A graph $G$ is said to be perfectly divisible if for every induced subgraph $H$ of $G$ with at least one edge, the vertex set $V(H)$ can be partitioned into two sets $A, B$ such that $H[A]$ is perfect and $ω(B) < ω(H)$. It is easy to see that the chromatic number of a perfectly divisible graph is at most $\binom{ω(G)+1}{2}$. Hoàng conjectured that every graph $G$ with $α(G) \le 3$ is perfectly divisible. We disprove this conjecture.
In the same vein, a graph $G$ with at least one edge is $k$-divisible if for every induced subgraph $H$ of $G$ with at least one edge, the vertex set $V(H)$ can be partitioned into $k$ sets, none of which contains a largest clique of $H$. It is easy to see that the chromatic number of a $k$-divisible graph is at most $k^{ω-1}$. Hoàng conjectured that every even-hole-free graph is 3-divisible. We confirm this conjecture.
Finiteness of p-Divisible Sets of Multiple Harmonic Sums
\medskip \noindent \textbf{Résumé.}因此，$l$是一个整体，$\ors=(s_1, \dots, s_l)$是一个整体阳性序列。在该文件中，我们研究了多个$H(\ors; n)$的一些谐波的算术特性，这是$n$-其中一些具有多个zeta系列$ζ(\ors)$的价值。关于所有$\ors$和所有$p$的猜想，它不是一个命名为$p$的词--部分是$H(\ors,n)$。塞西提出了Eswarathasan et Levine et Boyd的一个关于调和级数的猜想。我们为这一普遍猜想准备了大量的基础知识，因为某些实证主义的论点仍然存在。Ce document fait suite à \emph{Wolstenholme Type Theorem for multiple harmonic sums}，Intl.\ J.数论\textbf{4}（1）（2008）73 - 106。
Every fork-free graph is perfectly weight divisible
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University（江苏师范大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学数学系）
School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文证明了Dean猜想对k≥6成立，并提出了更强的结果，证明每个最小度数至少为k的图中存在长度为r mod k的循环，除非存在特定例外图。
Barat-Barassen猜想，最近在[Bensmail et al.：关于Barat-Barassen猜想的证明J. Combin。理论系列B，124：39-55，2017.]，断言对于每棵树T，存在一个常数$c_T$，使得每一个边数（大小）可被T整除的$c_T$ -边连通图G允许边划分为T的拷贝（T-分解）.在本文中，我们调查在这种情况下，连接要求可以下降到最低程度的条件。例如，在[Bensmail et al.：图的边划分为路：超越Barat-Barassen猜想。arXiv：1507.08208]证明了当T是一条k边路时，存在一个常数$d_k$，使得每一个大小可被k整除且度最小的24边连通图G都有一个T-分解.本文证明了当F是互质森林（其组成部分的大小是互质整数集）时，只要F的大小除以G的大小（不需要连通性），任何最小度足够大的图G都有F-分解.一个自然的猜想问[Bensmail等人：图的边划分为路：超越Barat-Barassen猜想。arXiv：1507.08208]断言，对于固定树T，任何大小可被T的大小整除且具有足够高的最小度的图G都具有T-分解，前提是G就T的最大度而言足够高连通。最大度为2的情况用路径来回答。在最大度为3的情况下，我们给出了这个猜想的一个反例。
