Least squares solvers for ill-posed PDEs that are conditionally stable
本文利用条件稳定性假设设计最小二乘泛函，为不适定 PDE 构造可证明最优误差界的求解器，并通过 Fortin 投影验证 inf-sup 稳定性及数值实验验证。
2023-06-01 cs.NA math.NA
MGCNN: a learnable multigrid solver for sparse linear systems from PDEs on structured grids
提出 MGCNN 可学习多重网格求解器，利用类 CNN 的多层级、线性和权重共享结构离线求解结构化网格上的异质系数 PDE 稀疏系统，并在对流–扩散方程上显著优于 GMG。
2024-05-09 cs.NA math.NA
A new efficient approximation scheme for solving high-dimensional semilinear PDEs: control variate method for Deep BSDE solver
提出了一种求解高维半线性偏微分方程（PDE）和倒向随机微分方程（BSDEs）的新的逼近格式。首先，我们将一个目标半线性偏微分方程分解为两部分，即“主导”线性偏微分方程和“小”非线性偏微分方程。然后，我们采用了一种新的控制变量的方法来解决这些偏微分方程，其中基于渐近展开技术的近似有效地应用于线性部分，也用作控制变量的非线性部分。此外，我们的理论结果表明，所提出的方法的误差变得小于那些原来的Deep Boundary求解器。最后通过数值实验验证了该方法的有效性，实验结果与本文的理论结果一致。
2021-01-31 cs.NA math.NA q-fin.CP
Implicit Neural Solver for Time-dependent Linear PDEs with Convergence Guarantee
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）
快速精确求解含时不定常偏微分方程是物理、工程、生物等领域的研究热点。一般来说，隐格式格式比显式格式具有更好的稳定性和正确性。现有的隐格式格式通常是迭代的，并采用一个通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器学习一类偏微分方程的最佳迭代方案，在数据驱动的方式。我们通过使用深度神经网络修改现有半隐式求解器的迭代来实现这一目标。此外，我们从理论上证明，我们的方法保留了现有的迭代求解器提供的正确性和收敛性保证。我们还证明，我们的模型推广到一个不同的参数设置比在训练过程中看到的，并实现更快的收敛相比，半隐格式。
2019-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
Optimal parameters for numerical solvers of PDEs
本文介绍了一种在求解偏微分方程初值问题的数值格式的参数族中识别最优方法的方法。该过程通过自适应地计算最优参数来最大化精度，所述最优参数在每个时间步长处最小化基于缺陷的局部误差的估计。可行的改进，提出了减少所涉及的最优化问题的解决方案的计算开销，并保持原来的方法的守恒性质。我们应用新的战略，最近推出的家庭的Korteweg-de Vries方程和非线性热方程的保守计划。数值试验表明，与现有的方法相比，新技术的效率提高。
2021-08-07 cs.NA math.NA
The Hierarchical Poincare-Steklov (HPS) solver for elliptic PDEs: A tutorial
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文介绍了一种用于二维域上变系数椭圆问题的高阶谱近似数值方法，该方法具有O(N^1.5)的预计算复杂度和O(N log N)的求解复杂度，适用于求解迭代求解器难以处理的高振荡问题。
2015-06-03 cs.NA math.NA
Automatic discovery of optimal meta-solvers for time-dependent nonlinear PDEs
Division of applied mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）
本研究提出通用可扩展框架，结合经典数值方法与深度学习组件，将时间相关非线性PDE的元求解器发现建模为多目标优化问题，所得Pareto最优求解器在多领域任务中性能优于传统方法。
2025-06-30 cs.NA math.NA
A new reduced order model of linear parabolic PDEs
