Numerical Methods For PDEs Over Manifolds Using Spectral Physics Informed Neural Networks
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
提出谱物理信息神经网络求解流形上PDE，架构对齐谱方法，优于标准架构，并在热方程及球面、环面非线性方程上验证，含大规模泛化实验。
2023-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
A Physics-Informed Neural Network Framework For Partial Differential Equations on 3D Surfaces: Time-Dependent Problems
University of Nevada, Las Vegas（内华达大学拉斯维加斯分校）；University of Arkansas（阿肯色大学）；Lehigh University（里海大学）
在本文中，我们展示了一个物理信息的神经网络求解器的时间依赖表面偏微分方程。与传统的数值求解器不同，该方法不需要在曲面上扩展偏微分方程和网格。我们显示了一个简化的表面微分算子的先验估计，使PINN的损失值将是一个指标的表面偏微分方程的残留物。数值实验验证了算法的有效性。
2021-03-19 cs.LG cs.NA math.NA
Generic bounds on the approximation error for physics-informed (and) operator learning
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；ETH AI Center（苏黎世联邦理工学院人工智能中心）
我们提出了一个非常通用的框架，用于推导物理信息神经网络（PINN）和算子学习架构（如DeepONets和FNOs）以及物理信息算子学习的近似误差的严格界限。这些界限保证了PINN和（物理信息）DeepONets或FNO将有效地近似通用偏微分方程（PDE）的基本解或解算子。我们的框架利用现有的神经网络近似结果，以获得更多涉及的学习结构的偏微分方程的界限。我们通过推导物理信息算子学习的近似误差的第一个严格界限，并通过显示PINN（以及物理信息DeepONets和FNO）减轻了近似非线性抛物型PDE的维数灾难，来说明一般框架。
2022-10-10 cs.LG cs.NA math.NA
Physics Informed Random Feature Neural Networks for Solving PDEs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of Arkansas（阿肯色大学）；University of Houston（休斯顿大学）
本文提出物理信息随机特征方法求解PDE，降低计算复杂度，通过严格误差分析和数值测试验证其能有效对抗谱偏差。
2026-09-16 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-Informed Geometry-Aware Neural Operator
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出Physics-Informed Geometry-Aware Neural Operator (PI-GANO)，通过几何编码器捕获域特征并集成至DCON架构，使物理信息神经算子能同时对PDE参数和域几何进行泛化，避免了昂贵的数据生成成本。
2024-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
VS-PINN: A fast and efficient training of physics-informed neural networks using variable-scaling methods for solving PDEs with stiff behavior
Inha University（仁荷大学）
针对具有刚性或高频特性的偏微分方程求解中PINNs训练困难的问题，提出基于可变缩放技术的VS-PINN方法，经实验验证可提升训练效率与性能，并通过NTK分析给出理论支撑。
2024-07-12 cs.LG cs.NA math.NA
Parameterized Physics-informed Neural Networks for Parameterized PDEs
Yonsei University（延世大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）；LG CNS；Texas A&M University-Commerce（德州农工大学Commerce分校）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）；KAIST（韩国科学技术院）
针对含参数PDE求解中PINNs需重复耗时训练的问题，提出显式编码参数潜在表示的P$^2$INNs，在1D、2D基准PDE上准确性和参数效率优于基线且能克服失效模式。
2024-08-18 cs.LG cs.NA math.NA
Solving PDEs with Unmeasurable Source Terms Using Coupled Physics-Informed Neural Network with Recurrent Prediction for Soft Sensors
