The simplified weighted sum function and its average sensitivity
本文对加权和布尔函数的定义进行了简化，使其在计算和使用上都很不方便。我们表明，新的功能基本上与前一个相同的属性。特别地，加权和布尔函数的平均灵敏度上的界在简化之后保持不变。
2014-12-19 cs.CC
On Boolean Functions with Low Polynomial Degree and Higher Order Sensitivity
布尔函数是密码学、复杂性和编码理论等不同领域的重要基元。本文将密码学和复杂性理论的工具结合起来，在低多项式次数、高灵敏度的布尔函数域上进行研究。众所周知，布尔函数的多项式次数与其弹性有着直接的关系。使用这种连接，我们分析的多项式度敏感性值，通过镜头的弹性，演示存在和不存在的结果，低多项式的次数和高敏感性的功能，对少量的变量（高达10）。在这个过程中，借用复杂性理论的思想，我们可以实现弹性布尔函数的大量变量的线性大小和对数深度。最后，我们将灵敏度的概念推广到高阶，并指出现有的Nisan和Szegedy（1994）的构造思想在以$n-ω(1)$的多项式次数为目标时只能提供常数的高阶灵敏度。在这个方向上，我们提出了一个建设低（$n-ω(1)$）多项式次数和超常数$ω(1)$阶灵敏度利用Maiorana-McFarland建设，我们借用建设弹性功能。我们提出的问题确定新的组合问题在布尔函数域。
2021-07-23 cs.CC cs.CR
Degree and Sensitivity: tails of two distributions
布尔函数f的灵敏度是所有输入x上x的灵敏坐标数的最大值。著名的尼桑敏感性猜想（也见尼桑和塞格迪）指出，每个敏感性为s的布尔函数都可以通过次数为多的实数上的多项式来计算。然而，最著名的次数上界是指数的，而不是s中的多项式。我们的主要结果是猜想的一个近似版本：每个具有灵敏度s的布尔函数都可以用一个次数为O（slog（1/n））的多项式ε-逼近（在L_2中）。这是对《诗经》民俗学范畴的第一次改进。进一步，我们证明了对于任意d 0，将其上界提高到O（s^c log（1/n）^d）$< 1 and any c >将意味着敏感性猜想.因此，我们的结果基本上是人们在不证明猜想的情况下所能期望的最好结果。我们假设一个强大的模拟的敏感性猜想：如果大多数输入的布尔函数f具有低灵敏度，那么大多数的傅立叶质量的f是集中在小的子集，并提出了一种方法来证明这个猜想。
2016-04-25 cs.CC
Average sensitivity and noise sensitivity of polynomial threshold functions
给出了次数为$d$的多项式阈值函数（PTFs）的平均灵敏度和噪声灵敏度的第一个非平凡上界。这些界限对于布尔超立方体上的PTF和标准$n$维高斯分布下的$\R^n$上的PTF都成立。我们的边界上的布尔平均灵敏度的PTF表示的进展，对解决的猜想Gotsman和Linial \cite{GL:94}，这说明对称函数切片的中间层的布尔超立方体的$d$具有最高的平均灵敏度的所有度- $d$ PTF。通过Kalai等人的$L_1$多项式回归算法\cite{KKMS:08}，我们对高斯和布尔噪声灵敏度的界限为这些输入分布下的大类常度PTF产生多项式时间不可知的学习算法。用于获得我们的平均和噪声灵敏度的PTFs在高斯设置的边界的主要成分是尾部边界和反浓度边界的高斯随机变量\cite{Janson:97,CW:01}的低次多项式。为了得到我们的布尔平均灵敏度的PTFs的界限，我们推广的“临界指数”机制的\cite{Servedio:07cc}（在这项工作中适用于半空间，即度1 PTFs）一般PTFs。与\cite{MOO:05}的“不变性原则”一起，这使我们能够将我们的技术从高斯设置扩展到布尔设置。我们的布尔噪声灵敏度的界限是通过一个简单的减少从上界的平均灵敏度的布尔PTFs的噪声灵敏度相应的界限。
2009-10-19 cs.CC cs.DM
On Separation between the Degree of a Boolean Function and the Block Sensitivity
在本文中，我们研究了两个复杂性度量之间的分离：布尔函数作为实数上多项式的次数和它的块敏感性。我们表明，这两种措施之间的分离可以提高从$ d^2(f) \geq bs(f) $，建立塔尔，$ d^2(f) \geq (\sqrt{10} - 2)bs(f) $。作为推论，我们证明了其他一些复杂性度量之间的分离也不是紧密的，例如，我们可以将Huang最近的敏感性猜想结果改进为$s^4(f) \geq (\sqrt{10} - 2)bs(f)$。我们的技术是基于Nisan和Szegedy的论文，包括更详细的对称化多项式分析。在我们的下一个结果中，我们在布尔函数的近似度和它的块敏感性之间的分离中显示了相同类型的改进：我们显示了$deg_{1/3}^2(f) \geq \sqrt{6/101} bs(f)$，并改进了Nisan和Szegedy的先前结果$ deg_{1/3}(f) \geq \sqrt{bs(f)/6} $。此外，我们构造了一个例子，表明在下限和已知的上限之间的差距是小于$0.2$的常数。在我们的最后一个结果中，我们研究了10个变量的4次完全敏感函数的性质，它的存在将导致这两个措施之间的最大已知差距的改善。我们证明，有唯一的一元多项式，可以通过使用插值和线性规划技术相结合的对称化这个功能。
2021-06-19 cs.CC
Sensitivity of Rotation Symmetric Boolean Functions via Binary Necklaces
Winston-Salem State University（温斯顿-塞勒姆州立大学）；Governors State University（州长州立大学）
该研究针对旋转对称布尔函数，借助二元项链推导敏感性公式，明确奇素数变量、单项式函数等的敏感性，为相关函数的敏感性分析提供了精确结果。
