点相互作用的等周问题

双稳态哈密顿系统的退化等周问题和行波

A Degenerate Isoperimetric Problem and Traveling Waves to a Bi-stable Hamiltonian System

分析了平面上一个非标准的等周问题，其中度量在两点上具有退化共形因子。在保形因子的某些假设下，我们建立了与封闭欧氏面积相关的约束下的最短长度曲线的存在性。作为动机和应用这个等周问题，我们确定这些等周曲线，适当参数化，作为行波解的双稳态哈密顿系统的PDE的。我们还确定存在的最大传播速度为这些行波通过一个明确的上界取决于共形因子。

弦平均的不等式及其在等周问题中的应用

Inequalities for means of chords, with application to isoperimetric problems

我们考虑物理学中的一对等周问题。第一个问题涉及$L^2(\mathbb{R}^2)$中的薛定谔算子，其中吸引相互作用支持在一条闭合曲线$Γ$上，形式上由$-Δ-αδ(x-Γ)$给出;我们问给定长度的哪条曲线使基态能量最大化。在第二个问题中，我们在$\mathbb{R}^3$中有一个环形的线$Γ$，均匀带电但不导电，我们询问（重整化）势能最小化。这两个问题减少到纯粹的几何问题不等式的平均值的和弦$Γ$。本文证明了当$p \leq 2$为圆时，$p$ -曲线弦的平均值的等周定理，特别是当$Γ$为圆时，这意味着物理问题的全局极值总是能得到.文章最后讨论了$p$ --$p > 2$时的和弦手段。

对背景核具有库仑排斥和吸引的等周问题

An isoperimetric problem with Coulomb repulsion and attraction to a background nucleus

研究了一个能量包含集合周长、集合与自身的库仑排斥和集合对带电荷$Z$的点电荷背景核的吸引的等周问题.对于具有约束体积$V$的变分问题，我们的主要结果是：当$V - Z$大于$\max(Z^{2/3}, 1)$的常数倍时，极小元不存在.我们证明的主要技术成分是均匀密度引理和静电屏蔽参数。

一个具有偶极排斥的非局部等周问题

A nonlocal isoperimetric problem with dipolar repulsion

本文研究了一个几何变分问题，它是在一个质量约束下，周长与正则偶极相互作用相互竞争的平面上的集合。与以前研究的非局部等周问题相反，这里的非局部项渐近本地化，并有助于周长项领先的顺序。我们建立了广义极小值的偶极强度，质量和正则化截断的所有值的存在性，并给出了经典极小值的存在条件。对于亚临界偶极强度，我们证明了限制功能是一个重整化周长，并为小的截止长度的所有质量约束极小化磁盘。对于临界偶极强度，我们确定了下一阶$Γ$ -极限时，发送的截止长度为零，并证明了偶极核有轻微的修改存在的经典极小不是磁盘的群众。

Allen--Cahn能量欧几里得等周问题的一致稳定性

Uniform stability in the Euclidean isoperimetric problem for the Allen--Cahn energy

该研究针对Allen--Cahn能量泛函在全$\u211d^n$上的等周问题，证明了非退化双势阱下相变尺度一致的二次型精确定量稳定性不等式，并推导出类似经典Alexandrov定理的临界点刚性定理。

具有竞争性非局部相互作用的各向同性等周问题图案形成的严格方法

A rigorous approach to pattern formation for isotropic isoperimetric problems with competing nonlocal interactions

本文针对竞争性局部/非局部各向同性泛函，利用变分法与几何测度论证明临界状态附近全局极小元呈平坦边界图案，并揭示非局部曲率量与平坦性的关系。

非局部等周问题临界点的曲线缩短的唯一性结果

Uniqueness results for critical points of a non-local isoperimetric problem via curve shortening

使用面积保持曲线缩短流，和一个新的不等式所产生的潜在的一组其曲率，我们研究了一个非局部的等周问题，出现在研究的二嵌段共聚物熔体，也被称为Ohta-Kawasaki能量。我们能够表明，唯一连接的临界点是球的边界上的温和的假设下，在小能量/质量制度。特别是这个类包括所有可求长，连接1-流形在$\mathbb{R}^2$。我们还分类在这个政权的环面上的简单连接的临界点，显示唯一的可能性是条纹图案和球。在$\mathbb{R}^2$中，这可以被看作是Fraenkel \cite{Fraenkel}对于牛顿势能的临界点的唯一性和Alexandrov对于周长泛函\cite{alexandrov}的众所周知的结果的部分联合，然而仅限于平面。证明结果在$\mathbb{R}^2$是类似的曲线缩短的结果，由于盖奇\cite{Gage2}，但涉及到一个非局部的周长功能，因为我们表明的能量凸集严格减少沿流动。使用相同的技术，我们得到一个稳定的结果，最小的$\mathbb{R}^2$和条纹图案的环面上，后者最近被证明是全球最小的能量时，非本地性是足够小的\cite{sternberg}。

Rigidity of the ball for an isoperimetric problem with strong capacitary repulsion

We consider a variational problem involving competition between surface tension and charge repulsion. We show that, as opposed to the case of weak (short-range) interactions where we proved ill-posedness of the problem in a previous paper, when the repulsion is stronger the perimeter dominates the capacitary term at small scales. In particular we prove existence of minimizers for small charges as well as their regularity. Combining this with the stability of the ball under small $C^{1,γ}$ perturbations, this ultimately leads to the minimality of the ball for small charges. We cover in particul…

关于弦的等周不等式的临界指数

On the critical exponent in an isoperimetric inequality for chords

在静电和量子力学问题中，最大化连接由弧长$u$分隔的封闭曲线上的点的弦的$L^p$范数的问题出现。已知在固定长度的所有闭合曲线中，唯一最大化形状是$1 \le p \le 2$的圆，但对于足够大的$p$值，情况并非如此。在这里，我们确定的临界值$p_c(u)$的$p$以上的圆是不是一个本地最大化的发现，特别是，$p_c(\frac12 L)=\frac52$。这纠正了\cite{EHL}中的一项声明。