Dalian University of Technology（大连理工大学）
针对具有不可测源项的非齐次偏微分方程，本文提出耦合物理信息神经网络CPINN-RP，通过NetU与NetG协同训练及循环预测补偿采样信息损失，提升软测量预测性能。
2023-07-11 cs.LG cs.NA math.NA
Noise-aware Physics-informed Machine Learning for Robust PDE Discovery
Osaka University（大阪大学）
本工作是关于发现一个物理系统的偏微分方程（PDE）。现有的方法已经证明了PDE识别从有限的观察，但未能保持令人满意的结果对噪声数据，部分原因是次优估计的衍生物和发现PDE系数。我们通过引入噪声感知物理信息机器学习（nPIML）框架来解决这些问题，以从遵循任意分布的数据中发现管理PDE。我们建议在多任务学习范式中训练一对神经网络，即求解器和预选器，这会产生构成隐藏物理约束的基础候选人的重要分数。在它们被联合训练之后，求解器网络估计潜在的候选者，例如，偏导数，用于稀疏回归算法初始揭示最可能的简约PDE，根据信息准则来决定。我们还提出了基于离散傅里叶变换（DFT）的去噪物理信息神经网络（dPINNs），以提供一组关于噪声降低变量的最佳微调PDE系数。去噪PINN被构造成最前沿投影网络和PINN，通过PINN，以前学习的求解器进行迭代。我们对五个典型偏微分方程的广泛实验证实，所提出的框架提出了一个强大的和可解释的偏微分方程发现的方法，适用于广泛的系统，可能复杂的噪声。
2022-08-04 cs.AI cs.LG cs.NA
Physics-Informed Graph-Mesh Networks for PDEs: A hybrid approach for complex problems
MICS, CentraleSupélec, Université Paris Saclay（巴黎萨克雷大学中央高等电力学院MICS实验室）；Transvalor S.A.（特兰斯瓦尔公司）
针对物理信息神经网络在复杂几何、泛化及自动微分方面的局限，提出融合图神经网络与有限元数值核的混合PDE求解框架，并通过理论分析、消融实验及二三维复杂几何测试验证其泛化能力。
2024-09-25 cs.LG cs.NA math.NA
PhyCRNet: Physics-informed Convolutional-Recurrent Network for Solving Spatiotemporal PDEs
Northeastern University（东北大学）；University of Notre Dame（圣母大学）；MIT（麻省理工学院）
偏微分方程（PDE）在建模和模拟各种学科的问题中发挥着重要作用。深度学习的最新进展表明，物理信息神经网络（PINN）在解决偏微分方程方面具有巨大潜力，可作为数据驱动建模和逆分析的基础。然而，大多数现有的PINN方法，基于全连接的神经网络，造成内在的限制，低维时空参数化。此外，由于初始/边界条件（I/BC）是通过惩罚来软施加的，因此解的质量严重依赖于超参数调整。为此，我们提出了新的物理信息卷积递归学习架构（PhyCRNet和PhyCRNet-s），用于在没有任何标记数据的情况下求解偏微分方程。具体地，提出了用于低维空间特征提取和时间演化学习的编码器-解码器卷积长短期记忆网络。损失函数被定义为聚合的离散化PDE残差，而I/BC在网络中被硬编码以确保强制满足（例如，周期性边界填充）。网络通过自回归和残差连接进一步增强，显式模拟时间推进。我们提出的方法的性能已经通过求解三个非线性偏微分方程（例如，2D Burgers方程、$λ$ - $ω$和FitzHugh Nagumo反应扩散方程），并与最新基线算法进行比较。数值结果表明，我们所提出的方法的优越性，在解决方案的精度，外推性和推广。
2021-06-26 cs.CL cs.LG cs.NA
Physics-informed Discretization-independent Deep Compositional Operator Network
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
提出一种物理信息且离散化无关的深度复合算子网络，通过重复学习参数嵌入并与响应嵌入复合，解决了神经算子在不规则区域和不同离散表示下的泛化难题，降低了数据成本。
2024-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
Estimates on the generalization error of Physics Informed Neural Networks (PINNs) for approximating a class of inverse problems for PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
针对PDE数据同化与唯一延拓反问题，论文建立抽象框架并利用条件稳定性证明PINN泛化误差估计，辅以四类线性PDE示例和数值实验验证。
2023-12-06 cs.LG cs.NA math-ph
Solving PDEs on Spheres with Physics-Informed Convolutional Neural Networks
Fudan University（复旦大学）；University of Sydney（悉尼大学）
本文针对球面上的PDE求解问题，严格分析PICNN的Sobolev范数逼近误差与快速收敛速率，并通过实验验证，进而探讨缓解高维PDE维数灾难的策略。
