2D Quantum Gravity, Matrix Models and Graph Combinatorics
P. Di Francesco
2004年6月在Les Houches举办的“随机矩阵在物理学中的应用”暑期班上的演讲笔记。
Lecture notes given at the summer school ``Applications of random matrices to physics", Les Houches, June 2004.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The entropy of large black holes in loop quantum gravity: A combinatorics/analysis approach
圈量子引力中大黑洞熵周期性的可能衰减问题一直是人们争论的焦点。使用组合学/分析方法，我们给出了强有力的论据，有利于这种阻尼，至少对于处方的投影约束没有完全实现。这意味着，如果伊米尔齐常数的选择是一致的，那么处于圈引力中的黑洞会表现出渐近的贝肯斯坦-霍金行为。
Random Tensor models: Combinatorics, Geometry, Quantum Gravity and Integrability
在这篇论文中，我们探讨了随机张量模型的不同方面。这些模型已经被引入来模仿随机矩阵模型在物理学、数学和组合学中令人难以置信的成功。在对随机矩阵模型的几个方面进行了简短的介绍并回顾了称为群场论的物理动机之后，我们开始探索随机张量模型的世界及其与几何，量子引力和组合学的关系。我们首先以自然的方式定义这些模型，并讨论它们的几何和组合。在这些初步探索之后，我们开始将随机矩阵方法推广到随机张量，以便至少在某些特定情况下描述随机张量模型的数学和物理性质。
Matrix Model Combinatorics: Applications to Folding and Coloring
我们提出了一个详细的研究矩阵积分的组合解释，包括任意属的镶嵌的例子，和随机表面上的循环模型。在回顾了他们的解决方法后，我们将其应用于研究物理学中的各种折叠问题，包括：弯折（或聚合物折叠）问题“所有拓扑不等价的与通过给定数量点的线相交的闭合非相交平面曲线的枚举”和流体膜折叠问题，其被重新表述为“枚举任意亏格的所有顶点三色三角剖分”，其中任一颜色的顶点的数量给定“。
Formal matrix integrals and combinatorics of maps
本文简要回顾了收敛矩阵积分、形式矩阵积分和映射组合学之间的关系。我们简要总结了过去30年来的研究成果，以及最近的发现。我们记得，形式的矩阵积分是相同的组合生成函数的地图，形式的矩阵积分是在一般情况下非常不同的收敛矩阵积分。最后，我们列出了过去几十年来在物理学中起重要作用的经典矩阵模型。其中有些问题现在已经得到很好的理解，有些仍然是困难的挑战。
Combinatorics of renormalization as matrix calculus
本文用三角矩阵的形式给出了微扰量子场论中重整化的组合学的简单表示。处方，这可能是计算的价值，是来自第一原则，即“伯克霍夫分解”在霍普夫代数描述的重整化由康纳斯和Kreimer。
The combinatorics of the SU(2) black hole entropy in loop quantum gravity
我们使用组合和数论方法在以前的工作中发展的作者研究黑洞熵在新的建议提出的恩格尔，努伊和佩雷斯。具体来说，我们给出了相关的生成函数的熵的计算，并使用它们来推导其渐近行为，包括的值的Immirzi参数和对数校正系数。
Combinatorics of Hard Particles on Planar Graphs
我们重新审视平面随机四价图上的硬粒子的问题，鉴于最近的组合技术，平面图装饰树。我们将展示如何恢复两个矩阵模型解决这个问题，在这个纯粹的组合语言。
Entanglement, combinatorics and finite-size effects in spin-chains
本文系统地研究了XXZ自旋链在Delta=-1/2时的精确块纠缠。本文给出了一个真相互作用模型中长度为L（n<=6和任意但为奇数的L）的链中n个自旋的约化密度矩阵的第一个解析表达式。然后，很容易地导出了纠缠熵、约化密度矩阵的矩及其谱。我们显式地构造“纠缠哈密顿量”作为这个矩阵的对数。利用基态的简并性，我们发现了零温混合态纠缠的标度行为。
Combinatorics of the Berezin-Karpelevich Integral
本文研究矩形矩阵模型中替代Itzykson-Zuber积分的Berezin-Karpelevich积分，通过单调Hurwitz数给出其拓扑展开，并导出若干组合恒等式。
Combinatorics and loop equations for antisymmetrised and Hermitised matrix product ensembles
本研究针对反对称化与厄米化矩阵乘积系综，构造由混合累积量计数的带状图和星座图，并在m=1时给出生成函数的圈方程刻画。