2026-11-10 cs.CC cs.DM math.CO
Sensitivity and Query Complexity under Uncertainty
本文研究不确定性下布尔函数的查询复杂度，提出无风险扩展模型，证明了Huang敏感性定理的类似结论，并改进了确定性查询复杂度相对随机化和量子查询复杂度的已知界限。
2025-06-30 cs.CC
Tighter Relations Between Sensitivity and Other Complexity Measures
敏感性猜想是布尔函数复杂性度量和决策树复杂性研究领域中一个长期存在的基本问题。该猜想假设布尔函数的最大灵敏度与其他主要复杂性度量多项式相关。尽管在过去的十年里，布尔函数的分析得到了很大的关注和重大的进展，但这个问题仍然是开放的，自2004年Kenyon和Kendy的工作以来，没有任何积极的结果。在这项工作中，我们提出了新的上界的各种复杂性措施的灵敏度，提高了由凯尼恩和Kendall提供的界限。具体来说，我们证明了deg（f）^{1-o（1）}=O（2^{s（f）}）和C（f）< 2^{s（f）-1} s（f）;这些反过来又意味着通过已知结果，关于敏感性和其他复杂性度量之间的关系的各种推论，例如块敏感性。敏感性和其他复杂性指标之间的差距仍然是指数级的，但这些结果是十年来对这个难题的首次改进。
2014-11-13 cs.CC
On the Sensitivity Conjecture for Disjunctive Normal Forms
Nisan和Szegedy [CC '94]的灵敏度猜想询问对于任何布尔函数$f$，最大灵敏度$s(f)$是否与其块灵敏度$bs(f)$多项式相关，从而与其他主要复杂性度量相关。尽管在过去的十年中，布尔函数的分析取得了重大进展，但这个问题仍然是广泛开放的。在本文中，我们考虑通过计算模型（DNF）对布尔函数类的限制，并将遵守此限制的函数称为允许归一化块属性。我们证明，对于任何函数$f$承认规范化块属性，$bs(f) \leq 4s(f)^2$。我们注意到，文献中提到的（几乎）所有实现灵敏度和块灵敏度之间的二次分离的函数都承认归一化块属性。最近，Gopalan等。[ITCS '16]表明，每个布尔函数$f$是唯一指定的，其值的汉明球的半径最多$2s(f)$。我们扩展了这一结果，并构造了布尔函数的例子，提供了匹配的下界。
2016-12-07 cs.CC cs.DM
Boolean networks synchronism sensitivity and XOR circulant networks convergence time
本文介绍了关于布尔自动机网络中非单调相互作用的作用的理论研究的第一批结果。我们建议分析的贡献，非单调的多样性和复杂性的动力学行为，根据两个轴。第一个包括在支持的想法，非单调性有一个特殊的影响，这种网络的同步性的敏感性。它将我们带到第二个轴，展示了初步结果，并建立了对特定非单调布尔自动机网络（称为XOR循环网络）的动态行为的理解，特别是关于收敛时间的理解。
2012-08-14 cs.CC cs.DM cs.FL
Decision Tree Complexity versus Block Sensitivity and Degree
Relations between the decision tree complexity and various other complexity measures of Boolean functions is a thriving topic of research in computational complexity . It is known that decision tree complexity is bounded above by the cube of block sensitivity, and the cube of polynomial degree. However, the widest separation between decision tree complexity and each of block sensitivity and degree that is witnessed by known Boolean functions is quadratic. In this work, we investigate the tightness of the existing cubic upper bounds. We improve the cubic upper bounds for many interesting classe…
2022-09-16 cs.CC
On the parity complexity measures of Boolean functions
奇偶性决策树模型通过允许在一个步骤中计算奇偶性函数来扩展决策树模型。证明了任意布尔函数的确定性奇偶性决策树复杂度与该函数或其补函数的非确定性复杂度多项式相关。我们还表明，他们是多项式相关的模拟块的灵敏度。我们进一步研究奇偶性决策树与决策树的中间变体以及与通信复杂性的关系。
2010-04-03 cs.CC
Block Sensitivity and Certificate Complexity of Rotation Symmetric Boolean Functions
Winston–Salem State University（温斯顿-塞勒姆州立大学）；Governors State University（州长州立大学）
该研究分析旋转对称布尔函数的块灵敏度与证书复杂度，明确奇次、二次单项式旋转对称布尔函数的相关测度关系，还确定连续四次族Rₙ的测度，得到灵敏度小于块灵敏度且二者与证书复杂度相等的无穷多类函数。
2026-11-10 cs.CC cs.DM math.CO
New Bounds for Energy Complexity of Boolean Functions
