Distributed Optimization with Quantization for Computing Wasserstein Barycenters
研究了网络上熵正则化半离散Wasserstein重心的分散计算问题。基于最近的原始-对偶方法，我们提出了一种采样梯度量化方案，该方案允许有效的通信和近似重心的计算，其中因子分布在任意网络上。所提出的算法的通信和算法的复杂性示出，与支持的大小，分布的数量，和所需的精度的显式依赖。数值结果验证了我们的算法分析。
2020-10-27 math.OC
Wasserstein barycenters on metric graphs
Univ Toulouse, INSA Toulouse, CNRS, IMT（图卢兹大学，国立应用科学学院图卢兹分校，法国国家科学研究中心，数学研究所）
本文研究了度量图上Wasserstein重心的绝对连续性条件，给出了在远离图顶点处关于Hausdorff测度绝对连续的最优条件。
2026-06-01 math.MG math.OC
Generalized Wasserstein Barycenters
本文研究Hilbert空间上带符号概率测度分布的Wasserstein重心存在性与唯一性，刻画一维情形下唯一极小值的分位数函数为正交投影，并证明逼近测度重心的子列收敛性。
2025-07-04 math.FA math.OC math.PR
Decentralized Algorithms for Wasserstein Barycenters
本文从计算和统计两个方面研究离散概率测度的Wasserstein重心问题。统计重点是估计样本量的措施，必要的计算近似Fréchet平均值（重心）的概率分布与给定的精度。对于经验风险最小化方法，还研究了正则化的问题，并提出了一种新的正则化，与二次正则化相比，它有助于更好的复杂性界限。计算的重点是开发用于计算Wasserstein重心的算法：可以以分散方式执行的原始和对偶算法。对偶方法的动机是熵正则化Wasserstein距离及其导数的对偶公式化的封闭形式，而原始公式化仅在某些情况下具有封闭形式的表达，例如，Gaussian measures.此外，与返回熵正则化Wasserstein距离的梯度的原始预言机相比，可以以更便宜的价格计算返回熵正则化Wasserstein距离的对偶表示的梯度的对偶预言机。在这种情况下，双oracle调用的数量也将更少，即，原始神谕调用次数的平方根。这解释了一阶对偶方法在Wasserstein重心问题中的成功应用。
2021-10-25 math.OC
Stochastic Gradient Descent for Barycenters in Wasserstein Space
提出一种2-Wasserstein空间中计算总体重心的在线随机梯度下降算法，证明了其几乎必然收敛性，并给出确保Karcher均值唯一性及显式收敛速率的条件。
2023-10-21 math.OC math.PR
Sliced Wasserstein Barycenters: The Analysis Approach within the Barycentric Coding Model in the Wasserstein Space
Florida State University（佛罗里达州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
本文从变分角度研究切片 Wasserstein 重心，推导一阶变分公式与 Gram 矩阵准则，用于在重心编码模型中恢复单纯形约束坐标，并验证了高斯性质及数值恢复效果。
2026-10-07 math.OC
Capacity-Constrained Wasserstein Barycenters: Existence, Duality, and Entropic Regularization
本文提出容量约束的Wasserstein重心问题，证明其存在性与强对偶，并引入熵正则化，获得唯一解及容量截断吉布斯公式，且正则化解收敛至最小熵解。
2026-09-17 math.OC
The GenCol algorithm for high-dimensional optimal transport: general formulation and application to barycenters and Wasserstein splines
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文将高维多边际最优传输的遗传列生成算法从对称问题扩展至一般问题，并应用于计算精确的无网格Wasserstein重心和三次Wasserstein样条。
2022-09-19 cs.LG cs.NA math.NA
Computational Guarantees for Doubly Entropic Wasserstein Barycenters via Damped Sinkhorn Iterations
EPFL（洛桑联邦理工学院）
本文提出一种基于阻尼Sinkhorn迭代的算法，用于计算双重正则化Wasserstein重心，保证任意参数下收敛，并首次为非精确变体提供离散点云间逼近的非渐近收敛保证。
