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量子无信号辅助零误差容量的乘法半定规划上界

Multiplicative Semidefinite Programming Upper Bounds on Quantum No-Signalling-Assisted Zero-Error Capacity

School of Artificial Intelligence, Wuhan University（武汉大学人工智能学院）

Xin Li, Yinan Li

备注：
23 pages
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AI总结：

该研究针对量子无信号辅助零误差容量，提出具有乘法性的半定规划上界Γ(K)，证明其为已知最紧上界，还解决了渐近模拟成本的开放问题，并给出经典-量子信道的紧界。

摘要：

我们研究量子无信号关联辅助下量子信道的零误差通信与精确模拟。对于具有Kraus算子空间K的信道，我们引入半定规划参数Γ(K)，其在张量积下恰好满足乘法性，且是Θ_NS(K)的上界，其中log₂Θ_NS(K)=C₀,NS(K)，C₀,NS(K)表示渐近量子无信号辅助零误差容量。在已知的Θ_NS半定规划上界中，Γ是最紧的。我们还证明，此前提出的模拟下界Σ⁻(K)恰好具有乘法性，且满足Θ_NS(K)≤Γ(K)≤Σ⁻(K)≤Γ(K)²。利用该乘法性，我们证明S₀,NS(K)=log₂Σ⁻(K)及其正则化扩展S₀,NS(K)=limₙ→∞n⁻¹log₂Σ⁻(K^⊗ⁿ)一般不成立，这回答了关于渐近模拟成本S₀,NS(K)的开放问题。对于经典-量子信道，我们得到了紧界：若r为有效输出维度，则Θ_NS≤Γ≤(1+r^(1/2))Θ_NS/2且Γ≤Σ⁻≤(1+r^(1/2))Γ/2；若k为输出支撑投影的最小秩，则Σ⁻/Θ_NS≤[(1+r^(1/2))/(1+k^(1/2))]^2，且该界对所有1≤k≤r都是紧的，由此得到紧界S₀,NS−C₀,NS≤2log₂[(1+r^(1/2))/(1+k^(1/2))]。

英文摘要：

We study zero-error communication and exact simulation of quantum channels assisted by quantum no-signalling correlations. For a channel with Kraus operator space $K$, we introduce a semidefinite programming parameter $Γ(K)$ that is exactly multiplicative under tensor products and upper-bounds $Θ_{\rm NS}(K)$, where $\log_2Θ_{\rm NS}(K)=C_{0,\rm NS}(K)$ and $C_{0,\rm NS}(K)$ denotes the asymptotic quantum no-signalling-assisted zero-error capacity. Among known upper bounds on $Θ_{\rm NS}$ given by semidefinite programs, $Γ$ is the tightest. We also prove that the previously introduced simulation lower bound $Σ^{-}(K)$ is exactly multiplicative and satisfies $Θ_{\rm NS}(K)\leqΓ(K)\leqΣ^{-}(K)\leqΓ(K)^2$. Using this multiplicativity, we show that neither $S_{0,\rm NS}(K)=\log_2Σ^{-}(K)$ nor its regularized extension $S_{0,\rm NS}(K)=\lim\nolimits_{n\to\infty}n^{-1}\log_2Σ^{-}(K^{\otimes n})$ holds in general. This answers an open question about the asymptotic simulation cost $S_{0,\rm NS}(K)$. For classical-quantum channels, we obtain sharp bounds. If $r$ is the effective output dimension, then $Θ_{\rm NS}\leqΓ\leq(1+r^{1/2})Θ_{\rm NS}/2$ and $Γ\leqΣ^{-}\leq(1+r^{1/2})Γ/2$. If $k$ is the minimum rank of the output support projections, then $Σ^{-}/Θ_{\rm NS}\leq[(1+r^{1/2})/(1+k^{1/2})]^2$, and this bound is sharp for every $1\leq k\leq r$. Thus, we obtain the sharp bound $S_{0,\rm NS}-C_{0,\rm NS}\leq2\log_2[(1+r^{1/2})/(1+k^{1/2})]$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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