2024-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
Adversarial Multi-task Learning Enhanced Physics-informed Neural Networks for Solving Partial Differential Equations
Osaka University（大阪大学）；The Institute of Scientific and Industrial Research, Osaka University（大阪大学科学与工业研究所）
最近，研究人员利用神经网络来精确求解偏微分方程（PDE），使无网格方法的科学计算。不幸的是，当遇到高非线性域时，网络性能下降。为了提高泛化能力，我们引入了新的方法，采用多任务学习技术，不确定性加权损失和梯度手术，在学习PDE解决方案的背景下。多任务方案利用了学习共享表示的好处，由十字绣模块控制，多个相关PDE之间，这是通过改变PDE参数化系数，以更好地概括原始PDE。为了鼓励网络更加关注学习更具挑战性的高非线性域区域，我们还提出了对抗性训练来生成补充的高损失样本，这些样本与原始训练分布类似。在实验中，我们提出的方法被发现是有效的，并减少了错误的看不见的数据点相比，以前的方法在各种PDE的例子，包括高维随机PDE。
2021-05-12 cs.LG cs.NA math.NA
Spectrally Adapted Physics-Informed Neural Networks for Solving Unbounded Domain Problems
Dept.~of Mathematics, UCLA（UCLA数学系）；Dept.~of Computational Science and Philosophy, Frankfurt School of Finance and Management（金融与管理法兰克福学院计算科学与哲学系）
本文提出结合自适应谱方法与物理信息神经网络，解决无界域PDE问题，提升对无界变量依赖性的求解效率与精度。
2023-02-28 cs.LG cs.NA math.AP
Physics-Informed Neural Operator for Learning Partial Differential Equations
California Institute of Technology（加州理工学院）；Nvidia Corporation（英伟达公司）
提出PINO方法，结合粗分辨率数据与高分辨率PDE约束学习解算子，实现零样本超分辨率且在无数据场景中优于PINN。
2023-07-29 cs.LG cs.NA math.NA
Latent PDE mapping for efficient physics-informed learning across geometries with limited data
Faculty of Health and Technology, Kristiania University of Applied Sciences（健康与技术学院，克里斯蒂安尼亚应用科学大学）；Simula Research Laboratory（西穆拉研究实验室）
研究提出潜在偏微分方程映射技术，用于有限数据下跨几何的物理信息学习。通过变形梯度处理特定几何的偏微分方程残差等，在解决阿利耶夫 - 潘菲洛夫偏微分方程时效果显著，能降低误差且训练计算成本适中，有助于创建可泛化模型。
2026-07-27 cs.LG physics.comp-ph
FB-HyDON: Parameter-Efficient Physics-Informed Operator Learning of Complex PDEs via Hypernetwork and Finite Basis Domain Decomposition
Quantiphi（昆体菲科技）
针对现有神经算子需大量数据、物理信息算子训练复杂且难收敛的问题，提出结合超网络与有限基域分解的FB-HyDON架构，在多个PDE任务上实现性能提升。
2024-09-13 cs.LG cs.NA math.NA
Moving Sampling Physics-informed Neural Networks induced by Moving Mesh PDE
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文提出基于移动网格方法的自适应采样网络 MMPDE-Net，并与 PINN 结合构建 MS-PINN，通过误差分析和数值实验验证其相比 PINN 的性能提升。
2024-06-09 cs.AI cs.LG cs.NA
Unified theoretical guarantees for stability, consistency, and convergence in neural PDE solvers from non-IID data to physics-informed networks
Kabale University（卡巴莱大学）
本文提出统一理论框架，利用混合系数、曲率感知聚合与变分分析，严格证明了在非独立同分布数据、联邦学习及物理信息神经网络（PINNs）中的稳定性、一致性与收敛性，为设计鲁棒且物理连贯的神经架构奠定数学基础。
2025-05-30 cs.LG cs.NA math.NA
Error Analysis and Numerical Algorithm for PDE Approximation with Hidden-Layer Concatenated Physics Informed Neural Networks