2023-07-25 cs.LG math.OC stat.ML
Decentralized Convex Optimization on Time-Varying Networks with Application to Wasserstein Barycenters
针对时变网络下仅部分传感器可观测但需平均信号的场景，提出一种适用于非光滑对偶友好分布式优化的一阶方法，证明其Nesterov意义下的非渐近加速收敛率，并验证了在Wasserstein重心问题中的有效性。
2023-07-25 math.OC
Stochastic Wasserstein Barycenters
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们提出了一个随机算法来计算重心的一组概率分布下的Wasserstein度量从最佳运输。与以前的方法不同，我们的方法扩展到连续的输入分布，并允许在每次迭代中调整重心的支持。我们在没有正则化的情况下解决了这个问题，使我们能够恢复一个尖锐的输出，其支持包含在真正的重心的支持之内。我们给出的例子，我们的算法恢复比以前的工作更有意义的重心。我们的方法是通用的，可以扩展到应用程序，如从一个给定的分布生成超级样本和恢复蓝噪声近似。
2018-06-07 cs.LG math.OC stat.ML
Bures-Wasserstein Barycenters and Low-Rank Matrix Recovery
我们重新审视的问题，恢复一个低秩正半定矩阵从秩一投影使用的工具，从最优输运。更具体地说，我们表明，这个问题的变分公式相当于计算Wasserstein重心。反过来，这种新的视角，使新的几何一阶方法的发展具有强大的收敛保证Bures-Wasserstein距离。模拟数据的实验表明，我们的新方法比现有的方法的优势。
2022-10-26 math.OC math.ST stat.TH
Averaging Atmospheric Gas Concentration Data using Wasserstein Barycenters
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；Ecole Normale Supérieure（高等师范学校）；PSL Research University（巴黎文理研究大学）；Kayrros SAS（凯罗斯公司）；CNRS（法国国家科学研究中心）
高光谱卫星图像每天报告全球温室气体浓度。虽然对这些图像随时间的变化进行简单的平均可以粗略估计相对排放率，但大气迁移意味着简单的平均无法查明这些排放的来源。我们建议使用Wasserstein重心加上天气数据平均气体浓度数据集，更好地集中质量周围的重要来源。
2020-10-06 cs.LG math.OC
A Unified Approach for Computing Wasserstein Barycenters of Discrete and Continuous Measures
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；University of Notre Dame（圣母大学）；University of Southern California（南加州大学）
本文提出一种统一的对偶镜像下降算法，用于在Fisher-Rao几何中精确计算Wasserstein均值，能够处理离散和绝对连续输入测度，并在两种情况下保证收敛性。
2026-05-11 math.OC
Closing the Gap: Efficient Algorithms for Discrete Wasserstein Barycenters
H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院工业与系统工程学院）；Department of Data Science, City University of Hong Kong（香港城市大学数据科学系）
针对NP难的离散Wasserstein重心问题，提出推广2倍近似的PTAS，可在多项式时间内生成(1+α)近似重心，经实验验证计算实用且结果接近最优。
2026-08-04 math.OC
Decentralize and Randomize: Faster Algorithm for Wasserstein Barycenters
研究了分布于网络上的有限连续概率测度集的正则化Wasserstein重心的离散逼近的分散分布式计算.我们假设有一个由智能体/机器/计算机组成的网络，每个智能体拥有一个私有的连续概率测度，并试图通过从其本地度量中获取样本并与邻居交换信息来计算网络中所有度量的重心。基于这个问题，我们提出并分析了一种新的求解一般线性等式约束随机凸优化问题的加速原始-对偶随机梯度法。然后，我们将此方法应用于分散分布优化设置，得到一个新的算法的分布式半离散正则Wasserstein重心问题。此外，我们显式的非渐近复杂性所提出的算法。
2020-02-20 cs.DC math.OC