Entanglement of free-fermion systems, signal processing and algebraic combinatorics
本文通过信号处理和代数组合学方法，研究自由费米子系统纠缠性质，提出双谱条件下三对角矩阵相容性及Terwilliger代数分解简化框架。
Combinatorics of dispersionless integrable systems and universality in random matrix theory
众所周知，随机矩阵酉系综的配分函数由Toda格族的τ-函数给出，正交系综和辛系综的配分函数由Pfaff格族的τ-函数给出。在这些情况下，由配分函数的对数给出的自由能的渐近展开导致Toda和Pfaff晶格层次的无色散（即连续）极限。随机矩阵的所有三个集合之间存在普遍性，其结果之一是大矩阵的自由能的领先阶数一致。在本文中，这种普遍性，在高斯系综的情况下，明确证明了通过计算的自由能在扩展的领先订单。我们还表明，自由能的色散户田晶格层次的解决方案给出了色散Pfaff晶格层次的解决方案，这意味着这种普遍性一般适用于酉，正交和辛系综的领导秩序。我们还找到了两点函数$F_{nm}$的一个显式公式，该函数表示球面上两个顶点的度为n和m的连通带状图的个数。推导是基于定义在无色散Toda晶格体系的光谱曲线上的Faber多项式，并且$\frac{1}{nm} F_{nm}$是Faber多项式的Grunsky系数。
A combinatorial matrix approach for the generation of vacuum Feynman graphs multiplicities in $ϕ^4$ theory
从生成泛函$Z$在$ϕ^4$理论中构造Feynman真空图的标准过程中，我们发现了与某些组合矩阵的集合的关系，这使得我们能够以等价的组合方式生成所有Feynman图的集合和相应的重数.这些组合矩阵与置换群有明确的关系，这有利于真空费曼图的构造。在这个组合问题中提出了各种见解，原则上提供了一种有效的方法来计算费曼真空图及其多重性。
The Combinatorics of Alternating Tangles: from theory to computerized enumeration
我们研究枚举交替链接和缠结，被认为是拓扑（flype）等价。为每个连接分量赋予权重$n$，特别是限制$n\to 0$会产生有关（交替）节点的信息。使用有限的重整化方案相关联的矩阵模型，我们首先减少的任务，枚举平面四价图与两种类型的顶点（自交和相切），现在微妙的问题，拓扑等价已被消除。具有$p$顶点的此类图的数量按$p\to\infty$的$12^p$进行缩放。接下来我们将展示如何使用传递矩阵方法有效地枚举这些图（在时间$\sim 2.7^p$中）。我们给出了各种生成函数的结果多达22个交叉点。然后，我们评论他们的高阶渐近行为。
Tensor models and group field theories: combinatorics, large $N$ and renormalization
该研究概述张量模型与群场论的共同特征、底层组合结构及领域关键成果，重点介绍随机张量的新型大$N$展开及其在随机几何、量子场论重整化等方向的应用价值。
Oriented Matroids -- Combinatorial Structures Underlying Loop Quantum Gravity
我们分析了组合结构，它在确定圈量子引力（LQG）中体积算符的光谱性质中起着核心作用。这些结构编码了图的任意价顶点在三维黎曼空间中嵌入的几何信息，并且可以用包含嵌入边的相对方向的符号串来表示。我们证明，这些签名因素是一个特殊的表示一般的数学概念的定向拟阵。此外，我们还证明了定向拟阵也可以用来描述有向图的拓扑（连通性）。因此，面向拟阵的数学方法可以应用于嵌入图的困难组合学的基础建设LQG。作为第一个应用，我们回顾了[4-5]的分析，并发现枚举所有可能的符号配置使用的等价于枚举所有可实现的秩为3的定向拟阵，因此可以大大简化。我们发现，对于7价顶点没有共面三重的边缘切线，最小的非零特征值的体积谱不增长，因为一个增加的最大自旋$\jmax$在顶点，对于任何方向的边缘切线。这表明，与面积算子相反，考虑大的$\jmax$并不一定意味着大的体积本征值。此外，我们给出了一个展望，可能的出发点重写LQG的组合学定向拟阵。
Fermionic Quantum Gravity
本文研究了反交换变量上由N × N单矩阵积分生成的随机曲面的统计力学。这些格拉斯曼值的矩阵模型被证明是等价的N × N酉版本的广义Penner矩阵模型。我们明确解决的组合的t Hooft图的矩阵积分和发展的正交多项式制定的统计理论。对理论的大N和双标度极限的检验表明，亏格展开是一个Borel可求和的交替级数，否则它在连续极限中与二维量子引力相一致。我们证明了这些矩阵模型的配分函数属于相对论Toda链可积族。导出了相应的弦方程和维拉索罗约束，并利用它们分析了连续极限的广义KdV流结构。
GUE via Frobenius Manifolds. I. From Matrix Gravity to Topological Gravity and Back