Xi’an University of Technology（西安理工大学）；Northwest University（西北大学）；Purdue University（普渡大学）
本文提出HLConcPINN方法，结合隐层拼接网络、分块时间推进和物理信息策略逼近抛物型与双曲型偏微分方程，建立误差界并推广了仅限两层和tanh激活的既有理论保证方法。
2024-06-10 cs.LG cs.NA math.NA
Gradient-enhanced physics-informed neural networks for forward and inverse PDE problems
St. Mark’s School of Texas（圣马克德克萨斯学校）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Brown University（布朗大学）
深度学习已被证明是通过物理信息神经网络（PINN）求解偏微分方程（PDE）的有效工具。PINN将PDE残差嵌入到神经网络的损失函数中，并已成功地用于求解各种PDE正逆问题。然而，第一代PINN的一个缺点是，即使有许多训练点，它们通常也具有有限的准确性。在这里，我们提出了一种新的方法，梯度增强的物理信息神经网络（gPINNs），提高PINNs的准确性和训练效率。gPINN利用PDE残差的梯度信息并将梯度嵌入到损失函数中。我们广泛地测试了gPINN，并证明了gPINN在正向和逆PDE问题中的有效性。我们的数值结果表明，gPINN的性能优于PINN与较少的训练点。此外，我们将gPINN与基于残差的自适应细化（RAR）方法相结合，这是一种在训练过程中自适应地改善训练点分布的方法，以进一步提高gPINN的性能，特别是在具有陡峭梯度的解的PDE中。
2021-11-01 cs.LG physics.comp-ph
PDE-aware Optimizer for Physics-informed Neural Networks
ENM 5320: AI4Science（AI4Science）
本文提出了一种面向偏微分方程的优化器，通过适应性参数更新提升物理信息神经网络的稳定性与收敛性能。
2026-01-20 cs.LG
PINNacle: A Comprehensive Benchmark of Physics-Informed Neural Networks for Solving PDEs
Tsinghua University（清华大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
针对现有物理信息神经网络缺乏跨多类偏微分方程全面比较的问题，研究推出包含20余种PDE、10种前沿方法的基准工具PINNacle，通过大量实验分析方法优劣，为该领域后续研究提供指导。
2023-10-05 cs.LG cs.NA math.NA
Bi-level Physics-Informed Neural Networks for PDE Constrained Optimization using Broyden's Hypergradients
Tsinghua University（清华大学）；RealAI（瑞莱智慧）；Pazhou Lab（琶洲实验室）；Bosch China Investment Ltd（博世（中国）投资有限公司）
本文提出双层优化框架，内层用PINNs求解PDE约束，外层基于隐函数定理和Broyden方法高效近似超梯度，在大规模非线性PDECO问题上取得最先进结果。
2023-04-11 cs.LG
PDE Discovery for Soft Sensors Using Coupled Physics-Informed Neural Network with Akaike's Information Criterion
Dalian University of Technology（大连理工大学）
本文提出CPINN-AIC方法，通过耦合物理信息神经网络与赤池信息准则自动发现软测量中偏微分方程的微分算子组合与源项，并用人工和实际数据验证其有效性。
2023-08-11 cs.LG
Meta-learning of Physics-informed Neural Networks for Efficiently Solving Newly Given PDEs
NTT Communication Science Laboratories, NTT Corporation（NTT集团NTT通信科学实验室）
提出基于物理信息神经网络的元学习方法，将PDE编码为问题表示并通过神经网络前向过程高效预测解，无需更新参数，在解未知时也能评估误差，优于现有方法。
2023-10-20 cs.AI cs.LG stat.ML
A Metalearning Approach for Physics-Informed Neural Networks (PINNs): Application to Parameterized PDEs
University of Utah（犹他大学）