Newton Method for Fixed-Support Doubly Entropic Wasserstein Barycenter
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Sun Yat-sen University（中山大学）
针对固定支撑双熵正则化Wasserstein重心问题，提出精确牛顿法及稀疏变体，推导梯度与海森显式式，建立理论结果，实验显示稀疏牛顿法收敛更快。
2026-08-03 math.OC
Wasserstein barycenters are NP-hard to compute
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
计算Wasserstein重心（a.k.a.最优输运重心）是几何学中的一个基本问题，由于在数据科学中的许多应用，最近引起了相当大的关注。虽然在任何固定的维度上都存在多项式时间算法，但所有已知的运行时间在维度上都呈指数级下降。这是一个开放的问题，是否这种指数依赖性是改进的多项式依赖。本文证明，除非P=NP，答案是否定的。这揭示了一个“维数灾难”的Wasserstein重心计算不会发生的最优输运计算。此外，我们的硬度计算Wasserstein重心的结果扩展到近似计算，看似简单的情况下的问题，并平均概率分布在其他最优输运指标。
2021-12-03 cs.CC cs.DS cs.LG
A GPM-based algorithm for solving regularized Wasserstein barycenter problems in some spaces of probability measures
本文主要研究正则化Wasserstein重心问题。我们提供的唯一性和表征的重心为两个重要的类别的概率测度：（i）高斯分布和（ii）$q$ -高斯分布，每个正则化的一个特定的熵功能。我们提出了一种基于矩阵空间中的梯度投影法的算法来计算这些正则化重心。我们还考虑了一般的一类$φ$ -指数测度，其中只研究了非正则重心。最后，数值分析了参数的影响和算法在数据小扰动下的稳定性。
2022-08-06 cs.NA math.NA math.OC
Weak optimal total variation transport problems and generalized Wasserstein barycenters
本文建立了弱最优全变差运输问题的康托洛维奇对偶。作为结果，我们恢复了Caffarelli和McCann建立的部分最优输运的对偶公式，并得到了Piccoli和Rossi证明的广义Wasserstein距离$\widetilde{W}_1^{a,b}$的Kantorovich-Rubinstein定理的另一个证明.然后，我们应用我们的对偶公式来研究广义Wasserstein重心。我们证明了这些重心的存在性措施紧支持。最后证明了重心的一致性。
2021-01-18 math.FA math.OC
Scalable Computations of Wasserstein Barycenter via Input Convex Neural Networks
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；University of California, Irvine（加利福尼亚大学尔湾分校）
Wasserstein Barycenter是一种原则性的方法来表示给定的一组概率分布的加权平均值，利用由最佳运输引起的几何形状。针对机器学习中的高维应用，提出了一种新的可扩展的Wasserstein重心近似算法。我们提出的算法是基于Kantorovich对偶公式的Wasserstein-2距离以及最近的神经网络架构，输入凸神经网络，这是已知的参数化凸函数。我们的方法的显着特点是：i）它只需要来自边缘分布的样本; ii）与现有方法不同，它用生成模型表示重心，因此可以从重心生成无限个样本，而无需查询边缘分布; iii）它在一个边缘情况下类似于生成对抗模型。我们证明了我们的算法的有效性，通过比较它与国家的最先进的方法在多个实验。
2021-11-27 cs.LG math.OC stat.ML
A canonical barycenter via Wasserstein regularization
在度量测度空间$(X, d, {\bf m})$上引入概率测度$μ$的重心的弱概念，度量$d$和参考测度${\bf m}$ .在最优输运计划由映射给出的假设下，证明了我们的重心$B(μ)$是定义良好的，它是$X$上的概率测度，它支持给定测度$μ$的通常度量重心点集.该定义使用度量空间$X$到其Wasserstein空间$P(X)$的规范嵌入，将给定的度量$μ$向前推到$P(X)$上的度量。然后利用Wasserstein距离将该测度正则化到参考测度${\bf m}$，得到了一个唯一定义的测度，该测度是在$X$的重心点上支撑的.我们研究了$B(μ)$的各种性质
2017-03-28 math.AP math.DG math.OC
Distributed Computation of Wasserstein Barycenters over Networks
