关于广义Collatz-Wielandt公式及鞍结分支的发现
On a generalized Collatz-Wielandt formula and finding saddle-node bifurcations
摘要：
本文引入了非线性广义Collatz-Wielandt公式$$ λ^*= \sup_{x\in Q}\min_{i:h_i(x) \neq 0} \frac{g_i(x)}{ h_i(x)}, ~~Q \subset \mathbb{R}^n,$$，并证明了它的$(x^*,λ^*)$产生了以下形式的方程组的最大鞍结分支：$g(x)-λh(x)=0, ~~x \in Q$ .利用这一点，我们介绍了一个简单的可验证的标准检测鞍结分岔的一个给定的方程组。我们应用这个准则证明了非线性偏微分方程的有限差分近似和潮流方程组的最大鞍结分岔的存在性。
英文摘要：
We introduce the nonlinear generalized Collatz-Wielandt formula $$ λ^*= \sup_{x\in Q}\min_{i:h_i(x) \neq 0} \frac{g_i(x)}{ h_i(x)}, ~~Q \subset \mathbb{R}^n,$$ and prove that its solution $(x^*,λ^*)$ yields the maximal saddle-node bifurcation for systems of equations of the form: $g(x)-λh(x)=0, ~~x \in Q$. Using this we introduce a simply verifiable criterion for the detection of saddle-node bifurcations of a given system of equations. We apply this criterion to prove the existence of the maximal saddle-node bifurcations for finite-difference approximations of nonlinear partial differential equations and for the system of power flow equations.
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