如何建立多维不定常偏微分方程（PDE）的精确降阶模型（ROM）是一个非常开放的问题。在本文中，我们提出了一个新的ROM的线性抛物型偏微分方程。我们证明了我们的新方法可以比标准求解器快几个数量级，而且内存密集度也要低得多。在对问题数据的一些假设下，我们证明了新方法的收敛速度与标准求解器相同。数值实验证实了我们的理论结果。
2022-09-27 cs.NA math.NA
Hybrid Iterative Solvers with Geometry-Aware Neural Preconditioners for Parametric PDEs
Division of Applied Mathematics（应用数学系）；Brown University（布朗大学）；Ansys UK Ltd（Ansys英国有限公司）
本文提出Geo-DeepONet，结合几何信息的神经预置条件器，提升混合迭代求解器在参数PDEs中的鲁棒性和效率。
2025-12-16 cs.LG cs.NA math.NA
Fast high-order spectral solvers for PDEs on triangulated surfaces with applications to deforming surfaces
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出快速高阶谱求解器用于三角化表面的偏微分方程，结合四边形化和基于Dubiner多项式的谱元方法，实现高精度和高效求解，应用于变形表面的数值实验。
2025-12-30 cs.NA math.NA
A Fast Direct Solver for Elliptic PDEs on a Hierarchy of Adaptively Refined Quadtrees
本文提出首个直接作用于 pforest 管理的自适应四叉树网格的 HPS 快速直接求解器，采用二阶有限体积离散，并实现了 4 合 1 合并与拆分操作，在泊松和亥姆霍兹问题上验证了有效性。
2024-04-05 cs.NA math.NA
Evaluating Accuracy and Efficiency of HPC Solvers for Sparse Linear Systems with Applications to PDEs
偏微分方程（PDE）描述了与应用科学的许多领域相关的若干问题，并且其离散对应物通常涉及稀疏线性系的解。在这种情况下，我们专注于分析的计算方面的解决方案的大型和稀疏的线性系与HPC求解器，考虑的性能直接和迭代求解器的计算效率，可扩展性和数值精度。我们的目标是确定的主要标准，以支持应用领域的专家在选择最合适的求解器，根据应用程序的要求和可用的资源。为此，我们讨论了如何影响数值求解器的输入域的规则/不规则离散化，离散化的输入偏微分方程与分段线性或多项式基函数，这通常会导致较高/较低的稀疏系数矩阵，和不同的初始条件的选择，这是与线性系与多个右手边项。最后，我们的分析是独立的基础计算架构的特点，并提供了一种方法，可应用于不同类别的偏微分方程或近似问题。
2022-01-14 cs.NA cs.PF math.NA
A machine learning solver for high-dimensional integrals: Solving Kolmogorov PDEs by stochastic weighted minimization and stochastic gradient descent through a high-order weak approximation scheme of SDEs with Malliavin weights
本文介绍了一种非常简单、快速的高维积分计算方法，用于求解高维Kolmogorov偏微分方程。新的基于机器学习的方法是通过求解一个随机加权最小化与随机梯度下降，这是受启发的高阶弱近似计划的随机微分方程（SDES）与Malliavin权重。然后，解决方案，高维Kolmogorov偏微分方程或期望的泛函的解决方案，高维偏微分方程的准确近似，而不会遭受灾难的维度。通过使用二阶和三阶离散格式，以证明我们的方法的有效性，PDES和SDES高达100维的数值例子。
2021-02-11 cs.NA math.NA q-fin.CP
A high-order fast direct solver for surface PDEs
介绍了一种基于Poincaré-Steklov方法的曲面上变系数椭圆型偏微分方程的快速直接求解器。该方法以一个非结构化的，高阶四边形网格的表面和离散表面微分算子的每个元素使用高阶谱配置方案作为输入。元素解算子和与表面相切的狄利克雷-诺依曼映射被预先计算并以成对的方式合并，以产生解算子的层次结构，该解算子可以应用于具有$N$元素的网格的$\mathcal{O}(N \log N)$操作中。所得到的快速直接求解器可以用于加速高阶隐式时间步进格式，因为预先计算的算子可以重复用于表面上的快速椭圆求解。在一台标准笔记本电脑上，对具有超过100万个自由度的12阶曲面网格进行预计算需要17秒，而后续求解只需0.25秒。我们将该方法应用到一系列的光滑表面和尖锐的角落和边缘的表面上的问题，包括静态Laplace-Beltrami问题，切向向量场的Hodge分解，和一些时间依赖的非线性反应扩散系统。
