Counting Polygon Triangulations is Hard
我们证明了它是$\#\mathsf{P}$ -完全计数三角形（非简单）。
2020-03-20 cs.CC cs.CG
Flipping Edge-Labelled Triangulations
在过去的几十年里，三角测量中的翻转受到了很多关注。然而，在翻转过程中跟踪特定边缘的问题尚未得到解决。我们研究这个问题，附加独特的标签的三角测量边缘。我们引入了边$e$的轨道的概念，它是通过翻转从$e$可到达的所有边的集合。我们建立了第一个上限和下限的翻转图的直径在此设置。具体来说，我们证明了紧$Θ(n \log n)$边界的$n$顶点凸多边形和组合三角形的边缘标记的三角形，对比$Θ(n)$边界在各自的未标记的设置。凸多边形设置的$Ω(n \log n)$下限可能是独立的，因为它概括了某些排序模型的下限。当允许同时翻转时，凸多边形的上界减小到$O(\log^2 n)$，尽管我们不再有匹配的下界。超越凸多边形，我们表明，边标记的三角形与一个单一的反射顶点可以有一个不连通的翻转图。这与未标记的情况形成鲜明对比，在未标记的情况下，翻转图对于任何三角化的多边形都是连通的。对于螺旋多边形，我们提供了一个完整的表征的轨道。这使我们能够决定一个螺旋多边形的翻转图在线性时间内的连通性。我们还证明了$O(n^2)$上界的直径的每个连接组件，这是最佳的最坏的情况下。最后，我们给出了一个翻转图直径为$Ω(n^3)$的非螺旋多边形的例子。
2016-03-04 cs.CG
Acute Triangulation of Constant Curvature Polygonal Complexes
我们证明了，每个二维多边形复杂，其中每个多边形被赋予一个常数曲率度量，并属于一个众多的等距类可以三角化，只用尖锐的单纯形。不要求复形是有限的，甚至是局部有限的。
2022-10-16 cs.CG math.MG
Flip Distance Between Two Triangulations of a Point-Set is NP-complete
给定凸多边形的两个三角剖分，计算将一个三角剖分变换为另一个三角剖分所需的最小翻转次数是一个长期存在的公开问题。目前还不知道这个问题是P完全问题还是NP完全问题。我们证明了问题的两个自然推广是NP-完全的，即计算两个三角剖分之间的最小翻转次数（1）一个多边形与洞;（2）在平面上的一组点。
2012-05-11 cs.CG
Counting triangulations of some classes of subdivided convex polygons
我们计算三角形的凸$k$ -gon的每一个侧面细分的$r-1$点的数量。我们发现明确的公式和生成函数，我们确定这些数字的渐近行为的$k$和/或$r$趋于无穷大。我们将这些结果与找到平面点集的一般位置，具有最小可能数量的三角剖分的问题-一个著名的开放问题，从计算几何。
2016-04-11 cs.CG math.CO
Deterministic Linear Time Constrained Triangulation using Simplified Earcut
符合一组不相交输入线段的三角剖分算法通常以增量方式进行，即先插入点，然后插入线段。插入一个线段相当于：（1）删除它相交的所有三角形;（2）用两个多边形填充这样生成的洞，这两个多边形具有所需的线段作为共享边;（3）分别对每个多边形进行三角剖分。在本文中，我们证明了这些多边形是这样的，他们所有的凸顶点，但两个可以用来形成三角形的耳切方式，而不需要检查其他多边形点是否位于每个耳朵。任何简单多边形至少包含三个凸顶点的事实保证了有效耳的存在，以确保收敛。这不仅转化为最优的确定性线性时间三角剖分算法，而且这种算法实现起来也是微不足道的。我们正式证明了我们的方法的正确性，也验证了它在实际应用中，并与现有技术进行比较。
2021-03-28 cs.CG cs.GR
How Many Potatoes are in a Mesh?