物理信息神经网络（PINN）作为偏微分方程（PDE）离散化的一种手段，在计算科学与工程（CS&E）领域受到了广泛的关注。PINN目前至少存在两个挑战：了解可调参数的准确性和收敛特性，以及确定使PINN与其他计算科学工具一样有效的优化策略。PINN训练的成本仍然是物理信息机器学习（PiML）的主要挑战-事实上，一般的机器学习（ML）。本文旨在通过研究新任务上的PINN来解决后者，参数化PDE提供了一个很好的测试平台应用程序，因为在这种情况下可以很容易地定义任务。在ML世界之后，我们介绍了PINN的元学习及其在参数化PDE中的应用。通过引入元学习和迁移学习概念，我们可以大大加快PINN的优化过程。我们提出了一个模型不可知的元学习的调查，然后讨论我们的模型感知元学习应用于PINN以及实现的考虑因素和算法的复杂性。然后，我们测试我们的方法在各种规范的前向参数化偏微分方程，已在新兴的PINN文献。
2023-01-19 cs.LG physics.comp-ph
Error Analysis of Physics-Informed Neural Networks for Approximating Dynamic PDEs of Second Order in Time
Xiangtan University（湘潭大学）；Northwest University（西北大学）；Purdue University（普渡大学）
研究了一类二阶动力学偏微分方程的物理信息神经网络（PINN）逼近问题，给出了PINN对波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程的误差分析.我们的分析表明，前馈神经网络具有两个隐藏层和$\tanh$激活函数，PINN逼近误差的解决方案领域，其时间导数和其梯度场可以有效地限制的训练损失和训练数据点（正交点）的数量。我们的分析进一步提出了新的形式的训练损失函数，其中包含某些残差是至关重要的误差估计，但会缺席的规范PINN损失制定。采用这些新形式的损失函数导致一个变种PINN算法。我们用新的PINN算法对波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程进行了大量的数值实验，结果表明该方法能很好地捕获解。
2023-03-22 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed MeshGraphNets (PI-MGNs): Neural finite element solvers for non-stationary and nonlinear simulations on arbitrary meshes
Karlsruhe Institute of Technology (KIT)（卡尔斯鲁厄理工学院）
提出PI-MGNs混合方法，结合PINNs与MGNs，在任意网格上快速准确求解非定常非线性PDEs，减少对昂贵训练数据的依赖，并具备良好的网格扩展性。
2024-02-16 cs.AI cs.CE cs.LG
Physically Informed Synchronic-adaptive Learning for Industrial Systems Modeling in Heterogeneous Media with Unavailable Time-varying Interface
针对异质介质工业系统建模中物理属性缺失、时变界面不可得的难题，提出物理 informed 同步自适应学习方法，通过多网络协同与混合损失实现偏微分方程求解，经理论证明和实验验证有效。
2024-01-26 cs.CE cs.LG
CP-PINNs: Data-Driven Changepoints Detection in PDEs Using Online Optimized Physics-Informed Neural Networks
Stony Brook University（石溪大学）；Center of Excellence in Wireless and Information Technology（无线与信息技术卓越中心）；Institute for Advanced Computational Science（高级计算科学研究所）
本文提出CP-PINNs，通过在物理信息神经网络中引入总变差惩罚和在线损失重加权，解决PDE动力学参数随机时间发生突变时的逆问题，实现变点检测与参数估计的同步优化。
2024-04-01 cs.AI cs.LG cs.NA
Physics-Informed Inference Time Scaling for Solving High-Dimensional PDE via Defect Correction
Peking University（北京大学）；Visa Inc.（Visa公司）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Northwestern University（西北大学）
SCaSML通过缺陷修正方法提高高维PDE求解的精度和效率，减少替代模型误差20-80%
2025-12-23 cs.AI cs.LG cs.NA
An Improved Structured Mesh Generation Method Based on Physics-informed Neural Networks
National University of Defense Technology（国防科技大学）
网格生成技术是许多需要数值模拟的领域的关键技术。随着数值算法变得更有效，计算机变得更强大，用于网格生成的时间百分比变得更高。本文提出了一种改进的结构化网格生成方法。该方法将网格划分问题公式化为与物理信息神经网络相关的全局优化问题。通过智能求解物理边界约束偏微分方程得到网格。为了提高神经网络的预测精度，我们还引入了一种新的辅助线策略和一个有效的网络模型在网格划分。该策略首先使用先验辅助线来提供地面真实数据，然后使用这些数据来构造损失项以更好地约束后续训练的收敛。实验结果表明，该方法是有效的和鲁棒的。它可以精确地近似从计算域到物理域的映射（变换），并能够快速生成高质量的结构化网格。