2022-09-30 cs.NA math.NA
Predictive Moving Sample Method for Physics-Informed Neural Solvers of Time-Dependent PDEs
The School of Information Science and Technology and the Institute of Mathematical Sciences ShanghaiTech University（上海科技大学信息科学与技术学院与数学科学学院）；SKLMS & LSEC, Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所，数学重点实验室）；School of Mathematical Sciences University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences Shandong University（山东大学数学交叉前沿科学中心）；Frontiers Science Center for Nonlinear Expectations, Minister of Education Shandong University（教育部非线性期望前沿科学中心）；The Institute of Mathematical Sciences ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学学院）
提出预测性移动样本方法（PMSM）及其窗口重置变体（WR-PMSM），通过渐进时间步进和简化速度场损失，利用残差动态移动配点，高效求解时间相关偏微分方程。
2026-05-26 cs.NA math.NA
A direct solver with O(N) complexity for variable coefficient elliptic PDEs discretized via a high-order composite spectral collocation method
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出了一种用于求解二维域上变系数椭圆偏微分方程的数值方法，采用高阶复合谱逼近，针对光滑解问题，使用具有O(N)复杂度的直接求解器，展示了在非振荡问题中高效求解的能力。
2013-07-10 cs.NA math.NA
Meta-MgNet: Meta Multigrid Networks for Solving Parameterized Partial Differential Equations
本文研究了基于深度学习（DL）的参数化偏微分方程（P-PDE）的数值解。P-PDE出现在许多重要的应用领域中，使用传统的数值格式的计算成本可能过高，特别是当参数落入特定范围并且底层PDE需要以高精度求解时。最近，用深度学习解决偏微分方程已成为一个新兴领域。已有的工作表明，基于DL的方法在加快偏微分方程数值解方面具有巨大的潜力。然而，仍然有有限的研究DL方法的P-PDE。如果我们直接将现有的监督学习模型应用于P-PDE，当参数改变时，模型需要不断微调或重新训练。这极大地限制了这些模型在实践中的适用性和实用性。为了解决这个问题，我们提出了一种基于元学习的方法，可以有效地解决P-PDE与广泛的参数，而无需重新训练。我们的主要观察是把训练一个求解器的P-PDE与一组给定的参数作为一个学习任务。然后，训练一个求解器的P-PDE与不同的参数可以被看作是一个多任务学习问题，元学习是最有效的方法之一。这种新的视角可以应用于许多现有的PDE求解器。作为一个例子，我们采用多重网格网络（MgNet）作为基本求解器。为了实现多任务学习，我们在MgNet中引入了一个新的超网络，称为Meta-NN，并将整个网络称为Meta-MgNet。Meta-NN将微分算子和底层P-PDE的右侧作为输入，并为MgNet生成适当的平滑器，这可以显着影响收敛速度。最后，大量的数值实验表明，元MgNet是更有效地解决P-PDE比…
2020-11-01 cs.NA math.NA
Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