$\newcommand{\EC}{\mathsf{EC}}\newcommand{\KW}{\mathsf{KW}}\newcommand{\DT}{\mathsf{DT}}\newcommand{\psens}{\mathsf{psens}} \newcommand{\calB}{\cal B} $对于由电路$C$在有限基$\mathcal{B}$上计算的布尔函数$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$，$C$的能量复杂度（由$\EC_{\calB}(C)$表示）是在所有输入$\{0,1\}^n$上的最大值，即输出1的电路$C$（不包括输入）的门的数量。有限基$\calB$上布尔函数的能量复杂度由$\EC_\calB(f):= \min_C \EC_{\calB}(C)$表示，其中$C$是$\calB$上计算$f$的电路。我们研究的情况下，当$\calB = \{\land_2, \lor_2, \lnot\}$，标准的布尔基础。众所周知，任何布尔函数都可以通过一个电路（具有潜在的大尺寸）计算，对于一个小的$ ε(n)$（我们观察到它可以改进为$3n-1$），能量最多为$3n(1+ε(n))$。我们展示了几个新的结果和能量复杂性和布尔函数的其他研究参数之间的联系。* 对于所有布尔函数$f$、$\EC(f) \le O(\DT(f)^3)$，其中$\DT(f)$是$f$…
2020-09-12 cs.CC
Block Sensitivity of Minterm-Transitive Functions
Boolean functions with symmetry properties are interesting from a complexity theory perspective; extensive research has shown that these functions, if nonconstant, must have high `complexity' according to various measures. In recent work of this type, Sun gave bounds on the block sensitivity of nonconstant Boolean functions invariant under a transitive permutation group. Sun showed that all such functions satisfy bs(f) = Omega(N^{1/3}), and that there exists such a function for which bs(f) = O(N^{3/7}ln N). His example function belongs to a subclass of transitively invariant functions called t…
2010-01-13 cs.CC
Rethinking NPN Classification from Face and Point Characteristics of Boolean Functions
NPN分类是数字电路设计和验证中的一个基本问题。大多数现有的作品探索变量对称性和辅因子签名，以发展他们的分类方法。然而，辅因子签名只考虑布尔函数的面部特征。在本文中，我们提出了一个新的NPN分类器使用的面和点的布尔函数的特点，包括余因子，影响，和敏感性。新方法为布尔函数的分类带来了新的视角。分类器只需要计算一些签名，而相应签名的相等性是NPN等价的前提。因此，这些签名可以直接用于NPN分类，从而避免了穷举变换枚举。实验结果表明，提出的NPN分类器在速度相当的情况下，获得了更好的NPN分类精度。
2023-01-28 cs.CC
New separation between $s(f)$ and $bs(f)$
本文给出布尔函数的灵敏度与块灵敏度的一种新的分离：$bs(f)=(2/3)s(f)^2-(1/3)s(f)$。
2011-08-17 cs.CC
On Block Sensitivity and Fractional Block Sensitivity
研究了布尔函数的块敏感性$\text{bs}(f)$与分数块敏感性$\text{fbs}(f)$复杂性测度之间的关系。虽然已知$\text{fbs}(f) = O(\text{bs}(f)^2)$，但最已知的分离实现了$\text{fbs}(f) = \left(\frac{1}{3\sqrt2} +o(1)\right) \text{bs(f)}^{3/2}$。我们改进了常数因子，并给出了一族函数，使$\text{fbs}(f) = \left(\frac{1}{\sqrt6}-o(1)\right) \text{bs}(f)^{3/2}.$
2018-10-04 cs.CC
On Condensation of Block Sensitivity, Certificate Complexity and the $\mathsf{AND}$ (and $\mathsf{OR}$) Decision Tree Complexity
Microsoft Research Lab, Bangalore, India（微软研究院班加罗尔实验室）；Indian Institute of Technology Madras, Chennai, India（印度马德拉斯理工学院）
研究了块敏感度、证书复杂度和AND/OR查询复杂度的凝结性，证明块敏感度在限制下不凝结，且AND/OR决策树也不存在凝结性。
2026-03-16 cs.CC
A communication game related to the sensitivity conjecture