2022-10-18 cs.GR cs.LG physics.flu-dyn
Quantum-classical physics-informed Kolmogorov-Arnold networks for PDEs
School of Petroleum Engineering, Yangtze University（扬州大学石油工程学院）；School of Computer Science, Yangtze University（扬州大学计算机科学学院）；State Key Laboratory of Low Carbon Catalysis and Carbon Dioxide Utilization (Yangtze University)（扬州大学低碳催化与二氧化碳利用国家重点实验室）；Western Research Institute, Yangtze University（扬州大学西部研究院）
提出QCPIKAN，首个量子-经典物理信息Kolmogorov-Arnold网络，结合Chebyshev多项式KAN层和参数化量子电路，通过嵌入物理约束加速高频误差指数收敛并抑制数值色散，在多孔介质渗流场景中优于现有量子-经典PINN。
2026-06-23 cs.LG physics.comp-ph
Error Bounds for Physics-Informed Neural Networks in Fokker-Planck PDEs
Dept. of Aerospace Eng. Sciences University of Colorado Boulder（航空航天工程科学系，科罗拉多大学博尔德分校）；Center for Systems and Control Delft University of Technology（系统与控制中心，代尔夫特理工大学）
本文提出利用物理信息神经网络近似Fokker-Planck偏微分方程的解，并分析其误差界，验证了该方法在非线性、高维和混沌系统中的有效性及计算效率。
2025-10-08 cs.AI cs.LG cs.NA
Distributional Offline Continuous-Time Reinforcement Learning with Neural Physics-Informed PDEs (SciPhy RL for DOCTR-L)
Fidelity Investments（富达投资）
针对高维最优控制问题，提出了一种基于随机策略的分布式离线连续时间强化学习（DOCTR-L）方法.利用半线性偏微分方程给出了经典Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的软分布形式。这个“软HJB方程”可以从离线数据中学习，而无需假设后者对应于先前的最优或接近最优的政策。软HJB方程的数据驱动解决方案使用在科学机器学习（SciML）领域中开发的神经PDE和物理信息神经网络的方法。因此，被称为“SciPhy RL”的建议方法将DOCTR-L简化为从数据中解决神经PDE。我们的算法称为Deep DOCTR-L，通过将其简化为监督学习，而不是依赖于值迭代或策略迭代方法，将离线高维数据一步转换为最优策略。该方法使一个可计算的方法获得的政策的预期回报和不确定性，他们的价值方面的质量控制。
2021-04-02 cs.AI cs.LG physics.comp-ph
Spline-PINN: Approaching PDEs without Data using Fast, Physics-Informed Hermite-Spline CNNs
University of Bonn（波恩大学）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
偏微分方程（PDE）是出了名的难以求解。一般来说，封闭形式的解决方案是不可用的，数值逼近方案是计算昂贵的。在本文中，我们提出了一种新的技术，结合了两个最近出现的机器学习为基础的方法的优势，接近偏微分方程的解决方案。首先，物理信息神经网络（PINN）学习PDE的连续解，并且可以在几乎没有地面真实数据的情况下进行训练。然而，PINN并不能很好地推广到看不见的域。第二，卷积神经网络提供快速推理和泛化，但要么需要大量的训练数据，要么需要基于有限差分的物理约束损失，这可能导致不准确和离散化伪像。我们利用这两种方法的优点，通过使用Hermite样条内核，以连续插值基于网格的状态表示，可以处理的CNN。这允许在没有任何预先计算的训练数据的情况下仅使用物理通知的损失函数进行训练，并提供推广到看不见的域的快速、连续的解决方案。以不可压Navier-Stokes方程和阻尼波动方程为例，证明了该方法的潜力。我们的模型能够学习一些有趣的现象，如卡门涡街，马格努斯效应，多普勒效应，干涉图案和波反射。我们的定量评估和交互式实时演示表明，我们正在缩小基于无监督ML的方法与工业CFD求解器在准确性方面的差距，同时速度也快了几个数量级。
2022-03-22 cs.CE cs.LG physics.flu-dyn
QCPINN: Quantum-Classical Physics-Informed Neural Networks for Solving PDEs
Computational Science and Engineering Department, Informatics Institute Istanbul Technical University（信息学院理工学院计算科学与工程系）；Scientific Computing, Rutherford Appleton Laboratory Science and Technology Facilities Council (STFC)（科学与技术设施委员会（STFC）科学计算部）