构造偏微分方程的快速数值求解器对于许多科学学科都是至关重要的。求解大规模偏微分方程的一个主要技术是使用多重网格方法。多重网格求解器的核心是延拓矩阵，它与问题的不同尺度之间相关。这个矩阵是强烈的问题依赖性，其最佳结构是至关重要的求解器的效率。然而，在实践中，为新问题设计多重网格算法往往会带来巨大的挑战。在本文中，我们提出了一个学习多重网格求解器的框架。我们的方法学习一个（单一）映射从一个家庭的参数化偏微分方程延长运营商。我们训练一个神经网络一次为整个类的偏微分方程，使用一个有效的和无监督的损失函数。广泛的一类2D扩散问题的实验表明，改进的收敛速度相比，广泛使用的黑盒多重网格计划，这表明我们的方法成功地学习规则，构造延长矩阵。
2019-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
Semi-Implicit Neural Solver for Time-dependent Partial Differential Equations
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；École normale supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）；deepc GmbH, Munich（慕尼黑deepc有限公司）；Helmholtz Zentrum München（慕尼黑亥姆霍兹研究中心）；University of Zurich（苏黎世大学）
不定常偏微分方程（PDE）的快速精确求解是物理学、工程学和生物学等许多研究领域的重要课题。一般来说，隐式/半隐格式优于显式格式，以提高稳定性和正确性。然而，现有的半隐式方法通常是迭代的，并采用通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器，学习最佳的迭代方案，在数据驱动的方式为任何类的偏微分方程。具体来说，我们使用深度神经网络修改半隐式求解器的单次迭代。我们提供的神经求解器的正确性和收敛性的理论保证类似于传统的迭代求解器。除了常用的Dirichlet边界条件外，我们还采用扩散域方法来引入不同类型的边界条件，例如，诺依曼我们表明，建议的神经求解器可以超越线性偏微分方程，并适用于一类非线性偏微分方程，其中的非线性组件是非刚性的。我们证明了我们的方法在2D和3D场景的有效性。为此，我们展示了我们的模型如何推广到不同于训练的参数设置，并实现了比半隐格式更快的收敛。
2021-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time
在这篇文章中，我们得到了一个新的，快速的，和强大的预处理迭代求解策略的所有一次解决最优控制问题的不定常偏微分方程作为约束，包括热方程和非定常对流-扩散方程。在应用优化然后离散化的方法后，人们面临着由偏微分方程的耦合系统组成的连续的一阶最优性条件。相对于大多数工作中预处理的离散化系统，其中（一阶精度）向后欧拉法用于离散化的时间导数，我们采用（二阶精度）曲柄-尼科尔森方法的时间。我们应用一个精心定制的可逆变换对称化的矩阵，然后推导出一个最佳的预条件子的鞍点系统。这个预条件的关键组成部分是一个准确的质量矩阵近似，一个很好的近似Schur补，和一个适当的多重网格过程，以适用于后者的近似-这些都是使用我们的工作在变换矩阵系统。我们证明了最优的近似Schur补通过边界上的特征值，并测试我们的求解器对广泛使用的预条件的线性系所产生的向后欧拉离散。这些都证明了我们的求解器的有效性和鲁棒性的网格大小，正则化参数和扩散系数。
2020-07-16 cs.NA math.NA math.OC
Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Twente（特温特大学）
研究对称二阶线性椭圆型偏微分方程的自适应有限元方法，在特定假设下证明算法能无条件全R线性收敛，对足够小参数保证最优复杂度，重点分析如基于平均的非残差估计器。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Unisolver: PDE-Conditional Transformers Towards Universal Neural PDE Solvers
Hang Zhou；Yuezhou Ma；Haixu Wu；Haowen Wang；Mingsheng Long
针对现有神经PDE求解器泛化性差的问题，提出以PDE组分为条件的Transformer模型Unisolver，结合物理结构与Transformer技术，在三个大规模基准上实现SOTA，迈向通用神经PDE求解器。
2025-09-04 cs.AI cs.LG cs.NA
A Hybrid Iterative Neural Solver Based on Spectral Analysis for Parametric PDEs
本文提出傅里叶神经求解器（FNS），通过从谱角度学习特征值和特征向量，使混合迭代方法在参数化PDE上实现与网格尺寸和物理参数无关的收敛速率。
2025-06-06 cs.NA math.NA
IGA-based Multi-Index Stochastic Collocation for random PDEs on arbitrary domains