关于布尔函数的一个主要的突出的基础问题是敏感性猜想，这（在它的许多形式之一）断言，布尔函数的次数（即插值函数的实多项式的最小次数）由其灵敏度的某个固定幂限制（这是在输入上定义的图的最大顶点度，其中如果两个输入在恰好一个坐标上不同并且它们的函数值不同，则两个输入相邻）。我们提出了一个新的两人通信游戏的敏感性猜想的攻击。这个博弈的成本的形式$n^{Ω(1)}$的下界将意味着敏感性猜想。为了研究游戏成本的边界问题，考虑了问题的三个自然（更强）变体。对于其中的两个变体，提出的协议表明，所希望的下限不成立。这些协议满足一定的单调性属性，和（在对比的情况下的两个变种），我们表明，任何单调协议的成本满足一个强下界。在游戏成本上有一个简单的$\sqrt{n}$上限。我们也稍微改进了这个上界。
2015-11-24 cs.CC
Hazard-free Decision Trees
本文将决策树扩展为允许查询输出未知的三元无冒险决策树模型，证明其深度、规模与灵敏度等参数的多项式等价关系及灵敏度定理，并与布尔决策树建立最优分离。
2025-01-01 cs.CC
Alternation, Sparsity and Sensitivity : Bounds and Exponential Gaps
$\newcommand{\sp}{\mathsf{sparsity}}\newcommand{\s}{\mathsf{s}}\newcommand{\al}{\mathsf{alt}}$众所周知的灵敏度猜想指出，对于任何布尔函数$f$，$f$的块灵敏度至多是$f$灵敏度的多项式（用$\s(f)$表示）。XOR对数秩猜想指出，对于任何$n$位布尔函数$f$，$2n$位上的相关函数$f^{\oplus}$（定义为$f^{\oplus}(x,y)=f(x\oplus y)$）的通信复杂度至多是$f$（由$\sp(f)$表示）的稀疏性的对数的多项式。Lin和Zhang（2017）的最近结果表明，为了证实上述假设，对于所有布尔函数$f$，$f$的上界交替（表示为$\al(f)$）分别为$\s(f)$中的多项式和$\sp(f)$的对数。在这种情况下，我们表明：* 存在一个家庭的布尔函数，$\al(f)$至少是指数的$\s(f)$和$\al(f)$至少是指数的$\log \sp(f)$。在证明的过程中，我们还显示了$\al(f)$和$f$的决策树复杂度之间的指数差距，这可能是独立的利益。* 作为我们的主要结果，我们表明，尽管$\al(f)$和$\log \sp(f)$之间的上述差距，异或对数秩猜想是真实的交替上限由$poly(\log n)$的功能。很容易观察到灵敏度猜想对这类函数也是成立的。…
2019-02-11 cs.CC cs.DM
On the resolution of the sensitivity conjecture
敏感性猜想是理论计算机科学中的一个长期存在的问题，它试图将布尔函数的敏感性拟合到由布尔函数的其他复杂性度量（如块敏感性和证书复杂性）形成的统一框架中。在对这个猜想进行了三十多年的攻击之后，黄昊（2019）给出了一个非常简洁的证明。在这个调查中，我们探索的想法，启发了这个猜想的证明，由四个文件，对猜想的影响最大的博览会。我们还讨论了进一步的研究方向的进展，该猜想导致我们。
2020-01-07 cs.CC math.CO
The estimates for Boolean surface area of polynomial threshold functions
Nankai University（南开大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；University of Washington（华盛顿大学）；MSU（密歇根州立大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马普数学研究所）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
研究多项式阈值函数的布尔表面积，证明其具有对数多项式复杂度，结合Kabanets等人限制引理和敏感度尾界，提供新的分析方法。
2026-10-27 cs.CC math.AP math.CA
Several Separations Based on a Partial Boolean Function
我们示出了部分布尔函数$f$连同输入$x\in f^{-1}\left(*\right)$，使得$C_{\bar{0}}\left(f,x\right)$和$C_{\bar{1}}\left(f,x\right)$都至少是$C\left(f\right)^{2-o\left(1\right)}$。由于Ben-David，Göös，Jain和Kothari最近的结果，这个结果意味着查询和通信复杂性的其他几个分离。例如，它给出了一个函数$f$，其中$C(f)=Ω(deg^{2-o\left(1\right)}(f))$，其中$C$和$deg$表示证书复杂度和$f$的多项式次数。(This是对Kushilevitz和Nisan在1995年提出的$C(f)$和$deg(f)$之间的分离的第一次改进）。这一结果的其他影响是一个改进的分离之间的敏感性和多项式的程度，一个接近最优的下限conondeterministic通信复杂性的团与独立集问题和一个接近最优的下界的复杂性的Alon-Saks-Seymour问题的图论。
2021-03-09 cs.CC
Computing with Noise - Phase Transitions in Boolean Formulas
在统计力学环境下研究了由噪声逻辑门组成的计算电路及其表示具有给定误差水平的任意布尔函数的能力。边界上的性能，在信息理论文献中的特定门，直接检索，概括和确定为相应的典型情况下相变。这个框架铺平了道路，获得新的结果的错误率，功能深度和灵敏度，以及它们依赖于门类型和噪声模型使用。
2009-08-27 cond-mat.dis-nn cs.CC
The Average Sensitivity of Bounded-Depth Formulas