本文提出融合量子与经典组件的 QCPINN，通过系统评估电路架构，在五个 PDE 基准上以经典 PINN 仅 10–30% 的参数保持相当精度并降低 L_2 误差。
2025-10-18 cs.LG quant-ph
Gen-PINNs: Generative Adversarial Physics Informed Neural Networks for solving partial differential equations
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
该研究针对标准PINNs的局限性，提出Gen-PINNs框架，通过生成器与判别器结合的方式，在非线性、高阶等含尖锐前沿的PDE求解中，显著提升了精度与收敛性。
2026-10-09 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
Over-PINNs: Enhancing Physics-Informed Neural Networks via Higher-Order Partial Derivative Overdetermination of PDEs
State Key Laboratory of Tribology（摩擦学国家重点实验室）
提出 Over-PINNs 框架，利用自动微分构造高阶 PDE 辅助约束并加入损失函数，以较低额外计算成本提升 PINNs 求解多种 PDE 的精度。
2025-06-06 cs.LG
Physics-informed neural networks for PDE-constrained optimization and control
Computational Science Laboratory（计算科学实验室）
科学和工程中的一个基本问题是设计最优控制策略，使给定的系统朝着期望的结果前进。这项工作提出了控制物理信息神经网络（控制PINN），同时解决了一个给定的系统状态，并为最优控制信号，在一个阶段的框架，符合基本的物理规律。先前的方法使用两阶段框架，首先建模，然后按顺序控制系统。相比之下，控制PINN在其架构和其损失函数中结合了所需的最优性条件。控制PINNs的成功证明通过解决以下开环最优控制问题：（i）一个分析问题，（ii）一个一维的热方程，和（iii）一个二维的捕食者-猎物问题。
2022-08-18 cs.LG math.OC
One-Step Evolution for Long-Time Extrapolation: An Error-Bound-Informed and Prior-Guided Neural Residual Framework for Autonomous PDEs
Ocean University of China（中国海洋大学）；University of Glasgow（格拉斯哥大学）
该研究针对自主PDE长时间外推的误差问题，提出误差界感知与先验引导的神经残差框架，经多基准案例验证，其外推误差低于数值先验及十种对比方法，可提升无真实轨迹监督的PDE长时间模拟精度。
2026-08-25 cs.AI cs.LG
Actor-Critic Methods using Physics-Informed Neural Networks: Control of a 1D PDE Model for Fluid-Cooled Battery Packs
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文提出一种基于PINN的actor-critic算法，通过求解连续时间HJB方程控制流体冷却电池组的1D PDE模型，实验证明结合HJB更新值网络与PPO更新策略网络的混合策略效果最佳。
2023-05-18 cs.LG math.AP math.OC
Bayesian Physics-Informed Extreme Learning Machine for Forward and Inverse PDE Problems with Noisy Data
Defense Innovation Institute, Chinese Academy of Military Science（中国军事科学院国防创新研究院）
提出贝叶斯物理 informed 极限学习机（BPIELM），在统一框架下求解含噪声数据的前向与反向线性 PDE 问题，通过贝叶斯方法量化不确定性，精度优于 PIELM 且计算成本低于 PINN。
2022-05-14 cs.LG
Physics-Informed Neural PDE Solvers via Spatio-Temporal MeanFlow
Fudan University（复旦大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出时空均流求解器，通过将生成速度场替换为物理PDE算子，实现高效预测，同时扩展均流约束到时空域，统一处理时变和静态PDE，实验表明其在精度和效率上优于基线方法。
2026-05-09 cs.LG
Towards a Foundation Model for Physics-Informed Neural Networks: Multi-PDE Learning with Active Sampling