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Consiglio Nazionale delle Ricerche - Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” (CNR-IMATI)（意大利国家研究委员会应用数学与信息技术研究所）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文提出了一种扩展的多索引随机摄动法（MISC）方法，用于解决计算域形状不是立方体或正方形的不确定性量化问题，通过利用等几何分析（IGA）技术。将IGA求解器引入MISC算法是自然的，因为它们是张量基的PDE求解器，正是MISC机制所需。此外，MISC的组合技术公式允许直接重用现有的IGA求解器实现。我们通过数值结果展示了所提方法的有效性。
2019-03-19 cs.NA math.NA
DDC-PINNs: A Predictor-Corrector Approach Based on Neural Network-Driven Domain Decomposition and Classical ODE Solvers for Time-Dependent PDEs
Sichuan Normal University（四川师范大学）
本文提出DDC-PINNs方法，通过域分解和因果策略解决传统PINNs在求解时变PDEs时的时序因果性不足和表达能力限制问题，将PDEs简化为ODEs并利用经典ODE求解器提高精度和泛化能力。
2026-06-25 cs.NA math.NA
Petascale elliptic solvers for anisotropic PDEs on GPU clusters
内存受限的应用程序，如大型稀疏方程组的求解器，仍然是GPU的一个挑战。快速求解器应该基于数值高效算法，并实现全局内存访问最小化。为了解决具有高达1万亿（$10^{12}$）未知数的系统，代码必须有效地利用大型GPU集群上的数百万个单独的处理器核心。我们描述了多GPU实现的两个算法最佳的迭代求解器的各向异性椭圆偏微分方程中遇到的大气建模。在这个应用程序中的条件数是大的，但独立的网格分辨率和两种方法都是渐近最优的，虽然有不同的绝对性能。我们并行求解器，并使其适应GPU架构的具体功能，特别注意高效的全局内存访问。我们实现了高达0.78 PFLOPs的性能时，解决一个方程与$0.55\cdot 10^{12}$未知数的16384 GPU;这相当于约$3\%$的理论峰值性能的机器，我们使用超过$40\%$的峰值内存带宽与共轭梯度（CG）求解器。虽然另一种求解器，几何多重网格算法，在每秒FLOPs方面的性能稍差，但总体上它更快，因为它需要更少的迭代来收敛;多重网格算法可以在大约一秒内解决具有5000亿个未知数的线性PDE。
2015-05-29 cs.DC cs.NA math.NA
Transolver: A Fast Transformer Solver for PDEs on General Geometries
School of Software, BNRist, Tsinghua University. \ Wu < >
本文提出Transolver，一种基于Physics-Attention的快速Transformer求解器，通过学习离散几何背后的内在物理状态，将网格自适应划分为可学习切片以捕捉复杂物理相关性，在六个标准基准上相对提升22%并在大规模工业模拟中表现优异。
2024-06-01 cs.LG cs.NA math.NA
WoSNN: Stochastic Solver for PDEs with Machine Learning
Florida State University（佛罗里达州立大学）
针对椭圆型偏微分方程求解需求，该研究结合WoS方法、空间离散与神经网络提出WoS-NN随机求解器，兼具无网格、鲁棒等优势，训练后可快速局部预测，精度更高且大幅降低计算成本。
2025-08-29 cs.LG cs.NA math.NA
UGrid: An Efficient-And-Rigorous Neural Multigrid Solver for Linear PDEs
Stony Brook University (SUNY)（纽约州立大学石溪分校）；Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出融合 U-Net 与多重网格的线性 PDE 神经求解器 UGrid，兼具收敛与正确性证明、高精度及跨几何和 PDE 形式的泛化能力，并以残差损失实现稳定无监督训练。
2024-08-09 cs.AI cs.LG cs.MS
A parallel-in-time approach for wave-type PDEs