提出了一种新的\cu{class-optimal}算法，用于网络上Wasserstein重心的分布式计算.假设图中的每个节点都有一个概率分布，我们证明了每个节点都可以通过使用符合图的拓扑结构的局部相互作用到达网络中所有分布的重心。我们提供了一个估计所需的最小数量的通信轮所提出的方法，以实现任意的相对精度在无向固定网络的解决方案的最优性和所有代理之间的共识。
2018-09-20 cs.DC cs.MA math.OC
Toland duality and particle approximations for signed Wasserstein barycenters
Université Paris-Saclay, CNRS, Inria, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, ParMA（巴黎萨克雷大学、法国国家科学研究中心、Inria、奥赛数学实验室、ParMA）；Université Claude Bernard Lyon 1, ICJ UMR5208, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学、ICJ UMR5208、法国国家科学研究中心、里昂中央理工学院、里昂国立应用科学学院、让·穆兰大学）
本文研究带符号系数的平方Wasserstein距离加权和最小化问题，通过Toland对偶性推导凸对偶公式，并提出了基于熵正则化和Sinkhorn迭代的粒子算法来计算带符号重心。
2026-09-16 math.OC
Wasserstein barycenters can be computed in polynomial time in fixed dimension
Laboratory for Information and Decision Systems (LIDS), Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院信息与决策系统实验室）
计算Wasserstein重心是一个基本的几何问题，在机器学习、统计学和计算机图形学中有着广泛的应用。然而，不知道Wasserstein重心是否可以在多项式时间内精确地或高精度地计算（即，具有$\textrm{polylog}(1/\varepsilon)$运行时依赖性）。本文对这些问题作了肯定的回答。我们的方法是解决一个指数大小的线性规划制定有效地实现相应的分离甲骨文使用计算几何技术。
2020-12-09 cs.CG cs.DS cs.LG
Continuous Dual Maximizers for Fixed-Reference Entropy-Regularized Wasserstein Barycenters
University of Florida（佛罗里达大学）
针对固定参考熵正则化Wasserstein重心问题，证明了在紧致度量空间上对偶问题存在连续极大化势函数，并建立了最优计划与重心的存在唯一性及显式密度，完善了原始-对偶理论。
2026-09-18 math.OC
Quantitative Stability of Barycenters in the Wasserstein Space
Wasserstein重心以几何上有意义的方式定义了概率测度的平均值。它们的使用在应用领域越来越受欢迎，例如图像，几何或语言处理。然而，在这些领域中，感兴趣的概率测度通常不能完全访问，从业者可能不得不处理统计或计算近似。在这篇文章中，我们量化的效果，这样的近似对相应的重心。我们表明，Wasserstein重心依赖于在一个H{<$} lder连续的方式对他们的边缘在相对温和的假设。我们的证明依赖于最近的估计，量化的强凸性的双二次最优输运问题和一个新的结果，允许控制下（不一定顺利）最优输运地图的推进操作的连续性模。
2023-03-10 cs.NA math.NA math.OC
A Fast Globally Linearly Convergent Algorithm for the Computation of Wasserstein Barycenters
我们考虑的问题计算Wasserstein重心的一组离散概率分布与有限的支持，发现许多领域，如统计，机器学习和图像处理。当重心的支撑点是预先指定的，这个问题可以建模为一个线性规划（LP）的问题，其大小可以是非常大的。为了处理这个大规模的LP，我们分析了其对偶问题的结构，这是可以想象的更容易处理，可以重新表述为一个结构良好的凸问题与3种块变量和耦合线性等式约束。然后，我们适应基于对称高斯-赛德尔的交替方向法的乘法器（sGS-ADMM）来解决由此产生的对偶问题，并建立其整体收敛和全局线性收敛速率。作为有效计算的一个关键组成部分，我们还展示了如何准确有效地解决所有涉及的子问题。这使得我们的方法适合于计算一个大规模的数据集上的Wasserstein重心，而不引入熵正则化项，因为通常是实践。此外，我们的sGS-ADMM可以用作交替最小化方法中的子程序，以计算重心时，它的支持点没有预先指定。在合成数据集和图像数据集上的数值结果表明，与现有的两种代表性方法和商业软件Guesthouse相比，该方法在求解大规模Wasserstein质心问题上具有很强的竞争力.
