Exterior differential systems on Lie algebroids and the invariant inverse problem of the calculus of variations
University of Antwerp（安特卫普大学）
本文研究了Lie algebroids上的外微分系统，提出积分流形的概念，并应用到具有对称群的动力系统及变分学的不变反问题中。
2025-07-19 math-ph math.DG math.DS
An Example of $Z_{N}$-Graded Noncommutative Differential Calculus
本文将$N\times N$矩阵的代数$M_{N}(C)$看作一个循环量子平面。分析了量子群${\cal F}$的余作用和它的对偶量子代数${\cal H}$对它的作用，并研究了$M_{N}(C)$在量子代数表示下的分解.最后，我们用$d^{N}=0$发展了循环群$Z_{N}$的微分代数，并处理了N=3的特殊情况。
1999-08-03 math-ph math.MP
Differential complexes and exterior calculus
本文提出了光滑$n$ -流形上$k$ -维域上微积分的一个新理论，统一了离散、外和连续理论。微积分从一个点开始，通过线性或叠加扩展到多个点的链。它收敛到光滑连续相对于一个规范的空间的“点链”，最终在chainlet复杂。通过这个复杂的，我们发现了一个广泛的理论，坐标自由，多向量分析光滑流形的经典牛顿演算和Cartan外部演算成为特殊情况。小链算子、乘积和积分适用于对称和反对称张量上链。作为推论，我们获得了欧几里得空间、细胞复合物、双层结构（例如，肥皂膜）和非光滑域，同样容易。这种力量来自于最近发现的预导数和预积分，它们是牛顿理论的前提。这些导致新的模型的连续空间和时间，并允许分析域，可能不是局部欧几里德，或局部连接，或与局部有限的质量。
2006-06-07 math-ph math.CA math.DG
A Geometric Formulation of Linear Elasticity Based on Discrete Exterior Calculus
University of Manchester（曼彻斯特大学）
本文提出了一种基于离散外微积分的线弹性直接表述方法，通过使用原始0-cochain表示位移，原始向量值1-cochain表示位移差，双值向量2-cochain表示内部力，建立了宏观本构关系，并通过音乐同构映射在原始0-cells上实现动量平衡，最终通过非局部非对角材料Hodge星运算求解Laplace方程，验证了该方法在经典问题中的有效性。
2021-04-13 math-ph math.MP
Graded Differential Geometry of Graded Matrix Algebras
本文研究复$(n+m)\times(n+m)$ -矩阵的$Z_2$ -分次代数${\bf M}(n| m)$在"通常分块矩阵分次“（对于$n\neq m$）下的基于分次导子的非交换微分几何.除了（无限维）代数的分次形式的分次Cartan演算，分次辛结构，分次向量丛，分次联络和曲率的介绍和研究。特别是，我们证明了基于分次导数的一阶微分的普遍性，并表明，${\bf M}(n|m)$是一个"非交换分次流形“在更严格的意义上：有一个自然的身体映射和上同调的${\bf M}(n|m)$和它的身体重合（在普通分次流形的情况下）。
1999-05-21 math-ph math.MP
Five-Dimensional Tangent Vectors in Space-Time: IV. Generalization of Exterior Calculus
本系列的这一部分致力于外微分的推广。我给定义的五个矢量形式的积分在一个有限的空间，时间体积适当的尺寸;扩展的概念外衍生的情况下，五个矢量的形式;和制定相应的类似物的广义斯托克斯定理和庞加莱定理的封闭形式。然后，我考虑外导数本身的五向量推广;证明类似于庞加莱定理的陈述;定义相应的通量的五向量推广;并推导分部积分公式的模拟。我说明了在本文中开发的思想，重新制定的经典标量场的拉格朗日形式主义的五向量形式。最后，我简要地讨论了Levi-Civita张量的五向量模拟和对偶形式。
1998-08-18 gr-qc hep-th math-ph
Intrinsic nonlinear elasticity: An exterior calculus formulation
本文用外微分与丛值微分形式建立非线性弹性的内蕴几何表述，统一处理运动学与动力学变量及三种运动表示，并揭示主丛结构与德拉姆复形两类底层数学结构。
2023-03-10 math-ph math.DG math.DS
Integral Calculus on Quantum Exterior Algebras
Hom-联络和相关的积分形式已经被T. Brzezienski作为非交换几何中联络的通常概念的伴随版本引入和研究。给定代数$A$上的微分学上的平坦的hom-connection，得到积分复形，对于各种代数，该积分复形已经被证明同构于非交换的de Rham复形（在Brzezienski等人的意义上）。在本文中，我们进一步阐明的问题时，积分和德拉姆复杂的同构代数$A$与平坦的hom-connection。我们专注于我们的研究的情况下，$n$维微分学构建在量子外代数上的$A$ -双模。给出了具有对角或上三角双模结构的自由双模的判别准则。我们的结果示出了一个多元量子多项式代数上的微分学和Manin的量子$n$ -空间上的微分学。
2013-10-02 math-ph math.MP math.QA
Analytic functional calculus and Gårding inequality on graded Lie groups with applications to diffusion equations
本文研究分次李群上一类强亚椭圆型伪微分算子的扩散方程的Cauchy问题.为此，我们在分次李群上发展了一个全局复谓词演算，以分析相应的能量估计。这个复杂的谓词演算的一个主要方面是，对于$(ρ,δ)$ -欧几里德Hörmander类，我们恢复了Seeley [38]开发的标准谓词演算。因此，我们对任意分次李群证明的Gårding不等式吸收了历史上1953年Gårding的不等式[26]。