利用线法求解波动型偏微分方程的数值解要求常微分方程求解器的稳定域包括围绕原点的大范围虚轴。我们在这里表明，外推的Gragg-Bulirsch-Stoer（GBS）型的求解器可以满足这一要求。外推方法利用几个独立的时间步进序列，使它们非常适合并行执行。传统的外推方案使用所有的时间步进序列，以最大限度地提高方法的精度。相反，本方法在采用附加的时间步进序列来形成所得到的稳定域的同时保持期望的精度阶数。我们优化外推系数以最大化稳定域的虚轴覆盖。这产生了一个家庭的显式计划，接近波传播问题的最大时间步长。与传统的常微分方程积分器相比，我们在多核计算机上实现了高阶和快速的求解。
2019-07-26 cs.NA math.NA
SlabLU: A Two-Level Sparse Direct Solver for Elliptic PDEs
本文提出两级稀疏直接求解器SlabLU，通过slab分解、$\mathcal H^2$矩阵与随机算法高效并行求解二维椭圆型PDE，并在大规模Helmholtz问题上实现高精度快速求解。
2025-08-28 cs.NA math.NA
Multi-scale linear solvers for very large systems derived from PDEs
提出一种基于波长分解的预条件共轭梯度线性求解器，通过粗粒化与光滑算子构造近似逆，递归求解大规模PDE离散系统，实现计算量随方程数线性增长。
1998-09-09 cs.NA math.NA math.RA
A Double-Adaptivity Solver for Parabolic PDEs
University of Twente（特温特大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
该研究针对线性抛物型初值问题的时空有限元离散化，提出双自适应求解器，推导后验条件与误差估计子，通过1+1和2+1维实验验证其有效性。
2026-09-03 cs.NA math.NA
Quantitative bounds on Impedance-to-Impedance operators with applications to fast direct solvers for PDEs
我们证明了一个家庭的运营商涉及阻抗边界条件凸，多边形域的定量范数界。一个强大的数值建设亥姆霍兹散射解决方案在可变介质中通过狄利克雷-诺依曼算子涉及到一个域分解成一系列不同尺度的矩形和构造阻抗阻抗边界算子上的每个子域。我们的估计，特别是确保可逆性，在频率的定量界，所需的合并运营商重建原始狄利克雷-诺依曼算子在这些阻抗阻抗运营商的子域。在我们的证明中的一个关键步骤是获得Neumann和Dirichlet边界迹估计的阻抗问题的解决方案，这是独立的利益。除了可变的介质设置，我们还构造边界类似的合并算子的障碍物散射问题。
2021-03-26 cs.NA math.AP math.NA
Holistic Physics Solver: Learning PDEs in a Unified Spectral-Physical Space
The State Key Lab of Brain-Machine Intelligence, Zhejiang University, Hangzhou, China（脑机智能国家重点实验室，浙江大学，杭州，中国）；College of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou, China（计算机科学与技术学院，浙江大学，杭州，中国）
本文提出整体物理混合器（HPM），在统一谱-物理空间中整合注意力与谱方法，兼顾泛化与灵活性，实验证明其在精度、效率及零样本泛化上优于现有方法。
2025-06-23 cs.LG cs.NA math.NA
Fast Fourier-like Mapped Chebyshev Spectral-Galerkin Methods for PDEs with Integral Fractional Laplacian in Unbounded Domains
在本文中，我们提出了一个快速的谱Galerkin方法求解含整数分数拉普拉斯算子的偏微分方程$\mathbb{R}^d$，这是建立在两个基本组成部分：（i）Dunford-Taylor公式的分数拉普拉斯算子;和（ii）Fourier-like双正交映射Chebyshev函数（MCF）作为基函数。因此，分数拉普拉斯算子可以完全对角化，并且求解椭圆分数PDE的复杂度是准最优的，即，$O((N\log_2N)^d)$，其中$N$是每个空间方向上的模式的数量。对各种衰减精确解的充分数值试验表明，快速求解器的收敛性与理论误差估计的阶数完全匹配。通过适当的时间离散，快速求解器可以直接应用于一个大类的非线性分数阶偏微分方程。作为一个例子，我们用四阶时间分裂方法和MCF-spectral-Galerkin方法求解了分数阶非线性Schr{<$}dinger方程.