我们证明了深度$d+1$和大小$s$的无界扇入布尔公式具有平均灵敏度$O(\frac{1}{d}\log s)^d$。特别地，这给出了计算\textsc{parity}函数的深度$d+1$公式的大小的紧密的$2^{Ω(d(n^{1/d}-1))}$下限。这些结果加强了Håstad（1986）和Boppana（1997）给出的电路的相应的$2^{Ω(n^{1/d})}$和$O(\log s)^d$界。我们的证明技术研究了一个随机过程中的开关引理适用于公式在一个有效的方式。
2015-08-31 cs.CC
Algorithms for Boolean Function Query Properties
我们提出了新的算法来计算的基本性质的布尔函数的真值表的形式。具体来说，我们给出了一个O（N^2.322 log N）的块敏感性算法，O（N^1.585 log N）的“树分解”算法，和O（N）的“准对称”算法。“这些算法是基于对布尔函数结构的新见解，可能会引起独立的兴趣。我们还给出了一个次指数时间算法的空间有界的量子查询复杂度的布尔函数。为了证明该算法的正确性，我们在Bernstein和Vazirani的工作基础上，提出了酉算子的有限精度表示理论。
2001-07-05 cs.CC cs.DS
Composition limits and separating examples for some Boolean function complexity measures
区块敏感度（$bs(f)$）、证书复杂度（$C(f)$）和分数证书复杂度（$C^*(f)$）是布尔函数$f$复杂度的三个基本组合度量。人们早就知道$bs(f) \leq C^{\ast}(f) \leq C(f) =O(bs(f)^2)$。我们提供了一个无限家庭的例子，$C(f)$增长二次$C^{\ast}(f)$（也$bs(f)$），这些措施之间的最佳分离。以前已知的最大分离是$C(f)=C^{\ast}(f)^{\log_{4.5}5}$。我们还给出了一个家庭的例子，其中$C^{\ast}(f)=Ω(bs(f)^{3/2})$。这些例子是通过以各种方式组合布尔函数获得的。这里，$f$与$g$的组合$f \circ g$是通过在不相交的变量集合上用$g$的拷贝替换$f$的每个变量来获得的。为了构建和分析这些例子，我们系统地研究了这些措施的功能组合下的行为，也是灵敏度测量$s(f)$。测度$s(f)$、$C(f)$和$C^{\ast}(f)$在复合下表现良好：它们是次乘法的（其中测度$m$是次乘法的，如果$m(f \circ g) \leq m(f)m(g)$），在一些相当一般的条件下等式成立。度量$bs(f)$在性质上是不同的：它不是次乘法的。这种质的差异是没有注意到在以前的文献中，我们纠正了一些错误，出现在以前的文件。我们定义一个测度$m$在函数$f$，$m^{\lim}(f)…
2013-06-04 cs.CC
Bounding the Sensitivity of Polynomial Threshold Functions
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
给出了多项式阈值函数的平均灵敏度和噪声灵敏度的第一个非平凡上界。更具体地说，对于一个布尔函数f的n个变量等于一个总次数为d的实多元多项式的符号，我们证明了1）f的平均灵敏度至多为O（n ^{1 - 1/（4d +6）}）（我们还给出了一个组合证明的界限O（n ^{1 - 1/2^d}）。2)f对噪声率δ的噪声灵敏度至多为O（δ ^{1/（4d +6）}）。以前，只有线性情况下的界限是已知的。一路上，我们展示了新的结构定理的多项式阈值函数通过超压缩性获得的随机限制。这些结构的结果可能是独立的利益，因为它们提供了一个通用的模板转换相关的问题，多项式阈值函数定义的布尔超立方体的多项式阈值函数定义在高斯空间。
2009-11-09 cs.CC cs.LG
Low-Sensitivity Functions from Unambiguous Certificates
我们提供了新的查询复杂性分离对总布尔函数的敏感性：确定性（甚至随机或量子）查询复杂性和敏感性之间的功率$3$分离，和证书复杂性和敏感性之间的功率$2.22$分离。我们得到这些分离，通过使用一个新的连接之间的敏感性和一个看似无关的措施称为单侧明确的证书复杂性（$UC_{min}$）。我们还表明，$UC_{min}$是下界的分数块敏感性，这意味着我们不能使用这些技术得到一个超二次分离之间的$bs(f)$和$s(f)$。我们还提供了布尔函数的树敏感性和决策树复杂性之间的二次分离，反驳了Gopalan，Servedio，Tal和Wigderson的猜想（CCC 2016）。在此过程中，我们给出了证书复杂性和单侧明确证书复杂性之间的功率$1.22$分离，改进了Göös（FOCS 2015）导致的功率$1.128$分离。因此，我们得到了一个改进的$Ω(\log^{1.22} n)$下限的共非确定性通信复杂性的集团与独立集的问题。
2017-11-15 cs.CC quant-ph
A Tight Lower Bound on Certificate Complexity in Terms of Block Sensitivity and Sensitivity
敏感度、证书复杂度和块敏感度是常用的布尔函数复杂度度量。Nisan和Szegedy提出的一个长期存在的问题是灵敏度和块灵敏度是否多项式相关。受构造已知最大分离度函数的启发，我们研究了1-证书复杂度与0-灵敏度和0-块灵敏度之间的关系。以前最著名的下界是由Kenyon和Kendall得到的$C_1(f)\geq \frac{bs_0(f)}{2 s_0(f)}$。我们将其改进为$C_1(f)\geq \frac{3 bs_0(f)}{2 s_0(f)}$。虽然这种改进仅仅是一个常数因子，但这是非常重要的，因为它排除了通过迭代达到该界限的函数来实现$bs(f)$和$s(f)$之间的超二次分离。此外，这个界限是紧的，因为它匹配Ambainis和Sun的结构直到一个加法常数。
2014-07-31 cs.CC
Conflict complexity is lower bounded by block sensitivity
