高斯-勒让德曲线的评估
Evaluation of Gauss-Legendre curves
AI总结：
本文提出新的高斯-勒让德多项式及其导数在移位幂基和对称正交雅可比多项式相关基中的表示方法，并设计了高效的O(n²+dn)算法来评估度数为n的高斯-勒让德曲线，同时提出多点评估算法。
摘要：
我们提出了高斯-勒让德多项式及其导数在移位幂基以及与对称正交雅可比多项式相关的基中的新表示方法。利用这些表示和某些递推关系，我们提出了评估度数为n的高斯-勒让德曲线的高效O(n²+dn)方法。我们还提出了多点评估算法，其计算复杂度为O(Mdn+dn²)，其中M是评估点的数量。
英文摘要：
We present new representations of Gauss--Legendre polynomials and their derivatives in the shifted power basis and in bases related to symmetric orthogonal Jacobi polynomials. Using these representations and certain recurrence relations, we propose $O(n^2+dn)$ methods for evaluating a Gauss--Legendre curve of degree $n$ in $\mathbb E^d$. We also propose algorithms for multipoint evaluation with computational complexity $O(Mdn+dn^2)$, where $M$ is the number of evaluation points. Numerical tests show that the approach using the shifted power basis is very fast, but it works well only for small $n$ (approximately up to 20), whereas the method employing Jacobi polynomials gives good numerical results even for large $n$ (around 100).
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