2019-08-27 cs.NA math.NA
Bringing PDEs to JAX with forward and reverse modes automatic differentiation
Aalto University（阿尔托大学）；VTT Technical Research Centre of Finland（芬兰国家技术研究中心）
本文通过扩展JAX自动微分库并接入Firedrake有限元库，利用切线线性方程和伴随方程实现偏微分方程求解器的前向和反向模式自动微分，使其能与任意可微程序高效组合。
2023-08-31 cs.LG cs.MS cs.NA
Stability analysis of hierarchical tensor methods for time-dependent PDEs
在本文中，我们解决的问题，是否有可能整合不定常高维偏微分方程与分层张量方法和显式时间步进计划。为此，我们发展了张量解的稳定性和收敛性的充分条件张量流形上的常秩。我们还认为，明确的时间步长的PDE求解器的适用性可能会受到时间步长的限制，取决于问题的尺寸。数值应用的变系数线性双曲和抛物型偏微分方程。
2019-08-26 cs.NA math.NA
A fast direct solver based neural network for solving PDEs
Department of Computer Science & Engineering, International Institute of Information Technology Bangalore (IIIT-B), India（计算机科学与工程系，国际信息学院班加罗尔（IIIT-B），印度）；Department of Data Science and Artificial Intelligence, International Institute of Information Technology Bangalore (IIIT-B), India（数据科学与人工智能系，国际信息学院班加罗尔（IIIT-B），印度）
提出一种学习HODLR矩阵逆运算的神经网络，并扩展为非线性PDE求解算子，实验表明在多种PDE上高效且泛化良好。
2026-06-19 cs.LG cs.NA math.NA
Stability analysis of the numerical Method of characteristics applied to a class of energy-preserving systems. Part I: Periodic boundary conditions
University of Vermont（佛蒙特大学）
本文研究了特征方法在非耗散双曲偏微分方程周期边界条件下的数值稳定性，比较了三种求解器的稳定性差异。
2017-07-27 cs.NA math.NA
Multigrid Solver With Super-Resolved Interpolation
多重网格算法是求解椭圆型偏微分方程的一种有效的数值方法。该方法在逐渐精细的网格尺度上抑制误差，从而比标准迭代法（如高斯-赛德尔）更快地收敛。多重网格算法中的延拓或粗到细插值算子适用于ML超分辨率的数据驱动处理，通常用于提高图像的分辨率。我们（i）提出了超分辨率生成对抗网络（GAN）模型与多重网格算法作为延拓算子的新集成，（ii）表明GAN插值与三次样条插值相比，在物理和工程模拟中通常解决的一类多尺度PDE上，提高了多重网格的收敛性能。
2021-04-28 cs.NA math.NA
Schwarz solvers and preconditioners for the closest point method
曲面内禀椭圆偏微分方程的离散化提出了在平坦空间中没有过的有趣挑战。这些偏微分方程的离散化通常通过对曲面进行参数化、对曲面进行三角化或将曲面嵌入到高维平坦空间中来进行。最近点方法（CPM）是一种嵌入方法，它使用一个函数来表示曲面，该函数将嵌入空间中的点映射到曲面上的最近点。在CPM中，该映射还用作将表面内在数据带到嵌入空间上的扩展算子，允许在表面的窄管状邻域中通过标准方法对偏微分方程进行数值近似。在这里，我们专注于数值逼近的积极Helmholtz方程，$\left(c-Δ_\mathcal{S}\right)u=f,~c\in\mathbb{R}^+$的CPM配对有限差分。这产生了一个大的、稀疏的、非对称的系统来求解。在这里，我们开发了限制性的加施瓦茨（RAS）和优化的限制性加施瓦茨（ORAS）的解决方案和预处理这个离散系统。特别是，我们开发了一个通用的策略计算重叠分区的计算域，以及定义相应的狄利克雷和罗宾传输条件。我们证明了ORAS求解器和预处理器的收敛性可以通过使用修改后的传输条件，其中两个以上的重叠子域满足。数值实验提供了各种分析和三角化的表面。我们发现，ORAS求解器和预处理优于他们的RAS同行，并使用区域分解作为预处理器提供了更快的收敛速度比使用它作为一个求解器，正如预期的那样。该方法表现出良好的并行可扩展性在测试的进程数的范围内。
2020-09-03 cs.NA math.NA
Supervised and Unsupervised Neural Network Solver for First Order Hyperbolic Nonlinear PDEs
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Rutgers University–Camden（罗格斯大学卡姆登分校）
本文提出了一种基于神经网络的求解器，用于高效求解一阶超几何非线性偏微分方程，并在交通预测任务中展示了其优越性。
2026-01-10 cs.LG cs.NA math.NA
Numerical PDE solvers outperform neural PDE solvers
本研究提出可微有限差分框架DeepFDM，将经典前向欧拉离散化嵌入卷积架构，在多类标量PDE基准测试中，误差、训练效率和参数量均显著优于主流神经PDE求解器，为参数化PDE的数据驱动求解与识别提供了稳健高效的透明基线。
2025-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Natural Factor Based Solvers
