Randomized Black-Box PIT for Small Depth +-Regular Non-commutative Circuits
本文针对任意常数深度 +-regular 非交换电路提出随机黑盒多项式恒等测试算法，运行时间为 $s^{O(d^2)}$，通过非确定性替换自动机、多项式稀疏化、矩阵复合等新技术解决高阶深度下的指数级次数与双重指数稀疏性问题，从而解决了 [AJMR] 提出的开放问题。
2025-02-08 cs.CC
Separations in query complexity for total search problems
本文研究总搜索问题的查询复杂度，通过总搜索问题与部分函数的相互转换，在量子查询复杂度、近似度、正量子对手、锥 junta 度及通信复杂度等多个测度之间建立了新的指数级分离，并重新证明了部分函数的相关分离结果。
2024-10-21 cs.CC quant-ph
Efficient Black-Box Identity Testing over Free Group Algebra
Hrubeiden和Wigderson [HW 14]在自由偏斜域上开始了对非交换算术电路的研究，并提出了有理恒等式测试的问题。现在我们知道，这个问题可以在白盒模型中的确定性多项式时间中解决，对于具有逆的非交换公式，在黑盒模型中可以在随机多项式时间中解决[GGOW 16，IQS 18，DM 18]，其中运行时间是公式大小的多项式。非交换有理函数的恒等式测试的复杂性通常是开放的（当公式大小不是多项式有界时）。我们解决了一个自然的特殊情况下的问题。我们考虑自由群代数$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}\rangle$中的多项式表达式，其中$X=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$是反演高度1的有理表达式的子类。我们的主要结果如下。1.给定度$d$表达式$f$在$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}\rangle$中为黑盒，我们得到一个随机$\text{poly}(n,d)$算法来检验$f$是否为同零表达式.我们通过将Amitsur-Levitzki定理[AL 50]推广到$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}\rangle$来获得这一点。这也产生了一个确定性的身份测试算法（甚至是表达式重构算法），它在输入表达式的稀疏性方面是多项式时间。2.给定度至多为$D$的$\mathbb{F}\langle X, X^{-1}…
2019-04-28 cs.CC cs.DS
Randomized vs. Deterministic Separation in Time-Space Tradeoffs of Multi-Output Functions
针对多输出函数，本文首次证明了随机与确定性时空权衡之间的多项式分离。通过构造一个全函数，证明其存在高效的对数空间随机算法，而任何确定性分支程序均需满足显著更大的时空下界，揭示了黑盒去随机化的不可避免的时间额外开销。
2023-06-27 cs.CC
Randomized polynomial-time equivalence between determinant and trace-IMM equivalence tests
域F上多项式族{g_m}的等价性检验是这样的问题：给定对n元多项式f（x）的黑盒访问，其中n是g_m中的变量个数，检查GL（n，F）中是否存在A使得f（x）= g_m（Ax）。如果是，则输出这样的A。等价性测试的复杂性已经被研究了许多重要的多项式族，包括行列式（Det）和迭代矩阵乘法多项式的两个流行的变体：IMM_{w,d}（d个w $\times$ w符号矩阵的乘积的（1，1）项）和Tr- IMM_{w,d}（d个w $\times$ w符号矩阵的乘积的迹）。族Det、IMM和Tr-IMM是VBP-complete的，因此，在这个意义上，它们具有相同的复杂性。但是，它们是否具有相同的等效性测试复杂度？我们的答案是'是'的Det和TR-IMM（模使用的随机性）。结果是通过连接两个问题通过另一个研究得很好的问题称为全矩阵代数同构问题（FMAI）。特别是，我们证明了以下几点：1。对于d $\geq$ 3和w $\geq$ 2，测试多项式与IMM_{w,d}的等效性是随机化的多项式时间图灵可归约为测试多项式与Det_w的等效性，Det_w是形式变量w $\times$ w矩阵的行列式。(Here，d不需要是常数。）2. FMAI是随机的多项式时间图灵可约简为矩阵乘法张量{Tr- IMM_{w,3} }族的等价性测试（实际上，张量同构测试）。这些与从行列式等价性检验到FMAI的随机多时间约…
2020-06-15 cs.CC
Ranking-Based Black-Box Complexity
随机搜索算法如进化算法、模拟退火和蚁群优化是一类广泛使用的通用算法。通过理论计算机科学的经典方法来分析它们是一个不断发展的领域。虽然在过去的20年中出现了一些强大的运行时分析结果，但尚未开发出针对此类算法的强大复杂性理论。我们丰富了现有的概念的黑盒复杂性的额外限制，而不是实际的目标值，但只有相对质量的先前评估的解决方案可能会考虑到的黑盒算法。许多随机搜索算法都属于这类算法。我们表明，新的排名为基础的模型提供了更现实的复杂性估计的一些问题。例如，所有二进制价值函数的类在先前的黑盒模型中具有黑盒复杂度$O(\log n)$，但具有基于排名的复杂度$Θ(n)$。对于所有OneMax函数的类，我们提出了一个基于排名的黑盒算法，该算法的运行时间为$Θ(n / \log n)$，这表明OneMax问题不会因为额外的基于排名的限制而变得更难。
