$ DASASM的数量之比是$n/(n+1)$。在20世纪80年代提出的几个对称交替符号矩阵计数的乘积公式中，奇数阶DASASM的乘积公式是最后一个得到证明的。
2017-07-31 math-ph math.CO math.MP
The number of monotone trapezoids with prescribed bottom row
本文建立了具有指定底行的单调梯形数量的算子公式，推广交替符号矩阵，发现特殊情况下被消去的隐藏算子，涉及自由边界并揭示与共变代数的关系，提出相关猜想。
2025-02-13 math-ph math.CO math.MP
Symmetry classes of alternating sign matrices in the nineteen-vertex model
研究了具有反对角扭转的周期晶格上的十九顶点模型。它的非均匀传输矩阵被证明有一个简单的本征值，与相应的本征态显示有趣的组合功能。以前在具有对角扭转的相同模型中发现了类似的结果。反对角扭转的本征态显式构造使用量子分离变量技术。计算了非齐次六顶点模型的配分函数的求和规则和特殊分量，并用Kuperberg行列式表示。文中还计算了对角扭转的特殊本征态的某些分量。在齐次极限下，特殊本征态成为可积自旋为1的XXZ链在扭曲边界条件下的哈密顿量的本征向量。他们的总和规则和特殊组件的两个扭曲表示的生成函数中产生的加权枚举的各种对称类的交替符号矩阵（ASM）。这些包括半圈对称ASM、四分之一圈对称ASM、垂直对称ASM、垂直和水平反向ASM和双U形转弯ASM。作为副结果，得到了交替符号矩阵的各种对称类的加权计数的新的行列式公式和pf公式。
2016-01-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
3-enumerated alternating sign matrices
令$A(n,r;3)$为第一行的唯一“1”位于$r^{th}$列的$n$阶交替符号矩阵的总权重，并且如果单个矩阵具有等于-1的$k$项，则该矩阵的权重为$3^k$。定义生成函数$G_n(t)=\sum_{r=1}^n A(n,r;3)t^{r-1}$的序列。得到了两种不同的结果。一方面，给出了偶子序列$G_{2ν}(t)$在$ν$中的两个线性齐次二阶递推式的显式表示（定理1）。另一方面，我揭示了相邻函数$G_{2ν+1}(t)$和$G_{2ν}(t)$之间的良好联系（定理2）。Kuperberg发现的3-计数$A(n;3) \equiv G_n(1)$也被复制。
2003-04-01 math-ph math.CO math.MP
Alternating sign matrices and totally symmetric plane partitions
本文引入了一类新的Schur正对称函数族$\mathcal{A}_{n,k}$，定义为全对称平面剖分上的和.在第一部分中，我们表明，对于$k=1$，这个家庭是等于一个多元生成函数，涉及$n+3$变量的对象，扩展交替符号矩阵（ASM），这是最近推出的作者。这建立了一个新的连接之间的ASM和一类平面分区，从而补充的事实，即ASM是equinumerous与完全对称的自互补平面分区以及下降的平面分区。证明是基于一个新的反对称化子行列式公式，我们也提供了一个双射证明。在第二部分中，我们涉及三个专业化的$\mathcal{A}_{n,k}$的加权枚举列严格转移的平面分区，概括下降的平面分区的某些众所周知的类。
2022-01-31 math-ph math.CO math.MP
Alternating Sign Pentagons and Magog Pentagons
本文通过统计交替符号三角形左右全 0 列定义交替符号五边形，证明其与特定 Magog 五边形在统计量 $\ ho$ 下等数，并给出 Pfaffian 形式的生成函数。
2023-09-26 math-ph math.CO math.MP
New bijective proofs pertaining to alternating sign matrices
本文针对 ASM-DPP 双射问题，利用相容性概念构造交替符号矩阵与移位 Gelfand-Tsetlin 模式间更自然的带符号双射，并为含 n+3 个统计量的 ASM 推广的精细化枚举提供双射证明。
2024-10-29 math-ph math.CO math.MP
The nineteen-vertex model and alternating sign matrices
本文证明了具有某些对角扭曲边界条件的非齐次十九顶点模型的传递矩阵具有简单的本征值。这是通过识别一个简单的和完全明确的解决方案，其贝特方程。相应的特征向量的计算通过代数Bethe变换，和一个简单的组成部分和它的平方范数表示的Izergin-Korepin行列式。在齐次极限下，该矢量与扭曲的自旋为1的XXZ链的超对称单线态重合。它表明，在一个自然的多项式规范化计划，其平方范数和简单的组件符合生成函数的加权枚举交替符号矩阵。
2014-08-19 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The relation between alternating sign matrices and descending plane partitions: $n+3$ pairs of equivalent statistics