我们考虑偏微分方程的参数族--参数$κ$只修改下面离散化的鞍点矩阵乘积的（1，1）块的偏微分方程。主要目标是开发一种算法，尽可能地消除迭代求解器对参数$κ$的依赖。我们提出的算法只需要一个矩阵分解，不依赖于$κ$，因此，允许重用它非常快速地解决了大量的离散偏微分方程不同的$κ$和强制条款。所提出的算法的设计动机是由以前的工作自然因子制定的刚度矩阵和他们的稳定的数值求解器。作为一个应用，在二维，我们考虑一个迭代预处理求解器的基础上的零空间的Crouzeix-Raviart离散梯度表示为离散旋度的$P_1$符合有限元功能。对于数值例子，我们考虑了随机系数压力方程的情况下，渗透率由一个随机过程。我们注意到，相反，从回收Krylov子空间技术，该算法不需要固定的强迫项。
2021-06-09 cs.NA math.NA
Deep Truncated FBSDE Method for High-Dimensional Nonlinear PDEs and Fully Coupled FBSDEs
Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）；Department of Mathematics, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen–Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学数学系）
本文提出一种深度截断FBSDE方法，通过梯度截断迭代解耦与虚构博弈平均，结合路径一致性项，实现对高维非线性PDE和全耦合FBSDE的稳定求解，并在数值实验中验证了其高精度与稳健性。
2026-10-23 cs.NA math.NA math.PR
Generative downscaling of PDE solvers with physics-guided diffusion models
本文提出物理引导扩散模型 PGDM，通过配对数据学习与 PDE 残差微调实现低保真到高保真 PDE 解的降尺度，在三类非线性 PDE 上优于基线并取得十倍以上加速。
2024-04-07 cs.NA math.NA
Trustworthy AI in numerics: On verification algorithms for neural network-based PDE solvers
University of Oslo（奥斯陆大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文提出后验验证算法，通过数值求积和能量估计，确保神经网络PDE求解器的输出具有任意给定的ε精度，从而实现可信计算。
2026-09-16 cs.NA math.NA
On fast Fourier solvers for the tensor product high-order FEM for a generalized Poisson equation
National Research University Higher School of Economics（国立研究高等经济学院）；Settlement Depository Company（结算存管公司）
本文提出基于快速傅里叶变换的高效算法，用于求解广义泊松方程的张量积高阶有限元方法，并展示了二维和三维的数值实验结果。
2017-01-14 cs.NA math.NA
Physics Informed Random Feature Neural Networks for Solving PDEs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of Arkansas（阿肯色大学）；University of Houston（休斯顿大学）
本文提出物理信息随机特征方法求解PDE，降低计算复杂度，通过严格误差分析和数值测试验证其能有效对抗谱偏差。
2026-09-16 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive FEM with quasi-optimal overall cost for nonsymmetric linear elliptic PDEs
针对非对称二阶线性椭圆型PDE，提出非精确自适应迭代对称化有限元方法（AISFEM），结合Zarantonello外循环与一致收缩代数内循环求解器，证明了其完全线性收敛性及关于整体计算成本的拟最优收敛率。
2023-11-21 cs.NA math.NA
A Deep Learning algorithm to accelerate Algebraic Multigrid methods in Finite Element solvers of 3D elliptic PDEs
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对代数多重网格方法参数调优成本高的问题，提出利用深度学习网络通过池化处理稀疏矩阵来调优强阈值参数，可在未见过的三维问题上最多减少30%计算时间，且代码改动极小。
2023-11-02 cs.LG cs.NA math.NA
A high-order accurate discretization scheme for variable coefficient elliptic PDEs in the plane with smooth solutions
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
提出一种基于高阶高斯求积的离散化格式，用于求解平面变系数椭圆偏微分方程的光滑解，特别适用于软散射体问题，所得线性方程组适合高效直接求解器。
2011-01-18 cs.NA math.NA
Parallel-in-Time Solution of Allen-Cahn Equations by Integrating Operator Learning into the Parareal Method
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出将运算学习整合到Parareal方法中，用于高效求解Allen-Cahn方程，通过CNNs学习时间步进运算符，实现高精度和加速计算。
2025-11-24 cs.NA math.NA