本文提出一种在统一架构下求解多个偏微分方程的基础PINN模型，并结合基于MC Dropout不确定性估计的主动学习策略进行迭代采样，实验证明该方法在大幅减少训练样本的同时保持了高准确性，有效降低了计算成本。
2025-05-02 cs.LG
Physics-Informed Foresight Pruning for Sparse PINN Solvers of Nonlinear PDEs
针对非线性PDE稀疏PINN求解器，提出PI-SAP剪枝方法，其利用PDE残差灵敏度分配显著性，在高稀疏度下保留Gray-Scott残差保真度，平衡解侧与残差侧训练动态。
2026-08-27 cs.AI cs.LG
Learning PDE Solvers with Physics and Data: A Unifying View of Physics-Informed Neural Networks and Neural Operators
University of Alabama（阿拉巴马大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；University of Maryland（马里兰大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文提出统一视角，将物理感知神经网络和神经算子置于共享设计空间中，以揭示其在科学工作流中的关系和作用。
2026-02-18 cs.LG math.AP
Revisiting PINNs: Generative Adversarial Physics-informed Neural Networks and Point-weighting Method
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学）；JD Explore Academy（京东探索研究院）
物理信息神经网络（PINN）为数值求解偏微分方程（PDE）提供了一个深度学习框架，并已被广泛应用于各种PDE问题。然而，在PINN的应用中仍然存在一些挑战：1）PINN的机制不适合（至少不能直接应用）利用小尺寸（通常很少）的额外信息样本来细化网络;以及2）对于一些复杂的PDE，训练PINN的效率通常变低。在本文中，我们提出了生成对抗物理信息神经网络（GA-PINN），它集成了生成对抗（GA）机制与PINN的结构，提高PINN的性能，只利用一个小规模的精确解的偏微分方程。受Adaboost方法的加权策略的启发，我们引入了点加权（PW）方法来提高PINN的训练效率，其中每个样本点的权重在每次训练迭代时自适应地更新。数值实验表明，GA-PINN在许多著名的偏微分方程中的性能优于PINN，PW方法也提高了训练PINN和GA-PINN的效率。
2022-05-18 cs.LG
Physics-Informed Neural Networks and Radial Basis Functions for PDEs with Dirac Delta Sources
Department of Civil and Environmental Engineering, University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校土木与环境工程系）
针对含狄拉克δ项的偏微分方程，通过将物理信息神经网络解释为残差最小二乘法，利用弱形式直接处理δ项，并对比径向基函数展开方法，发现径向基函数-残差最小二乘法在输运问题中更稳定。
2026-06-12 cs.LG
Physics-Informed Neural Networks for Solving Derivative-Constrained PDEs
Department of Computer Science, University College London, Gower Street, London WC1E 6BT, UK（伦敦大学学院计算机科学系）
本文提出Derivative-Constrained PINNs，通过自动微分高效嵌入非线性约束，减少对人工超参数的依赖，提升物理真实性。
2026-04-15 cs.LG physics.comp-ph
Anisotropic, Sparse and Interpretable Physics-Informed Neural Networks for PDEs
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
人们对使用深度神经网络（DNN）来求解偏微分方程（PDE）越来越感兴趣。尽管这些方法有希望，但仍有许多方面可以改进。两个这样的缺点是（i）相对于经典数值方法，它们的计算效率低下，以及（ii）训练的DNN模型的不可解释性。在这项工作中，我们提出了ASPINN，我们早期的工作称为SPINN的各向异性扩展-稀疏，物理信息和可解释的神经网络-解决这些问题的PDE。ASPINN一般化了径向基函数网络。我们使用各种涉及椭圆和双曲偏微分方程的例子证明，我们提出的特殊架构比通用DNN更有效，同时可以直接解释。此外，它们改进了我们之前提出的SPINN模型，因为使用ASPINN比使用SPINN需要更少的节点来捕获解决方案，这要归功于每个节点的局部影响区域的各向异性。ASPINN的可解释性转化为它们的权重和偏差的现成可视化，从而更深入地了解训练模型的性质。这反过来又提供了一个系统的过程，以改善架构的基础上计算的解决方案的质量。因此，ASPINN作为一个有效的桥梁之间的经典数值算法和现代DNN为基础的方法来解决偏微分方程。在这个过程中，我们还将ASPINN的训练简化为更接近监督学习算法的形式。
2022-12-23 cs.LG