我们显示冲突的复杂性，每一个总的布尔函数，最近在[Swagato Sanyal。一个基于conict复杂性的复合定理。arXiv预印本arXiv：1801.03285，2018。]证明一个随机决策树的合成定理的复杂度，至少是其块敏感度的一半。我们建议将冲突复杂性与证书复杂性进行比较，并解释为什么它会很有趣。
2020-05-11 cs.CC math.CO
The Approximate Degree of Bipartite Perfect Matching
布尔函数的逼近次数是布尔超立方体上实多线性多项式在$\ell_\infty$ -范数下逼近它的最小次数。我们证明了二部完美匹配函数的近似度是$\widetildeΘ(n^{3/2})$，它是所有二部图具有完美匹配的指标。上界是通过充分刻画实数上完美匹配函数的布尔对偶的唯一多线性多项式得到的。至关重要的是，我们表明，这个多项式有非常小的$\ell_1$ -范数-只有指数在$Θ(n \log n)$。下界接着是完美匹配函数的谱灵敏度的边界，该完美匹配函数是其在超立方体\cite{aaronson2020degree, huang2019induced}上的割图的谱半径。我们证明了完全匹配的光谱灵敏度正好是$Θ(n^{3/2})$。
2022-03-02 cs.CC cs.DM
Relations between monotone complexity measures based on decision tree complexity
本文研究 Boolean 函数单调块敏感度、分数块敏感度、证书复杂度等度量，揭示其与 AND-decision tree、稀疏度和敏感度的关系，并给出界、等价性及两类函数上的等式。
2024-06-13 cs.CC cs.DM
A study of distributional complexity measures for Boolean functions
本文研究了布尔函数在独立输入下的分布复杂性度量，探讨了各度量在期望意义下的“渐近分离”与“多项式相关”性，并引入了局部见证复杂性与涉及部分信息的新版算法复杂性，还通过渗流例子建立了与理论计算机科学的联系。
2024-08-23 cs.CC math.PR
On the Probabilistic Degree of an $n$-variate Boolean Function
Nisan和Szegedy（CC 1994）证明了任何依赖于其所有输入变量的布尔函数$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$，当表示为实值多元多项式$P(x_1,\ldots,x_n)$时，其次数至少为$\log n - O(\log \log n)$。这被Chiarelli、Hatami和Saks改进为紧密结合的$(\log n - O(1))$（Combinatorica 2020）。其他布尔函数复杂性度量也有类似的语句，如灵敏度（Simon（FCT 1983）），量子查询复杂性和近似度（Ambainis和de Wolf（CC 2014））。在本文中，我们解决这个问题的\emph{Probabilistic degree}。函数$f$在最多$d$处具有概率度，如果存在在最多$d$处的次数的随机实值多项式，其在每个输入处以高概率与$f$一致。我们对这种复杂性度量的理解明显弱于上述：例如，我们甚至不知道OR函数的概率程度，最著名的界限将其置于$(\log n)^{1/2-o(1)}$和$O(\log n)$之间（Beigel，Reingold，Spielman（STOC 1991）; Tarui（TCS 1993）; Harsha，Srinivasan（RSA 2019））。在这里，我们可以给出一个接近最佳的概率程度的$n$变量函数$f$，\emph{mod…
2021-07-07 cs.CC
Block Sensitivity can exceed Spectral Sensitivity Squared
Perimeter Institute for Theoretical Physics（佩里蒙特理论物理研究所）；Institute for Quantum Computing, University of Waterloo（滑铁卢大学量子计算研究所）
该研究解决块敏感性与谱敏感性的关系问题，构造出块敏感性超过谱敏感性平方的布尔函数，证明块敏感性可突破二次上界，相关结果已在Lean中形式化验证。
2026-08-04 cs.CC math.CO
On the Rational Degree of Boolean Functions and Applications
研究布尔函数的有理度（$\textrm{rdeg}(f)$），证明对称、单值函数及一次读公式等的有理度下界，构造部分函数展示有理度与近似度的双向无界分离，还得出量子资源不可比较等结论，并证明复合引理及新的多项式分离。
2025-04-14 cs.CC quant-ph
Heat and Noise on Cubes and Spheres: The Sensitivity of Randomly Rotated Polynomial Threshold Functions
我们建立了一个精确的球谐函数和傅立叶基函数之间的关系，在一个超立方体随机嵌入在球。特别是，我们给出了一个随机旋转函数的预期布尔噪声灵敏度在其“球面灵敏度”，我们定义根据其演变下的球面热方程的约束。作为应用，我们证明了平均情况下的Gotsman-Linial猜想，约束多项式阈值函数的灵敏度进行随机旋转。
2014-08-22 cs.CC math.CO math.RT
Sensitivity, Affine Transforms and Quantum Communication Complexity
