通过提升递归计算所有素数的初等局部表示密度
Elementary local representation densities at all primes via lifting recursions
AI总结：
本文通过提升递归计算所有素数的初等局部表示密度，解决了超曲面和非异三元格的同余计数问题，并给出了素数均匀的密度公式。
摘要：
令 $p$ 为素数，$L$ 为二次 $\mathbb{Z}_p$-格，其二次型为 $Q$。对于 $t\neq 0$，局部表示密度 $α_p(t;L)$ 是解 $Q(v)\equiv t\pmod{p^m}$ 的同余计数的稳定标准化增长。我们为超曲面 $H_0$ 上的 $\mathbb{Z}p$ 过渡，对所有 $p$ 统一计算这些计数和密度，并在 $p=2$ 时计算基本二进制块（秩-1 类 I 块和偶二进制平面 $2^aH\varepsilon$）以及非异三元格 $L_3=\langle 2\rangle^{\oplus 3}$。在二进制素数处，通常的雅可比/赫恩塞尔提升机制在双线性格惯例 $Q(v)=\langle v,v\rangle$ 中失效。主要的新输入是一个显式的半提升反演，用于对角和平方，这在原始性假设 $4\nmid a$ 下产生一个稳定提升递归，因子为 $2^{d-1}$。作为应用，我们得到三平方同余计数的闭式（因此 $α_2(t;L_3)$）以及缩放超曲面 $p^eH_0$ 在标准规范化 $q=\langle\cdot,\cdot\rangle/2$ 下的素数均匀公式。
英文摘要：
Let $p$ be a prime and let $L$ be a quadratic $\mathbb{Z}_p$-lattice with quadratic form $Q$. For $t\neq 0$ the local representation density $α_p(t;L)$ is the stable normalised growth of the congruence counts of solutions to $Q(v)\equiv t\pmod{p^m}$. We compute these counts and densities explicitly for the hyperbolic plane $H_0$ over $\mathbb{Z}p$, uniformly in $p$, and at $p=2$ for the basic dyadic blocks (rank-$1$ Type I blocks and the even binary planes $2^aH\varepsilon$), together with the anisotropic ternary lattice $L_3=\langle 2\rangle^{\oplus 3}$. At the dyadic prime the usual Jacobian/Hensel lifting mechanism breaks down in the bilinear-lattice convention $Q(v)=\langle v,v\rangle$. The main new input is an explicit half-lift involution for diagonal sums of squares, which yields a stable lifting recursion with factor $2^{d-1}$ under the primitivity hypothesis $4\nmid a$. As applications we obtain closed forms for the three-squares congruence counts (hence $α_2(t;L_3)$) and a prime-uniform formula for the densities of the scaled hyperbolic planes $p^eH_0$ in the standard normalisation $q=\langle\cdot,\cdot\rangle/2$.
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