2021-11-14 math-ph math.AP math.FA
A new differential calculus on noncommutative spaces
在二维非对易量子空间上建立了一个$GL_{qp}(2)$不变微分方程。在这里，外量子平面的坐标空间被本质上是交换的（玻色子）微分所跨越。
1999-08-01 math-ph math.MP
Enforcing exact physics in scientific machine learning: a data-driven exterior calculus on graphs
随着传统的机器学习工具越来越多地应用于科学和工程应用，物理学方法已经成为赋予推理物理可实现性所必需的属性的有效工具。虽然很有前途，但这些方法通常通过惩罚来微弱地加强物理学。为了加强物理学，我们转向支撑组合霍奇理论和物理兼容的离散化的偏微分方程（PDE）的外部微积分框架。从历史上看，这两个领域在很大程度上保持着不同，因为图是严格的拓扑对象，缺乏PDE离散化的基本度量信息。我们提出了一种方法，这种缺失的度量信息可以从数据中学习，使用图作为粗粒度的网格代理人，继承理想的保护和精确的序列结构的组合霍奇理论。由此产生的数据驱动的外部演算（DDEC）可以用来提取结构保持代理模型的适定性的数学保证。该方法允许PDE约束的优化训练策略，该策略保证机器学习模型将物理学应用于机器精度，即使是训练不好的模型或小数据机制。我们提供了一类模型的方法，旨在重现非线性扰动的椭圆问题的分析，并提供了学习$H(div)/H(curl)$系统代表地下流动和电磁学的例子。
2020-12-22 cs.NA math-ph math.MP
Fractional Differential Forms
外微积分的一个推广被认为是允许偏导数的外导数假设分数阶。也就是说，定义了分数外导数。这被发现产生新的向量空间的有限和无限维，分数微分形式的空间。将闭形式和精确形式的定义推广到新的分式形式空间，并对特殊情况给出了闭性和可积性条件。还计算了坐标变换规则。由于分数阶导数的性质，其变换规则不同于标准外演算。基于坐标变换规则，给出了分数形式空间的度量。所有的结果被发现减少到那些标准的外微积分时，坐标微分的顺序设置为一。
2003-01-10 math-ph math.DG math.MP
Generalized Maxwell equations for exterior-algebra multivectors in $(k,n)$ space-time dimensions
本文给出了在具有$k$和$n$空间维的平坦时空中，电磁场和源电流分别作为$r$和$r-1$等级的多向量的外代数推广。麦克斯韦方程组和洛伦兹力对于任意值的$r$、$n$和$k$的公式都是用内、外导数来假定的，其形式与它们的向量微积分类似。这些公式导致解决方案的潜力等级$r-1$，并保持法律的应力能量动量张量秩2为任何值的$r$，$n$，和$k$，其中一个简单的明确的公式。作为应用，给出了应力-能量-动量张量在$(n+k-1)$维时空切片上的通量的傅里叶变换表达式。麦克斯韦方程组的外演算抽象结合了向量演算的简单性和直观性，因为公式允许显式表达式，与张量和微分形式的幂，因为公式可以针对$r$，$n$和$k$的任何值给出。
2021-04-26 math-ph math.MP
Graded infinite order jet manifolds
总结了分次无穷阶喷流流形上的微分学及其上同调的相关资料。这种数学提供了充分的制定拉格朗日理论的偶数和奇数变量光滑流形的格拉斯曼分次变分双复。
2007-08-17 math-ph math.MP
Extended Particles and the Exterior Calculus
这些笔记是作者于1976年2月在卢瑟福阿普尔顿实验室发表的一系列尼姆罗德讲座（RL-76-022）。这些讲座的目的主要有两个方面：从统一的观点讨论自由点粒子、自由弦和自由膜的经典理论;并在讨论过程中介绍作者发现的对研究这些系统具有巨大价值的内禀几何演算的雏形。它示出了如何经典扩展的相对论性系统的运动方程产生在一个非常简单的方式从一个原则的固定作用，以及如何有限的系统的边界条件可能会导致在规范不变的方式。动量自然地被引入，并且存在于哈密顿描述中的主要约束简单地遵循。计算可以以无索引的方式进行，直到需要组件。在这个阶段，如果愿意，人们可以施加规范条件，并去除非独立的自由度。这样的方法可以应用于任何维度和度量的任何时空，并给出了例子。
2016-10-27 gr-qc math-ph math.MP
Noncommutative epsilon-graded connections
我们引入了ε-分次结合代数的新概念，它的根源是李代数中引入的交换因子的概念。定义并研究了相关的基于ε-导子的微分学概念，推广了结合代数上的基于导子的微分学。本文还定义了相应的非交换联络概念。我们说明这些考虑与各种例子的ε-分次代数，特别是一些分次矩阵代数和Moyal代数。这最后一个例子也允许在数学上解释一个非对易的规范场理论。
2010-07-20 hep-th math-ph math.MP
An Exterior Algebraic Derivation of the Euler-Lagrange Equations from the Principle of Stationary Action
本文回顾了场论的两个相关方面：用外代数和微积分方法对场进行建模，以及场动力学的推导，即，Euler-Lagrange方程，通过平稳作用原理。与通常的张量推导这些方程的场论，给出单独的方程的字段组件，两个相关的坐标自由形式的欧拉-拉格朗日方程推导。这些替代形式的方程，让人联想到矢量微积分的公式，表示在拉格朗日密度的矢量导数。第一种形式适用于只依赖于场的一阶导数的一般拉格朗日密度。第二种形式，表示在外部代数符号，是特定的情况下，当拉格朗日密度是一个功能的外部和内部衍生物的多向量场。作为应用，本文假设了任意阶广义电磁矢量场的拉格朗日密度，并证明了通过取拉格朗日密度的矢量导数，广义麦克斯韦方程组可化为欧拉-拉格朗日方程。
2021-10-20 hep-th math-ph math.MP