$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$研究了仿射变换下布尔函数的参数敏感性（$s$）、块敏感性（$bs$）和交替敏感性（$alt$）。对于函数$f:\F_2^n\to \{0,1\}$，以及$M \in \F_2^{n\times n}$和$b\in \F_2^n$的$A=Mx+b$，变换的结果$g$被定义为$\forall x\in\F_2^n, g(x)=f(Mx+b)$。我们研究交替线性移位（$M$是单位矩阵）称为移位不变交替（表示为$salt(f)$）。我们展示了一个明确的家庭的功能，$salt(f)$是$2^{Ω(s(f))}$。给出了一个仿射变换$A$，使得相应的函数$g$满足$bs(f,0^n) \le s(g)$，并证明了对于$F(x,y)=f(x\land y)$，有先验纠缠的$F$的有界错误量子通信复杂性为$Q^*_{1/3}(F)=Ω(\sqrt{bs(f,0^n)})$ .我们的证明建立在Sherstov（2010）的思想基础上，我们使用了上述仿射变换的特定性质。我们证明，* 对于一个素数$p$和$0<ε<1$，任何具有$deg_p(f)\le(1-ε)\log n$的$f$必须满足$Q^*_{1/3}(F) = Ω(\frac{n^{ε/2}}{\log n})$。这里，$deg_p(f)$表示$f$在$\F_p$上的多线性多项式的次数…
2020-09-12 cs.CC
Query Complexity with Unknowns
该研究提出了含“未知”应答的u-query布尔函数查询复杂度模型，分析了其与标准模型的复杂度差异，证明全布尔函数的各类u-query复杂度间呈多项式关系。
2024-12-09 cs.CC
Bounds for Hardness Condensation in the Query Model
Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心、IRIF）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）；Microsoft Research India（微软研究院印度分部）；Indian Institute of Technology Hyderabad（海得拉巴印度理工学院）；Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）
该研究探讨了在查询模型中，是否可以将布尔函数限制到Θ(k)变量并保持复杂度为Θ(k)，并证明了决策树度量如块敏感度和证书复杂度无法无损凝结，同时给出了关于有损凝结的正结果。
2026-05-21 cs.CC
Complexity Measures on the Symmetric Group and Beyond
我们将函数的复杂性度量的定义扩展到对称群等域。我们考虑的复杂性度量包括度、近似度、决策树复杂性、敏感性、块敏感性等。我们表明，这些复杂性的措施是多项式相关的对称群和许多其他领域。为了证明除灵敏度外的所有测度都是多项式相关的，我们推广了Nisan等人的经典论点。为了增加混合的敏感性，我们使用“伪字符”来简化黄的敏感性定理，这些伪字符见证了函数的程度。利用类似的思想，我们扩展了由于埃利斯，Friedgut和Pilpel的对称群上的布尔度1函数的特征的完美匹配计划。作为我们的思想的另一个应用，我们简化了对称群和完美匹配方案中最大尺寸$t$ -相交族的特征。
2020-10-14 cs.CC cs.DM math.CO
Sensitivity as a Complexity Measure for Sequence Classification Tasks
Stanford University（斯坦福大学）；University of California, Irvine（加利福尼亚大学尔湾分校）
我们引入了一个理论框架，用于理解和预测序列分类任务的复杂性，使用布尔函数灵敏度理论的新扩展。给定输入序列的分布，函数的灵敏度量化输入序列的不相交子集的数量，每个子集可以单独改变以改变输出。我们认为，标准的序列分类方法偏向于学习低灵敏度的功能，因此，需要高灵敏度的任务更加困难。为此，我们分析表明，简单的词汇分类器只能表达有限的灵敏度的功能，我们的经验表明，低灵敏度的功能更容易学习LSTM。然后，我们估计15个NLP任务的敏感性，发现在GLUE中收集的具有挑战性的任务的敏感性高于简单的文本分类任务，并且该敏感性预测了简单词汇分类器和香草BiLSTM的性能，而无需预先训练的上下文嵌入。在一项任务中，敏感性预测了哪些输入对于这些简单的模型来说是困难的。我们的研究结果表明，大规模预训练的上下文表示的成功部分源于它们提供的表示，可以通过低敏感度解码器提取信息。
2021-04-21 cs.CC cs.CL cs.LG
Degree vs. Approximate Degree and Quantum Implications of Huang's Sensitivity Theorem
基于Huang（2019）最近的突破，我们证明了对于任意全布尔函数$f$，$\bullet \quad \mathrm{deg}(f) = O(\widetilde{\mathrm{deg}}(f)^2)$：$f$的次数至多是$f$的近似次数的二次。正如OR函数所证明的那样，这是最佳的。$\bullet \quad \mathrm{D}(f) = O(\mathrm{Q}(f)^4)$：$f$的确定性查询复杂度最多是$f$的量子查询复杂度的四分之一。这与Ambainis，Balodis，Belovs，Lee，Santha和Smotrovs（2017）的已知分离（高达对数因子）相匹配。我们应用这些结果来解决量子类似的Aanderaa-Karp-Rosenberg猜想。我们证明了如果$f$是由其邻接矩阵指定的$n$ -顶点图的非平凡单调图性质，则$\mathrm{Q}(f)=Ω(n)$也是最优的。我们还证明了$n$变量上的任何只读公式的近似度是$Θ(\sqrt{n})$。
2020-10-23 cs.CC quant-ph
On the Relationship between Energy Complexity and other Boolean Function Measures