有相同数量的$n \times n$交替符号矩阵（ASM），因为有下降平面划分（DPP）的部分不大于$n$，但寻找一个显式双射是一个开放的问题约$40$年了。到目前为止，已经确定了关于具有相同联合分布的自动售货机和发展产品方案的四倍统计数据。我们介绍了扩展的ASM和DPP随着$n+3$统计的每个扩展，并表明这两个家庭的统计有相同的联合分布。ASM-DPP等量性是通过考虑这些扩展对象相对于一对$n+3$统计对的$(-1)$枚举而得到的。人们可能会推测，这些扩展可能是必要的，以使统计数据的数量显著增加，以及在专门化ASM和DPP时涉及符号，这可能暗示了在ASM和DPP之间找到显式双射的障碍。我们的证明的一个重要工具是一个多变量的推广的运营商公式的数量单调三角形与规定的底行，推广舒尔功能。
2022-12-02 math-ph math.CO math.MP
The open XXZ chain at $Δ=-1/2$ and totally-symmetric alternating sign matrices
本研究针对各向异性参数$Δ=-1/2$、含$x$依赖对角边界场的有限长开放XXZ自旋链，揭示其基态矢量分量为整数系数$x$多项式，且分量和对应全对称交替符号矩阵加权计数的生成函数。
2025-11-18 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Izergin-Korepin determinant reloaded
我们考虑Izergin-Korepin行列式[1]和Kuperberg [2]发明的另一个行列式。他利用这些行列式证明了Robbins [3]提出的偶数阶半圈对称交替符号矩阵的总数公式。进一步发展了文[4]中的方法，得到了这些行列式的一个封闭的非线性递推系统。它可以以各种方式使用。例如，在本文中，我们得到了偶数阶半圈对称交替符号矩阵的精化计数公式（29）。
2004-09-27 math-ph math.MP
Extreme diagonally and antidiagonally symmetric alternating sign matrices of odd order
对于每个$α\in \{0,1,-1 \}$，我们计算了沿对角线和反对角线具有最大数目的$α$的固定奇阶对角和反对角对称交替符号矩阵（DASASM），以及沿对角线和反对角线具有最小数目的$0$的固定奇阶DASASM.在这些枚举中，我们遇到了以前在平面划分或交替符号矩阵计数中出现的乘积公式，即所有交替符号矩阵的数量，给定框中循环对称平面划分的数量以及垂直和水平对称ASM的数量。我们还证明了一些改进。例如，在沿对角线和反对角线具有最大数量的$-1$的DASASM的情况下，这些考虑自然地导致交替符号三角形的定义。这些都是新的对象，是equinumerous与ASM，我们能够证明这一事实的两个参数的细化，涉及的数量$-1$的和反数的ASM侧。为了证明我们的结果，我们扩展技术，以处理三角形的六顶点配置，最近已成功地应用于解决罗宾斯猜想的奇数阶的所有DASASM的数量。重要的是，我们使用的反射方程的一般解决方案来证明的分拆函数的对称性的光谱参数。在我们所有的例子中，我们推导出分拆函数的行列式公式或Pfiran公式，然后我们专门化这些公式，以获得所考虑的各种极端奇DASASM的乘积公式。
2020-09-10 math-ph math.CO math.MP
A new way to deal with Izergin-Korepin determinant at root of unity
考虑了由$n$正方形格点定义在$n$上的非齐次六顶点模型的配分函数。该函数取决于分别附接到水平线和垂直线的2n个光谱参数$x_i$和$y_i$。在畴壁边界条件的情况下，它由Izergin-Korepin行列式给出。当$q$是单位根时，配分函数满足一个特殊的线性函数方程.当交叉参数$η=2π/3$。在这种情况下，它可以用来解决一些问题有关的枚举交替符号矩阵。特别是，它可以重现由米尔斯，罗宾斯和拉姆齐发现并由Zeilberger证明的精炼ASM分布。此外，众所周知，配分函数在$\{x\}$中以及在$\{y\}$变量中是对称的。我发现，在$η=2π/3$的情况下，配分函数在并集$\{x\} \cup \{y\}$中是对称的！利用这种对称性，可以找到$n$阶交替符号矩阵的个数之间的关系，这种矩阵的两个“1”位于矩阵边界上的固定位置。最后推导出了给出“上下双细化”ASM分布的方程。
2004-06-03 math-ph math.CO math.MP
A local bijection between alternating sign matrices and descending plane partitions and a Striker--Fulmek-type $q$-statistic
本文构造了 Behrend--Di Francesco--Zinn-Justin 细化纤维中交错符号矩阵与下降平面分拆之间的局部双射，通过移动边界线实现，并引入了一个保持统计量的 Striker--Fulmek 型 $q$-统计量。
2026-06-23 math-ph math.CO math.MP