2020-12-26 math.OC stat.ML
Accelerated Bregman Primal-Dual methods applied to Optimal Transport and Wasserstein Barycenter problems
本文讨论了混合原始-对偶（HPD）型算法近似求解离散最优输运（OT）和Wasserstein重心（WB）问题的效率，有和没有熵正则化。我们的第一个贡献是分析表明，这些方法产生的最先进的收敛速度，无论是理论上和实践中。接下来，我们将Malitsky和Pock在2018年提出的带有线插值的HPD算法扩展到对偶空间具有Bregman散度的设置，并且对偶函数相对于Bregman核是强凸的。这种扩展产生了一种新的方法OT和WB问题的基础上平滑的目标，也实现了最先进的收敛速度。最后，我们引入了一个新的Bregman分歧的基础上缩放的熵函数，使算法数值稳定，减少平滑，导致稀疏的解决方案OT和WB问题。我们补充我们的研究结果与数值实验和比较。
2022-08-30 math.OC
An Accelerated Stochastic Variance-Reduced Algorithm for Entropic Wasserstein Barycenters
City University of Hong Kong（香港城市大学）；Google（谷歌）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
研究固定正则化参数下的熵正则化Wasserstein重心问题，提出加速随机方差减少原始对偶算法，该算法利用半对偶有限和结构，有维度无关平滑界，实验验证其优势。
2026-07-07 cs.DS math.OC stat.ML
Scenario Tree Reduction via Wasserstein Barycenters
本文针对Kovacevic和Pichler情景树缩减算法中大规模线性问题求解瓶颈，提出利用Wasserstein重心和最优传输技术加速计算，实验表明在8阶段、78 125情景、97 656节点的情景树上速度提升达八倍。
2024-11-19 math.OC
Interior-Point Methods Strike Back: Solving the Wasserstein Barycenter Problem
计算Wasserstein重心的一组概率测度下的最优输运度量可以迅速成为传统的二阶算法，如内点的方法，禁止的措施，支持大小的增加。在本文中，我们克服了这个困难，通过开发一个新的适应的内点方法，充分利用问题的特殊矩阵结构，以减少迭代的复杂性和加快牛顿过程。与正则化方法不同，我们的方法实现了准确性和速度之间的平衡。各种分布与现有算法的数值比较显示了我们的方法的计算优势。此外，我们证明了我们的算法的实用性图像基准问题，包括MNIST和时尚MNIST。
2020-01-20 math.OC stat.ML
Optimal transport and barycenters for dendritic measures
我们介绍和研究一个变种的Wasserstein距离的空间上的概率测度，专门设计来处理的措施，其支持有一个树枝状的，或树状结构与特定方向的取向。我们的动机是比较和插值植物的根系。我们的特征重心相对于这个度量，并建立根样措施的插值，使用这个新的度量，也是根样的，在一定意义上说，这个属性失败的传统Wasserstein重心。我们还建立了测地凸关于这个度量的各种泛函，其中一些我们希望有生物学上的重要性。
2019-10-17 math.OC math.PR q-bio.QM
An LP-based, Strongly-Polynomial 2-Approximation Algorithm for Sparse Wasserstein Barycenters
离散Wasserstein重心对应于运输问题在有限支持下的一组概率测度的最优解。离散重心是具有有限支集的测度，并且表现出两个有利的性质：总是存在一个具有可证明稀疏支集的测度，并且输入测度的任何最优输运都是非质量分裂的。离散重心是否能在多项式时间内计算是一个未知数。通过线性规划可以找到一个精确的重心，但是这些程序可能会以指数方式扩展。本文证明了基于线性规划的强多项式2-逼近算法。首先，我们证明了一个精确的计算的联盟的支持的输入措施给出了一个紧2-近似。这个计算可以通过线性规划来完成，在强多项式时间内设置和求解。所得到的测量是稀疏的，但是最优输运可以分裂质量。然后，我们设计了第二个，强多项式算法，以改善这一措施，一个非质量分裂运输成本较低。关键步骤是更新可能的支撑集以解决质量分裂。最后，我们设计了一个迭代方案，这两个算法之间交替。该算法终止与2-近似，具有稀疏支持和相关的非质量分裂最优输运。我们的结论与一些样本计算和分析我们的算法的缩放，表现出巨大的改进，在运行时间精确的LP为基础的计算和低实际错误。
2020-04-22 math.OC
Parallel Streaming Wasserstein Barycenters
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