我们考虑的组合问题，有多少凸多边形可以通过使用从一个固定的三角剖分n个顶点的边缘。对于一般的三角剖分，可以有指数级的多个：我们展示了一个具有Omega（1.5028^n）凸多边形的构造，并证明了最坏情况下的O（1.62^n）上界。如果三角剖分是胖的（每个三角形都有一个常数delta>0的角度下限），那么只能有多项式多个。我们还考虑了凸外平面多边形的计数问题（即，它们在其内部不包含三角测量的顶点）。在这种情况下，我们得到相同的指数界一般三角剖分，和较低的多项式界胖三角剖分。如果三角剖分是更紧的（任何两个顶点之间的最长距离和最短距离之比是有界的），则对于一般凸外平面多边形，边界进一步下降到Theta（n^2），对于胖凸外平面多边形，边界进一步下降到Theta（n）。
2012-09-18 cs.CG cs.DM math.CO
Guarding curvilinear art galleries with edge or mobile guards via 2-dominance of triangulation graphs
我们考虑的问题，监测的艺术画廊建模为一个多边形，其边缘是弧的曲线，边缘或移动警卫。我们的重点是分段凸多边形，即，局部凸的多边形，除了可能在顶点处，并且它们的边是凸弧。我们将监控分段凸多边形的问题转化为2-支配一个适当定义的具有边或对角线的三角剖分图的问题，其中2-支配要求三角剖分图中的每个三角形至少有两个顶点在其2-支配集中。我们发现，$\lfloor\frac{n+1}{3}\rfloor$对角后卫或$\lfloor\frac{2n+1}{5}\rfloor$边后卫总是足够的，有时是必要的，以2-支配的三角图。此外，我们展示了如何计算：一个对角2-支配集的大小$\lfloor\frac{n+1}{3}\rfloor$在线性时间，一个边2支配集的大小$\lfloor\frac{2n+1}{5}\rfloor$在$O(n^2)$时间，和一个边2-支配集的大小$\lfloor\frac{3n}{7}\rfloor$在O（n）的时间。基于上述结果，我们证明了对于分段凸多边形，我们可以在$O(n\log{}n)$时间内计算出$\lfloor\frac{n+1}{3}\rfloor$大小的移动保护集，在$O(n^2)$时间内计算出$\lfloor\frac{2n+1}{5}\rfloor$大小的边保护集，在$O(n\log{}n)$时间内计算出$\lfloor\frac{3n}{7}\rfl…
2010-04-20 cs.CG
Flip Distance Between Triangulations of Convex Polygons is NP-Complete
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
研究证明凸多边形三角剖分的翻转距离和二叉树的旋转距离问题均为NP难问题。
2026-07-28 cs.CC cs.CG cs.DM
Computing the Intrinsic Delaunay Triangulation of a Closed Polyhedral Surface
LIGM, CNRS, Université Gustave Eiffel（拉格朗日力学与计算实验室，法国国家科学研究中心，古斯塔夫·埃菲尔大学）
本文提出一种算法，用于计算闭合多边形曲面的德劳内三角化，其顶点为曲面的奇点。算法时间复杂度与三角形数量及门户多边形的长宽比的对数成正比，并证明了对数依赖性是不可避免的。
2026-03-25 cs.CG
Transforming triangulations on non planar-surfaces
我们考虑是否任何两个三角剖分的多边形或点集上的非平面表面与给定的度量可以转换成彼此的一系列的边缘翻转。答案一般是否定的，但有一些显著的例外，如圆柱上的多边形、平面环面上的多边形以及圆柱上点的某些构形。
2010-05-21 cs.CG math.MG
Compatible Triangulations and Point Partitions by Series-Triangular Graphs
我们介绍了系列三角图嵌入，并展示了如何划分点集与他们。这个结果，然后用于提高Steiner点的数量上界需要获得兼容的点集三角剖分。这个问题被推广到寻找两个以上的点集的兼容三角剖分，我们表明，这样的三角剖分可以构造只有一个线性数量的Steiner点添加到每个点集。
2005-02-08 cs.CG cs.DM