在这项工作中，我们调查到能量复杂性，一个布尔函数的措施有关的电路复杂性。给定标准基$\{\vee_2,\wedge_2,\neg\}$上的电路$\mathcal{C}$，由$\mathrm{EC}(\mathcal{C})$表示的$\mathcal{C}$的能量复杂度是其在所有输入上激活的内部门的最大数目。布尔函数$f$的能量复杂度，用$\mathrm{EC}(f)$表示，是所有电路$\mathcal{C}$上$\mathrm{EC}(\mathcal{C})$计算$f$的最小值。这个概念在文学中引起了很多关注。最近，Dinesh，Otiv和Sarma [COCOON'18]在决策树复杂性方面给了$\mathrm{EC}(f)$一个上限，$\mathrm{EC}(f)=O(\mathrm{D}(f)^3)$。他们还展示了$\mathrm{EC}(f)\leq 3n-1$，其中$n$是输入大小。回想一下，计算$f$的电路的最小大小可以与$2^n/n$一样大。通过证明$\mathrm{EC}(f)\leq\min\{\frac12\mathrm{D}(f)^2+O(\mathrm{D}(f)),n+2\mathrm{D}(f)-2\}$ .对于下限，Dinesh，Otiv和Sarma定义了正敏感性，一种由$\mathrm{psens}(f)$表示的复杂性度量，并表明$\mathrm{E…
2019-04-26 cs.CC cs.DM math.CO
Positive spectrahedra: Invariance principles and Pseudorandom generators
在最近的一项工作中，O 'Donnell，Servedio和Tan（STOC 2019）给出了$m$中任意$m$ -小面多面体的显式伪随机生成器（PRG），其中种子长度在$m,n$中为多对数，总结了过去十年中由Diakonikolas，Gopalan，Jaiswal，Servedio，Viola开始的一系列工作（SICOMP 2010）和Meka，Zuckerman（SICOMP 2013）分别用于欺骗线性和多项式阈值函数。在这项工作中，我们考虑了PRG的一个自然扩展的交叉点的正谱。正谱面体是布尔函数$f(x)=[x_1A^1+\cdots +x_nA^n \preceq B]$，其中$A^i$是$k\times k$半正定矩阵。我们构造了明确的PRG，$δ$欺骗“规则”宽度- $M$正谱面体（即，当没有$A^i$是显性的时）在具有种子长度$\textsf{poly}(\log k,\log n, M, 1/δ)$的布尔空间上。我们的主要技术贡献如下：我们首先通过著名的Lindeberg方法证明了正谱面体的不变性原理。据我们所知，林德贝格方法的这种推广是未知的。其次，我们证明了噪声灵敏度的一个上界和一个正谱面的Littlewood-Offord定理。利用这些结果，我们给出了应用程序构建PRG的正谱面体，学习理论，差异集的正谱面体（在布尔立方体）和PRG的交叉结构多项式阈值函数。
2021-06-01 cs.CC math.CO
An Optimal "It Ain't Over Till It's Over" Theorem
研究了最大影响值小的布尔函数在随机约束下成为常数的概率。令$f$为布尔函数，使得$f$的方差为$Ω(1)$，并且其所有个体影响均以$τ$为界。我们表明，当限制所有，但$ρ=\tildeΩ((\log(1/τ))^{-1})$分数的坐标，限制功能保持不恒定的压倒性的概率。这个界限本质上是最优的，正如部落函数$\mathrm{TRIBES}=\mathrm{AND}_{n/C\log n}\circ\mathrm{OR}_{C\log n}$所证明的那样。我们将其扩展到一个反浓度的结果，表明限制函数具有非平凡的方差概率$1-o(1)$。这给出了Mossel、O'Donnell和Oleszkiewicz的“直到结束才结束”定理的尖锐版本。我们的证明是离散的，避免了使用不变性原理。我们还证明了上述结果的两个推论：（i）作为推论，我们证明了对于均匀随机输入$x$，$f$在$x$处的块灵敏度是$\tildeΩ(\log(1/τ))$，概率为$1-o(1)$。这应该与Kahn、Kalai和Linial的结果的含义进行比较，后者暗示$f$的平均块敏感性为$Ω(\log(1/τ))$。(ii)将我们的证明与O'Donnell、Saks、Schramm和Servedio的一个著名结果相结合，我们还可以得出结论：限制单调函数$f$的坐标的$ρ=\tildeΩ(1/\sqrt{\log (1/τ) })$…
2022-08-06 cs.CC cs.DM math.PR
Sublinear-query relative-error testing of halfspaces
Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；MIT（麻省理工学院）
本文研究了在实数域上基于高斯分布的半空间相对误差测试问题，证明了在次线性查询次数下可完成测试，相较于学习所需查询次数显著减少。
2026-04-02 cs.CC cs.DS
Noisy Quantum Query Complexity via Fractional Block Sensitivity
Portland State University（波特兰州立大学）
本文通过分数块灵敏度统一推导了多种带噪预言机模型下的量子查询复杂度下界，并发现疏忽噪声不破坏量子加速，同时给出混合查询与退相噪声下的新界。
2026-10-06 cs.CC quant-ph
Noise Sensitivity and Learning Lower Bounds for Hierarchical Functions
Stanford University（斯坦福大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究树状层次函数的噪声稳定性，证明远离线性时其随深度指数衰减，并据此在布尔与高斯设置下推出不可知 SQ 学习及梯度下降的超多项式或样本复杂度下界。
2026-10-05 cs.CC cs.LG math.CO
