关于极小极大分支公式
On the Minimax Bifurcation Formula
AI总结：
本文提出了一种变分极小极大方法，用于检测抽象非线性方程中的最大鞍点分支，通过极小极大值确定临界参数，并证明了抽象极小极大分支公式，建立了弱鞍点分支点的存在性和特征，并验证了有限维伽辽金近似。还获得了分支值的扰动估计。非变分非线性椭圆方程系统应用表明，该方法不局限于经典变分结构。所得到的框架为检测、近似和分析鞍点分支提供了统一工具。
摘要：
我们开发了一种变分极小极大方法，用于检测抽象非线性方程中的最大鞍点分支。与连续和路径跟踪技术不同，该方法直接将临界参数确定为扩展Rayleigh商的极值。我们证明了抽象极小极大分支公式，建立了弱鞍点分支点的存在性和特征，并验证了有限维伽辽金近似。我们还获得了分支值的扰动估计。应用于非变分非线性椭圆方程系统的应用表明，该方法不局限于经典变分结构。所得到的框架提供了一种统一的工具，用于检测、近似和分析鞍点分支。
英文摘要：
We introduce a Rayleigh-quotient minimax method for locating maximal one-sided saddle-node bifurcations in nonlinear equations, including non-variational ones. The method avoids branch continuation and instead selects the critical point directly through the minimax bifurcation formula \[ λ^* := \sup_{u\in\mathcal U^o} \inf_{v\in\mathcal S\setminus\{0\}} \mathcal R(u,v), \] where \(\mathcal R\) is a two-variable extended Rayleigh quotient on fixed cones. A saddle point of this quotient simultaneously determines the critical parameter, the bifurcation solution, and the adjoint singularity relation. This gives a direct characterization of the bifurcation threshold and leads to Galerkin minimax approximations, a posteriori parameter-margin estimates, and perturbation bounds for the critical value. The abstract assumptions are verified for nonlinear elliptic systems, including non-potential systems.
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