有效地聚合来自不同来源的数据是一个具有挑战性的问题，特别是当来自每个来源的样本分布不同时。这些差异可能是推理任务所固有的，也可能是由于其他原因而存在的：传感器网络中的传感器可能被放置得很远，从而影响它们各自的测量结果。相反，在计算上将贝叶斯推理任务划分为数据子集是有利的，但是数据不需要在子集之间相同地分布。融合概率分布的一个原则性方法是通过最优传输的透镜：Wasserstein重心是一个单一的分布，它总结了一系列输入测量，同时尊重它们的几何形状。然而，计算重心的规模差，需要离散化的所有输入分布和重心本身。改进这种情况下，我们提出了一个可扩展的，通信效率高，并行算法计算任意分布的Wasserstein重心。我们的算法可以直接对连续输入分布进行操作，并针对流数据进行了优化。我们的方法甚至是强大的非平稳输入分布，并产生一个重心估计，跟踪随着时间的推移的输入措施。该算法是半离散的，只需要离散重心估计。据我们所知，我们还提供了第一界的质量近似重心的离散化变得更精细。最后，我们证明了我们的方法的实际有效性，无论是在跟踪移动的分布在一个球体上，以及在一个大规模的贝叶斯推理任务。
2017-11-14 cs.LG math.OC stat.CO
Wasserstein Distributionally Robust Optimization with Wasserstein Barycenters
Northwestern University（西北大学）
在统计学和机器学习的许多应用中，来自多个可能异构的源的数据样本的可用性已经变得越来越普遍。另一方面，在分布鲁棒优化，我们寻求数据驱动的决策，以及在最不利的分布从名义分布构造的数据样本在一定的差异的概率分布。然而，目前还不清楚如何实现这种分布鲁棒性模型学习和估计时，数据样本来自多个来源。在这项工作中，我们建议通过Wasserstein重心作为来自多个来源的数据样本的聚合的概念，构建基于最佳运输的分布鲁棒优化问题的标称分布。在特定的损失函数的选择下，所提出的公式承认一个易于处理的重新制定作为一个有限的凸规划，具有强大的有限样本和渐近保证。作为一个说明性的例子，我们证明了分布鲁棒稀疏逆协方差阵估计的零均值高斯随机向量的问题，我们提出的方案优于其他广泛使用的估计在低维和高维制度。
2022-05-30 cs.LG math.OC stat.ML
An Efficient HPR Algorithm for the Wasserstein Barycenter Problem with $O({Dim(P)}/\varepsilon)$ Computational Complexity
本文提出并分析了求解固定支撑下Wasserstein重心问题的一个有效的Halpern-Schumeman-Rachford（HPR）算法.虽然PR分裂方法本身对于求解WBP可能不收敛，但HPR算法可以实现关于KKT残差的$O(1/\varepsilon)$非遍历迭代复杂度。更有趣的是，我们提出了一个有效的程序与线性时间的计算复杂性来解决的线性系的HPR算法的子问题。因此，HPR算法在用于获得由WBP的KKT残差测量的$\varepsilon$最优解的触发器方面享有$O({\rm Dim(P)}/\varepsilon)$非遍历计算复杂性，其中${\rm Dim(P)}$是WBP的变量的维数。这比WBP最著名的复杂度界限要好。此外，大量的数值模拟结果的合成和真实的数据集证明了优越的性能的HPR算法求解大规模WBP。
2022-11-27 math.OC
Provably convergent stochastic fixed-point algorithm for free-support Wasserstein barycenter of continuous non-parametric measures
INSEAD（INSEAD商学院）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文提出一种基于估计器的随机固定点框架，用于近似计算连续非参数概率测度的2-Wasserstein均值，并首次严谨分析了该算法的收敛性，提出了一种可证明收敛且计算可行的随机算法。
2026-10-07 cs.NA math.NA math.OC
On the Computational Complexity of Finding a Sparse Wasserstein Barycenter
离散Wasserstein重心问题是一组具有有限支撑的概率测度的最小费用质量运输问题。在本文中，我们发现，找到一个重心的稀疏支持是困难的，即使在2维和只有3个措施。我们证明了这一点，表明一个特殊的情况下，密切相关的判定问题SCMP -是否存在一个非质量分裂运输成本和支持大小低于规定的界限的措施？--对所有有理数据都是NP难的。我们的证明是基于平面三维匹配的简化，并遵循Spieksma和Woeginger（1996）提出的简化为平面最小周长三维匹配的策略。虽然我们密切反映了他们证明的实际步骤，但由于离散重心问题的复杂性，论点本身存在根本差异。昂坪的南华早报封隔设施将继续开放。我们证明了，对于一个给定的措施，稀疏性和成本的最优输运的一组措施，可以验证在多项式时间内的一个比特编码的措施的大小。然而，重心的编码大小可以是基本度量的编码大小的指数。
2022-02-08 cs.CG math.OC
Sample complexity of optimal transport barycenters with discrete support
IRIT, TSE, INP Toulouse（图卢兹国立理工学院）；TSE, Université Toulouse Capitole（图卢兹第一大学）；CNRS, IRIT, Université de Toulouse（法国国家科学研究中心）
针对目标概率测度最优传输重心的计算近似问题，提出经验稀疏最优传输重心的O(√(N/n))统计泛化界，覆盖多种传输散度并讨论其在K-means等场景的应用。