2012-09-03 cs.CC cs.DS cs.NE
Black-Box Identity Testing of Noncommutative Rational Formulas in Deterministic Quasipolynomial Time
本文针对非交换有理公式的有理恒等测试（RIT）问题，首次为所有多项式大小的有理公式构建了准多项式大小的命中集，显著改进了黑盒复杂度，并首次为白盒环境下的RIT提供了确定性准NC上界。
2025-07-11 cs.CC cs.DS
Quantum Query Complexity of Multilinear Identity Testing
受\cite{MN05}中检验黑箱群交换性的量子算法的启发，我们研究了如下问题：给定一个黑盒有限环$R=\angle{r_1,...,r_k}$，其中$\{r_1,r_2,...,r_k\}$是$R$的一个可加生成集，以及$R$上的一个多线性多项式$f(x_1,...,x_m)$，也可作为一个黑盒函数$f:R^m\to R$（这里我们允许不确定的$x_1,...,x_m$是可交换的或不可交换的），我们研究了$f$是否是环$R$的\emph{identity}的测试问题.更准确地说，问题是测试是否所有$a_i\in R$都有$f(a_1,a_2,...,a_m)=0$。在假设$k\geq (1+1/α)^{m+1}$的条件下，给出了一个具有查询复杂度$O(m(1+α)^{m/2} k^{\frac{m}{m+1}})$的量子算法.朝向一个下界，我们还讨论了减少从一个版本的$m$ -碰撞这个问题。我们还观察到查询复杂度$4^mmk$和恒定的成功概率和$k^m$查询复杂度的确定性测试的随机测试。
2008-07-09 cs.CC
Testing Equivalence of Polynomials under Shifts
如果存在向量$(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{F}^n$使得多项式恒等式$f(x_1+a_1, \ldots, x_n+a_n) \equiv g(x_1,\ldots,x_n)$成立，则两个多项式$f, g \in \mathbb{F}[x_1, \ldots, x_n]$被称为移位等价的。我们的主要结果是一个新的随机算法，测试是否两个给定的多项式移位等价。我们的算法运行在多项式的电路大小的时间多项式，它是黑盒访问。这补充了格里戈里耶夫（理论计算机科学，1997年）以前的工作，谁给了一个确定性的算法运行在时间$n^{O(d)}$度$d$多项式。我们的算法只使用随机性来解决多项式身份测试（PIT）问题的实例。因此，如果我们可以去随机化PIT（一个长期存在的复杂性开放问题），那么我们的算法就会随之去随机化。这建立了去随机化偏移等效性检验和去随机化PIT之间的等效性（在黑盒和白盒设置中）。对于某些受限模型，如只读分支程序，我们已经获得了一个确定性算法使用现有的PIT结果。
2014-02-19 cs.CC
Black Box Absolute Reconstruction for Sums of Powers of Linear Forms
研究了多元多项式作为线性形式的幂和的分解。本文给出了如下问题的一个随机化算法：如果给定一个$d$次齐次多项式$f \in K[x_1 , . . . , x_n]$（其中$K \subseteq \mathbb{C}$）为黑盒，判断它是否可以写成线性无关复线性形式的$d$次幂的线性组合.该算法的主要特点是：（1）对于$d = 3$，我们将Koiran和Skomra的算法的运行时间提高了$n$倍。然而，这种改进所付出的代价是，该算法现在具有双侧误差。(2)对于$d > 3$，我们为这个问题提供了第一个随机黑盒算法，该算法在$n$和$d$中以时间多项式运行（在代数模型中，只允许算术运算和等式测试）。以前的算法，这个问题，以及大多数现有的重建算法，其他类呼吁一个多项式分解子程序。这需要以单位成本提取复杂的多项式根，并且在标准模型（例如单位成本RAM或图灵机）中，这种方法不会产生多项式时间算法。(3)对于$d > 3$，当$f$具有有理数系数时，黑箱算法的运行时间是$n,d$中的多项式，并且是$f$中任意系数的最大比特长度.这就产生了在$\mathbb{C}$上解决这个问题的第一个算法，在计算的位模型中具有多项式运行时间。
2021-10-11 cs.CC cs.DS
An optimal randomized incremental gradient method
本文考虑了一类有限和凸最优化问题，其目标函数由$m$（$\ge 1$）光滑分支与其它一些相对简单的项之和给出.首先，我们介绍了一个确定性的原始-对偶梯度（PDG）方法，可以实现最佳的黑盒迭代复杂性解决这些复合最优化问题使用原始-对偶终止准则。我们的主要贡献是开发了一种随机原始-对偶梯度（RPDG）方法，该方法在每次迭代时只需要计算一个随机选择的光滑分量的梯度，但在梯度评估的总数方面可能比PDG实现更好的复杂性。更具体地说，我们表明，RPDG进行的梯度评估的总数可以是${\cal O} (\sqrt{m})$倍小，无论是在预期和高概率，比那些确定性的最佳一阶方法在有利的情况下进行。我们还表明，RPDG方法的复杂性是无法改进的，通过开发一个新的复杂性下限的一般类随机方法解决大规模有限和凸优化问题。此外，通过对PDG和RPDG的发展，我们对这些凸优化的优化方法引入了一种新的博弈论解释。