Dubrovin建立了复射影直线的GUE配分函数与Gromov-Witten不变量的配分函数之间的关系。本文给出了Dubrovin结果的一个直接证明。并以图表的形式介绍了拓扑引力和矩阵引力的最新进展。
Combinatorial Identities from the Spectral Theory of Quantum Graphs
本文给出了在量子图的谱理论研究中遇到的几个组合恒等式。他们建立了一个新的连接理论之间的随机矩阵合奏和组合。
Noncommutativity in two-matrix model extension of one-dimensional topological gravity
一维拓扑引力定义为高斯积分作为其配分函数。高斯积分提供了一个玩具模型作为一个简单的版本的一个矩阵模型，众所周知，提供了一个二维拓扑引力的描述。一维拓扑引力继承了二维拓扑引力的可积的层次结构，但它是Burgers层次而不是Korteweg-de Vries层次。利用这一事实，将一维拓扑引力推广到二维矩阵模型，并证明了相应的配分函数是由一对一维拓扑引力的配分函数通过Moyal-Weyl乘积相互缠绕而成，从而给出了其自由能的显式表达式.扩展的系统显示了一个层次结构解释为一个非交换的扩展的Burgers层次。提出了与非对易U（1）规范理论的关系。
Riemann Hypothesis, Matrix/Gravity Correspondence and FZZT Brane Partition Functions
我们调查的物理解释的黎曼zeta函数作为FZZT膜配分函数与矩阵/重力对应。在这种解释中的希尔伯特-波利亚算子是大N矩阵模型的主矩阵。使用相关函数$Ξ(z)$，我们开发了该函数与高斯矩阵模型的Airy函数Ai（z）之间的类比。这个类比给出了零点为什么位于临界线上的直观物理原因。使用$Ξ(z)$函数的傅立叶变换，我们确定Kontsevich被积函数。将此被积函数推广到$n \times n$矩阵，我们建立了一个描述n个FZZT膜的Kontsevich矩阵模型。与$Ξ(z)$函数相关联的Kontsevich模型由已用于描述矩阵模型瞬子的Liouville型矩阵模型的叠加给出。
Transition Amplitudes in 3D Quantum Gravity: Boundaries and Holography in the Coloured Boulatov Model
本文研究三维黎曼量子引力着色Boulatov模型的跃迁振幅，通过修改张量模型生根过程将其写成拓扑展开，并证明2-球面边界振幅可因式分解，大N极限下主导阶为封闭3-球，为全息研究奠定基础。
Group field theories for all loop quantum gravity
群场论代表了圈量子引力状态空间的第二次量子化重构，并完成了自旋泡沫形式主义。在传统的连续统背景下，规范理论的状态在任意价的图上得到支持。另一方面，群场论通常被定义在单纯的上下文中，从而处理一组受限制的图。本文将群场论的组合学推广到所有圈量子引力态空间。作为一个明确的例子，我们描述的GFT制定的KKL自旋泡沫模型，以及一个特定的修改版本。我们表明，张量模型工具的使用允许最有效的建设。为了澄清我们的建设和我们处理的形式主义的数学基础，我们也给出了一个详尽的描述的组合结构进入自旋泡沫模型和群场论，无论是在边界状态和量子振幅的水平。
Conservation Laws of Random Matrix Theory
本文概述了最近导出的厄米特随机矩阵的矩阵矩守恒律的推导和意义，占主导地位的指数权重，可以是偶数或奇数。这是基于详细的渐近分析的配分函数，这些单一的合奏和他们的缩放限制。作为一个特殊的应用程序，我们推导出封闭形式的表达式的系数的属扩展相关的自由能在一个特定的类占主导地位的甚至重量。这些系数是用于枚举g-映射的生成函数，与黎曼曲面上的图形组合学有关。这推广并解决了物理学文献中与量子引力有关的一个30多年前的猜想。
The S-matrix and graviton self-energy in quantum Yang-Mills gravity
在平坦时空中具有平移规范对称性的量子Yang-Mills引力理论的基础上，讨论了S-矩阵及其幺正性和单圈水平上的引力子自能.在量子Yang-Mills引力中，S-矩阵的么正性和规范不变性在一类规范条件下被称为“Feynman-DeWitt-Mandelt”（FDM）鬼粒子的无质量鬼矢量粒子所保持.利用量纲正则化方法，在一般规范条件下，计算了引力子的自能。在单圈水平上，引力子自能的发散结果类似于量子电动力学。
Can a spin chain relate combinatorics to number theory?
本文通过移除Motzkin路径的一个局部等价移动，将不可解的Motzkin自旋链简化为可积的自由Motzkin链，并利用推广的泛函Bethe Ansatz方法求解，发现能谱中的新参数与单位根及数论中的Möbius函数相关，揭示了组合学与数论之间的深刻联系。
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