2025-11-18 math.OC math.ST stat.TH
Minkowski-Type Wasserstein Metrics and Barycenters for Location-Scale Mixtures with Application to Domain Adaptation
Fudan University（复旦大学）
针对离散最优传输计算复杂度高的问题，提出基于广义Minkowski不等式的框架，将Wasserstein型度量和重心扩展到有限位置-尺度混合模型，通过将连续多边缘OT简化为混合成分间的离散传输，实现计算复杂度线性于样本量，并在VisDA-C基准上验证了效果。
2026-06-26 math.OC
Stochastic Approximation versus Sample Average Approximation for population Wasserstein barycenters
Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机研究所）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Institute for Information Transmission Problems（信息传输问题研究所）
在机器学习和优化领域，凸风险最小化问题主要有两种方法，即随机逼近（SA）和样本平均逼近（SAA）。就oracle复杂性（所需的随机梯度评估次数）而言，这两种方法被认为是平均等效的（直到对数因子）。总的复杂性取决于具体的问题，但是，从工作开始\cite{nemirovski2009robust}它被普遍接受的SA是优于SAA。然而，在大规模问题的情况下，SA可能会耗尽内存，因为在一台机器上存储所有数据并在没有与其他机器通信的情况下组织在线访问是不可能的。SAA与SA不同，允许并行/分布式计算。我们表明，对于Wasserstein重心问题，这种优势可以被逆转。我们提供了一个详细的比较，说明SA和SAA实现计算重心相对于最优输运距离和熵正则化最优输运距离的复杂性界限。作为一个副产品，我们还构建了置信区间的重心定义相对于熵正则化的最优输运距离的$\ell_2$规范。对由期望给出的一般凸优化问题，给出了初步结果，以便在Wasserstein重心问题之外有其它应用。
2021-10-25 cs.LG math.OC stat.ML
Exact Solutions for the NP-hard Wasserstein Barycenter Problem using a Doubly Nonnegative Relaxation and a Splitting Method
Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）
本文针对 NP 难的简化 Wasserstein 重心问题，提出基于欧氏距离矩阵的面部约化双重非负松弛，并利用自然分裂的对称交替方向乘子法高效求得可证明的精确解，同时揭示高度对称问题中存在对偶间隙。
2025-11-05 math.OC
Computing Wasserstein Barycenter via operator splitting: the method of averaged marginals
针对平衡与非平衡 Wasserstein 重心计算的大规模线性或凸非光滑优化难题，提出基于 Douglas–Rachford 分裂、可并行随机化的平均边缘分布算法。
2024-10-24 math.OC
Hellinger-Kantorovich barycenter between Dirac measures
Hellinger-Kantorovich（HK）距离是Wasserstein-2距离的不平衡扩展。最近的研究表明，HK质心表现出比Wasserstein质心复杂得多的行为。出于这一观察，我们更详细地研究了香港的重心的情况下，输入措施是一个不可数的狄拉克措施的集合，特别是依赖于长度尺度参数的香港，香港的重心是离散的或连续的问题，以及预期和经验的重心之间的关系。分析结果的补充与数值实验表明，香港的重心可以提供一个由粗到细的输入点云或措施的代表。
2022-06-22 cs.NA math.NA math.OC
Doubly Regularized Entropic Wasserstein Barycenters
Institut de Mathématiques, École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院数学研究所）
本文提出双正则化 $(λ,τ)$-熵 Wasserstein 重心，证明其去偏逼近、光滑稳定、$n^{-1/2}$ 估计速率，并给出指数收敛的无网格噪声粒子梯度下降算法。
2025-07-25 cs.LG math.OC stat.ML
Gromov-Wasserstein Barycenters: The Analysis Problem
Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
本文研究在Gromov-Wasserstein距离下估计有限度量空间中编码成对距离的矩阵问题，提出两种方法解决对应的分析问题，并在机器学习中应用。
2026-03-30 cs.NA math.FA math.MG
Stochastic Saddle-Point Optimization for Wasserstein Barycenters