2015-10-18 cs.CC math.OC stat.ML
The (1+1) Elitist Black-Box Complexity of LeadingOnes
黑箱复杂性理论的一个重要目标是发展复杂性模型，从而为整个随机搜索算法类导出有意义的下界。作为对经典运行时分析的补充，黑盒模型帮助我们理解算法选择（如种群大小、变异算子或选择规则）如何影响优化时间。这种结果的一个例子是具有唯一全局最优值的函数上的一元无偏算法的$Ω(n \log n)$下界[Lehre/Witt，GECCO 2010]，这告诉我们，当试图超越此界时，需要更高的arity算子或有偏采样策略。由于缺乏分析技术，几乎没有已知的非平凡界的其他限制模型。因此，证明这样的界限仍然是黑盒复杂性理论的主要挑战之一。在本文中，我们有助于我们的技术工具箱下限计算提出了一种新的类型的信息理论的论点。我们考虑的置换和位不变版本的\textsc{LeadingOnes}，并证明其（1+1）精英黑箱复杂性是$Ω(n^2)$，一个界，是匹配的（1+1）型进化算法。因此，\textsc{LeadingOnes}的（1+1）精英复杂度显著大于其无限制复杂度，已知无限制复杂度为$n\log\log n$阶[Afshani等人，2013年]。
2016-04-08 cs.CC cs.NE
Learning Read-Once Determinants and the Principal Minor Assignment Problem
Indian Institute of Science, Bangalore（印度科学学院）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）；Indian Statistical Institute, Kolkata（加尔各答印度统计研究所）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai（孟买塔塔基础研究所）
本文提出了一种随机化多项式时间算法，用于学习一次读取行列式（ROD）并解决主子式分配问题（PMAP）的黑盒版本。
2026-03-04 cs.CC math.AC math.CO
Quantum Lower Bounds by Polynomials
我们研究了量子网络在黑盒模型中计算{0，1}^N上的几个布尔函数所需的查询数量T。我们证明了，在黑箱模型中，对于部分函数，Deutsch和Jozsa以及Simon的问题（即涉及输入上的承诺的问题）对于任何全函数都不能获得：如果一个量子算法使用T个黑盒查询来计算某个有界误差的全布尔函数f，那么有一个经典的确定性算法使用O（T^6）个查询来精确计算f。我们还给出了渐近紧刻画T的所有对称f的准确，零误差，有界误差设置。最后，我们给出了AND，OR和PARITY的新的精确界。我们的结果是一个量子扩展的所谓的多项式方法，这已成功地应用于经典的复杂性理论，也是一个量子扩展的结果Nisan的多项式关系随机和确定性决策树的复杂性。
1998-09-30 cs.CC quant-ph
The Value of Help Bits in Randomized and Average-Case Complexity
“帮助位”是关于计算问题的一个或多个实例的一些有限的可信信息，其可以降低解决该一个或多个实例的计算复杂性。在本文中，我们研究的帮助位的随机和平均情况下的复杂性设置的价值。Amir，Beigel，and Gasarch（1990）表明对于常数$k$，如果决策问题的$k$实例可以使用少于$k$位的帮助有效地求解，那么问题是在P/poly中。我们将这一结果扩展到随机计算的设置：我们表明，决策问题是在P/聚，如果使用$\ell$帮助位，$k$实例的问题可以有效地解决的概率大于$2^{\ell-k}$。如果使用少于$k(1 - h(α))$帮助位（其中$h(\cdot)$是二进制熵函数），则同样的结果成立，我们可以以非零概率正确地有效地求解实例的$(1-α)$分数。我们还将这两个结果推广到非常数但对数$k$。然而，在这种情况下，我们没有显示问题在P/poly中，而是显示它满足“$k$ -成员资格可比性”，这是一个已知与使用少于$k$位的帮助来解决$k$实例相关的概念。接下来我们考虑平均情况复杂度的设置：假设当$k$实例独立于特定分布绘制时，我们可以使用一些熵小于$k$的帮助位来解决决策问题的$k$实例。然后，我们可以有效地解决从该分布中提取的实例，其概率优于$1/2$。最后，我们证明了在$k$是超对数的情况下，假设决策问题的$k$ -成员可比性，不能通过“黑盒证明”来证明该问题是P/poly…
2014-08-03 cs.CC cs.IT math.IT
Downward self-reducibility in the total function polynomial hierarchy
本文将 TFNP 搜索问题的向下自归约坍缩推广到全函数多项式层级，证明带 $\mathsf{Σ_{i-1}^P}$ 预言机的随机化向下自归约可推出相应 PLS/UEOPL 上界，并用于两个经典问题。
2025-07-25 cs.CC cs.DS