Randomization yields simple O(n log star n) algorithms for difficult Omega(n) problems
我们在这里使用Boissonnat等人在影响图上的结果，以使其适用于额外信息可用的特定情况。在某些情况下，可以将算法的预期随机复杂度从O（n log n）提高到O（n log star n）。该技术适用于以下应用：简单多边形的三角剖分、简单多边形的骨架、已知EMST（欧几里德最小生成树）的点的德洛内三角剖分。
1998-10-08 cs.CG
On existence of a compatible triangulation with the double circle order type
本文证明了双圆序型及其推广与同点数和凸包边数的其他序型存在相容三角剖分，验证了Aichholzer猜想的一个特例。
2025-08-06 cs.CG math.CO
Improved mixing for the convex polygon triangulation flip walk
本研究提出纯组合的马尔可夫链快速混合充分条件框架，改进了凸点集三角剖分翻转游走的混合时间界，给出结合多面体图扩张度的渐近紧界，并证明固定k≥4时凸点集k-角剖分翻转游走的拟多项式混合性。
2023-05-03 cs.CG cs.DM math.CO
Some Counterexamples for Compatible Triangulations
本文针对任意两个基数相同且凸包大小相同的点集存在兼容三角剖分的猜想，构造了多个加强版本的反例，从而揭示了该猜想的局限性。
2016-12-09 cs.CG cs.DM math.CO
Memory-Constrained Algorithms for Simple Polygons
恒定工作空间算法对输入数组具有只读访问权限，并且只能使用O（1）个$O(\log n)$位的附加字，其中$n$是输入的大小。我们假设一个简单的$n$ -边形由它的顶点的有序序列给出。我们证明了我们可以在$O(n^2)$时间内找到平面直线图的三角剖分。我们还考虑预处理一个简单的多边形的最短路径查询时，空间约束放松，允许$s$字的工作空间。经过$O(n^2)$时间的预处理，我们能够在$O(n^2/s)$时间内解决多边形内任意两点之间的最短路径查询。
2012-06-29 cs.CG
French Onion Soup, Ipelets for Points and Polygons
本文展示了一组基于点集与多边形构建多种几何结构的新 Ipelets，通过 Ipe 绘图编辑器实现交互式可视化，涵盖四叉树、梯形图、分形等，均用 Lua 编写并免费提供。
2025-03-03 cs.CG
On joint triangulations of two sets of points in the plane
本文建立了平面上两组$n$点的联合三角剖分的两个必要条件，并猜想它们是充分的。我们表明这些必要条件可以在$O(n^3)$时间内进行测试。针对$n$顶点的两个简单多边形的联合三角剖分问题，提出了一种利用动态规划构造联合三角剖分的$O(n^3)$时间算法。
2011-02-07 cs.CG cs.DM
A New Balanced Subdivision of a Simple Polygon for Time-Space Trade-off Algorithms
我们有一个只读存储器用于输入，一个只写流用于输出。对于正整数参数s，s-工作空间算法是除了用于输入的存储器之外仅使用工作空间的$O(s)$字的算法。本文提出了一种$O(n^2/s)$ -时间$s$ -工作空间算法，用于将简单多边形细分为复杂度为$O(\max\{n/s,s\})$的$O(\min\{n/s,s\})$子多边形.作为细分的应用，对以下三个几何问题的时空权衡问题进行了改进：（1）计算简单$n$ -边形内两点间的最短路径，（2）计算简单$n$ -边形内一点的最短路径树，（3）计算简单$n$-边形的三角剖分.此外，我们进一步改进了第二个问题的算法。
2018-04-10 cs.CG
Partitioning Graph Drawings and Triangulated Simple Polygons into Greedily Routable Regions