HSE University（俄罗斯高等经济大学）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Institute for Information Transmission Problems（信息传输问题研究所）；Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics（魏尔斯特拉斯应用分析与随机研究所）
我们考虑人口Wasserstein重心问题的随机概率测度支持上的有限集的点和在线数据流产生的。这导致了一个复杂的随机最优化问题，其中的目标是作为一个随机最优化问题的解决方案给出的函数的期望。我们采用的结构的问题，并获得一个凹凸随机鞍点重新制定这个问题。在随机概率测度分布为离散分布的情况下，提出了一种随机最优化算法，并估计了算法的复杂度。第二个结果，基于核方法，将前一个结果推广到任意分布的随机概率测度。此外，在许多情况下，这种新算法的总复杂度优于随机逼近方法与Sinkhorn算法相结合。我们还说明了我们的发展由一系列的数值实验。
2021-12-02 cs.LG math.OC stat.ML
The $p$-Bures-Wasserstein distance via $3\times3$ block matrices (with application to $p$-Bures-Wasserstein barycenters)
TU Munich, Dept. of Mathematics, School of CIT（慕尼黑工业大学，数学系，信息学院）
该论文研究半正定矩阵上的p-Bures-Wasserstein距离，通过证明Lin和van den Driessche2014年的相关猜想证明其在1≤p≤2时为度量，借助Schatten范数分块不等式，还刻画了其Fréchet均值并证明迭代几何收敛性。
2026-10-14 math.FA math.MG math.OC
Wasserstein Barycenter Gaussian Process based Bayesian Optimization
Department of Economics Management and Statistics, University of Milano-Bicocca（经济管理统计系，米兰-比科卡大学）；Department of Computer Science Systems and Communication, University of Milano-Bicocca（计算机科学系统与通信系，米兰-比科卡大学）
针对标准高斯过程贝叶斯优化中超参数拟合存在缺陷的问题，提出通过预设多组超参数拟合并用Wasserstein重心组合的WBGP-BO方法，在棘手测试问题上仍能收敛到最优解。
2025-05-18 cs.LG math.OC stat.ML
Tangential Fixpoint Iterations for Gromov-Wasserstein Barycenters
本文提出一种基于切向近似和不动点迭代的算法，用于高效逼近Gromov-Wasserstein重心，实现多三维形状的插值、分类与匹配。
2024-03-13 cs.NA math.NA math.OC
Collaborative Bayesian Optimization via Wasserstein Barycenters
Columbia University（哥伦比亚大学）；University of California at Berkeley（加州大学伯克利分校）
针对黑箱优化与数据隐私挑战，提出基于Wasserstein重心的协同贝叶斯优化框架，智能体共享高斯过程代理模型构建中心模型，通过协同采集函数平衡探索利用，算法渐近一致且数值准确，实验表现优于基线协同框架，与非隐私集中式方法竞争力相当。
2025-04-15 cs.LG math.OC
On the Complexity of Approximating Wasserstein Barycenter
我们研究的复杂性近似Wassertein重心的$m$离散措施，或直方图的大小$n$通过对比两种替代方法，都使用熵正则化。第一种方法是基于迭代Bregman投影（IBP）算法，我们的新的分析给出了一个复杂度界成正比的$\frac{mn^2}{\varepsilon^2}$近似原始的非正则重心。使用另一种基于加速梯度下降的方法，我们获得了与$\frac{mn^{2.5}}{\varepsilon} $成比例的复杂度。作为一个副产品，我们表明，在这两种方法中的正则化参数必须是成比例的$\varepsilon$，这将导致不稳定的两种算法时，所需的精度是高的。为了克服这个问题，我们提出了一种新的近似IBP算法，它可以被看作是一个近似的梯度法，它使用IBP在每一次迭代，使一个近似的步骤。我们还考虑了这些算法的可扩展性问题，从分布式优化的方法，并表明，第一个算法可以实现在一个集中的分布式设置（主/从），而第二个是服从一个更一般的分散的分布式设置与任意的网络拓扑结构。
2020-02-20 cs.DS math.OC
Barycenters and a law of large numbers in Gromov hyperbolic spaces
本文研究Gromov双曲空间中概率测度的重心，证明收缩性质、有限均匀分布重心的确定性逼近和大数定律，将CAT(0)空间结果推广至含双曲常数附加项的情形。
2024-06-17 math.MG math.OC math.PR