GRR是$\mathbb R^2$的一个闭子集，通过选择路径上每个点到目的地距离最小的方向，可以从每个起点到达目的地。他们证明了对于有洞的多边形，最小分解是NP困难的。本文研究图的平面直线图的最小GRR分解。在这里，GRR与树的自接近绘图相吻合，这种绘图风格已成为图形绘制中的热门研究课题。我们表明，最小分解仍然是NP-困难的图的周期，但可以解决最佳的树在多项式时间。此外，我们给出了一个2-近似简单的多边形，如果一个给定的三角剖分必须尊重。
2017-02-28 cs.CG
Flip Graphs of Pseudo-Triangulations With Face Degree at Most 4
本文研究了$k$-飞镖伪三角剖分（$k$-DPTs）的翻转图，证明了1-DPTs的翻转图通常不连通并给出连通分量的计算方法，同时深入分析了双链点配置上$k$-DPTs翻转图的细粒度结构。
2024-02-19 cs.CG
Exact Minkowski Sums of Polygons With Holes
我们提出了一个有效的算法，计算Minkowski和两个多边形，这可能有洞。新算法是基于卷积方法。它的效率部分源于带洞多边形的闵可夫斯基和的一个性质，这实际上在任何维度上都成立：给定两个带洞的多边形，对于每个输入多边形，我们可以填充与另一个多边形相比相对较小的洞。具体地说，我们总是可以填满至少一个多边形的所有洞，将其转换为一个简单的多边形，并且仍然获得完全相同的Minkowski和。消除输入和数中的洞可以加快Minkowski和的计算速度。我们引入了一个强大的实现新算法，它遵循精确几何计算范式，从而保证准确的结果。我们还提出了一个实证比较的性能的Minkowski和建设的各种输入的例子，我们表明，在许多情况下，新算法的实现表现出更好的性能比其他几个实现。特别是，我们比较了新算法的实现，标准卷积算法的实现，以及使用各种凸分解方法的分解方法的实现，包括两种处理带孔多边形的新方法-一种是基于垂直分解，另一种是基于三角剖分。该软件是作为CGAL（计算几何算法库）的“二维Minkowski和”软件包的扩展而开发的。其他信息和补充材料可在我们的项目页面http://acg.cs.tau.ac.il/projects/rc上获得
2015-04-28 cs.CG
Reconstructing a Polyhedron between Polygons in Parallel Slices
给定两个$n$ -顶点多边形，$P=(p_1, \ldots, p_n)$位于$z=0$的$xy$-平面中，而$P'=(p'_1, \ldots, p'_n)$位于$z=1$的$xy$ -平面中，带状曲面是与连接$P$和$P'$的环同胚的三角化曲面，使得三角化的边集包含所有$i =1, \ldots, n$的连接$p_i$和$p'_i$的顶点不相交路径$π_i$.然后，该表面由带组成，其中$i$ th带在$π_i$和$π_{i+1}$之间。我们给出了一个多项式时间算法，找到一个带状表面没有斯坦纳点，如果存在。我们探讨带状表面和线性变形之间的连接，在变形中的时间对应于$z$方向。特别是，我们表明，如果$P$和$P'$是凸的和线性变形从$P$ $P'$（它移动$i$第顶点上的一条直线从$p_i$到$p'_i$）保持平面在任何时候，那么有一个带状表面没有斯坦纳点。
2020-04-13 cs.CG
Compatible Paths on Labelled Point Sets
令$P$和$Q$是$\mathbb{R}^2$中具有相同基数的有限点集，每个点集标记为从$1$到$n$。分别跨越$P$和$Q$的两个不相交几何图$G_P$和$G_Q$称为相容的，如果对于$G_P$中的每个面$f$，在$G_Q$中存在一个对应的面，其边界上的顶点的顺时针排序与$f$中的相同。特别地，$G_P$和$G_Q$必须是同一个连通$n$ -顶点图的直线嵌入。判定两个标号点集是否容许相容的几何路是NP完全的。我们给出多项式时间算法，找到兼容的路径或报告，没有存在于三种情况下：$O(n)$时间点凸位置; $O(n^2)$时间为两个简单的多边形，其中的路径被限制为保持在封闭的多边形内;和$O(n^2 \log n)$时间点在一般位置，如果路径被限制为单调。
2020-04-16 cs.CG
An $O(3.82^k)$ Time FPT Algorithm for Convex Flip Distance
针对凸多边形三角剖分间的翻转距离问题，提出时间复杂度为 $O(3.82^k)$、多项式空间的 FPT 算法，显著优于此前最佳算法。
2023-10-13 cs.CG cs.DS
